兩條直線的交點坐標(biāo)與距離公式ppt課件.ppt

兩直線的交點坐標(biāo)與距離公式 返回目錄 一 兩直線的交點已知兩條直線l1 A1x B1y C1 0與l2 A2x B2y C2 0的交點坐標(biāo)對應(yīng)的是方程組A1x B1y C1 0A2x B2y C2 0 的解 考點分析 其中 當(dāng)A1B2 A2B1 0時 兩條直線 當(dāng)A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0 或B1C2 B2C1 0 時 兩條直線無交點 即 當(dāng)A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0 或B1C2 B2C1 0 時 兩條直線有無數(shù)個公共點 即 二 距離公式1 兩點間的距離平面上兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 間的距離 P1P2 2 點到直線的距離平面上一點P x1 y1 到一條直線l Ax By C 0的距離d 返回目錄 相交于一點 平行 重合 返回目錄 3 兩平行線的距離若l1 l2是平行線 求l1 l2距離的方法 1 求一條直線上一點到另一條直線的距離 2 設(shè)l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 則d 返回目錄 已知直線l1 m 3 x 4y 5 3m l2 2x m 5 y 8 問m為何值時 l1 l2 l1與l2重合 l1與l2相交 l1與l2垂直 分析 利用兩直線平行 重合 相交 垂直的條件求解 考點一兩直線位置關(guān)系的判定 題型分析 返回目錄 解析 由 得m 7 當(dāng)m 7時 l1 l2 由 得m 1 當(dāng)m 1時 l1與l2重合 由 得m 1且m 7 當(dāng)m 1且m 7時 l1與l2相交 由 m 3 2 4 m 5 0 得m 當(dāng)m 時 l1與l2垂直 返回目錄 評析 1 垂直有兩種情況 一種是一條直線的斜率為0 另一條直線的斜率不存在 另一種就是斜率都存在 且兩個斜率的積為 1 2 兩條直線平行有兩種情況 一種就是斜率都不存在 另一種就是斜率都存在并且相等 3 兩條直線重合即方程是相同的 對應(yīng)演練 已知兩直線l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 試確定m n的值 使 1 l1與l2相交于點P m 1 2 l1 l2 3 l1 l2 且l1在y軸上的截距為 1 返回目錄 1 m2 8 n 0 且2m m 1 0 m 1 n 7 2 由m m 8 2 0 得m 4 由8 1 n m 0 得n 2 即m 4 n 2時 或m 4 n 2時 l1 l2 3 當(dāng)且僅當(dāng)m 2 8 m 0 即m 0時 l1 l2 又 1 n 8 即m 0 n 8時 l1 l2 且l1在y軸上的截距為 1 返回目錄 返回目錄 已知直線l過點P 3 1 且被兩平行線l1 x y 1 0 l2 x y 6 0截得的線段長為5 求直線l的方程 考點二距離公式的應(yīng)用 分析 可設(shè)點斜式方程 求與兩直線的交點 利用兩點間距離公式求解 解析 解法一 若直線l的斜率不存在 則直線l的方程為x 3 此時與l1 l2的交點分別是A 3 4 B 3 9 截得的線段長 AB 4 9 5 符合題意 若直線l的斜率存在 則設(shè)直線l的方程為y k x 3 1 分別與直線l1 l2的方程聯(lián)立 y k x 3 1x y 1 0 y k x 3 1x y 6 0 由兩點間的距離公式 得 2 2 25 解得k 0 即所求直線方程為y 1 綜上可知 直線l的方程為x 3或y 1 返回目錄 由 由 A 解得 B 解得 解法二 設(shè)直線l與l1 l2分別相交于A x1 y1 B x2 y2 則x1 y1 1 0 x2 y2 6 0 兩式相減 得 x1 x2 y1 y2 5 又 x1 x2 2 y1 y2 2 25 x1 x2 5x1 x2 0y1 y2 0y1 y2 5 由上可知 直線l的傾斜角分別為0 和90 故所求的直線方程為x 3或y 1 返回目錄 或 聯(lián)立 可得 返回目錄 評析 這類題一般有三種情況 被兩已知平行直線截得的線段的定長為a的直線 當(dāng)a小于兩平行線間距離時無解 當(dāng)a d時有唯一解 當(dāng)a d時有且只有兩解 本題解法一采用通法通解 解法二采用設(shè)而不求 先設(shè)交點坐標(biāo) 利用整體思想求解 返回目錄 對應(yīng)演練 解法一 設(shè)直線l的方程為y 2 k x 1 即kx y k 2 0 由題意知即 3k 1 3k 3 k 直線l的方程為y 2 x 1 即x 3y 5 0 當(dāng)直線l的斜率不存在時 直線方程為x 1 也符合題意 求過點P 1 2 且與點A 2 3 和B 4 5 距離相等的直線l的方程 解法二 當(dāng)AB l時 有k kAB 直線l的方程為y 2 x 1 即x 3y 5 0 當(dāng)l過AB的中點時 AB中點坐標(biāo)為 1 2 直線AB的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 返回目錄 返回目錄 求直線l1 y 2x 3關(guān)于直線l y x 1對稱的直線l2的方程 考點三對稱問題 分析 轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱 利用方程組求解 y 2x 3y x 1 2 1 在l1上任取一點A 0 3 則A關(guān)于直線l的對稱點 1x1 2y1 1 即B 2 1 l2的方程為y 1 x 2 即x 2y 0 返回目錄 得直線l1與l2的交點坐標(biāo)為 解析 解法一 由 B x1 y1 一定在l2上 由 得 解法二 設(shè)所求直線上一點P x y 則在直線l1上必存在一點P1 x0 y0 與點P關(guān)于直線l對稱 由題設(shè) 直線PP1與直線l垂直 且線段PP1的中點P2 在直線l上 1 1x0 y 1 y0 x 1 代入直線l1 y 2x 3得x 1 2 y 1 3 整理得x 2y 0 所求直線方程為x 2y 0 返回目錄 變形得 y 2x 3y x 1 設(shè)直線l2的方程為y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 在直線l上任取一點 1 2 由題設(shè)知點 1 2 到直線l1 l2的距離相等 由點到直線的距離公式得解得k k 2舍去 直線l2的方程為x 2y 0 返回目錄 解法三 由 知直線l1與l的交點坐標(biāo)為 2 1 返回目錄 評析 1 對稱問題是解析幾何中的一個重要題型 是高考熱點之一 兩條曲線關(guān)于一條直線對稱常轉(zhuǎn)化為曲線上的點關(guān)于直線對稱來解決 求點P x0 y0 關(guān)于直線l Ax By C 0的對稱點Q x1 y1 的坐標(biāo) 可利用PQ l及線段PQ被l平分這兩個條件建立方程組求解 本題解法二就是利用這種方法結(jié)合 代入法 求軌跡方程的思想方法解題的 這是解這類問題的一個通法 2 兩點關(guān)于點對稱 兩點關(guān)于直線對稱的常用結(jié)論 點 x y 關(guān)于x軸的對稱點為 x y 點 x y 關(guān)于y軸的對稱點為 x y 點 x y 關(guān)于原點的對稱點為 x y 點 x y 關(guān)于直線x y 0的對稱點為 y x 點 x y 關(guān)于直線x y 0的對稱點為 y x 返回目錄 對應(yīng)演練 已知直線l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直線l2與l1關(guān)于l對稱 則l2的方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C x y 1 0D x 2y 1 0 B l1與l2關(guān)于l對稱 則l1上任一點關(guān)于l的對稱點都在l2上 故l與l1的交點 1 0 在l2上 又易知 0 2 為l1上一點 設(shè)其關(guān)于l的對稱點為 x y 則 1 0 x 1 1 y 1 1 1 為l2上兩點 可得l2的方程為x 2y 1 0 故應(yīng)選B 返回目錄 得 即 1 0 返回目錄 考點四直線系方程的應(yīng)用 求經(jīng)過直線l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交點 且垂直于直線l3 3x 5y 6 0的直線l的方程 分析 1 先求出直線l1與l2的交點 然后利用點斜式求出直線方程 2 可利用垂直直線系方程求解 返回目錄 解析 解法一 先解方程組3x 2y 1 05x 2y 1 0 得l1 l2的交點 1 2 再由l3的斜率為求出l的斜率為 于是由直線的點斜式方程求出l y 2 x 1 即5x 3y 1 0 解法二 l l3 故l是直線系5x 3y C 0中的一條直線 而l過l1 l2的交點 1 2 故5 1 3 2 C 0 由此求出C 1 故l的方程為5x 3y 1 0 解法三 l過l1 l2的交點 故l是直線系3x 2y 1 5x 2y 1 0中的一條 將其整理 得 3 5 x 2 2 y 1 0 其斜率 解得 代入直線系方程即得l的方程為5x 3y 1 0 返回目錄 解法四 l l3 故l屬于直線系5x 3y C 0 又l過l1 l2的交點 故l又屬于直線系 3 5 x 2 2 y 1 0 則 是同一直線 必有又 C 1 代入 即得l的方程為5x 3y 1 0 返回目錄 由等比定理 得 評析 1 解法一是通法通解 用了求交點及兩直線垂直時斜率之間的關(guān)系求出斜率 然后利用點斜式求出方程 解法二與解法三比較靈活 用了垂直和相交的直線系方程 運算較簡捷 2 常見的直線系方程 與直線Ax By C 0平行的直線系方程是Ax By m 0 m R且m C 與直線Ax By C 0垂直的直線系方程是Bx Ay m 0 m R 過直線l1 A1x B1y C1 0與l2 A2x B2y C2 0的交點的直線系方程 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 是實數(shù) 但不包括l2 應(yīng)用直線系方程 可比較快捷地求出與已知直線平行或垂直的直線方程 利用直線系方程 可解決與相交和過定點有關(guān)的問題 返回目錄 對應(yīng)演練 過兩直線7x 5y 24 0與x y 0的交點 且與點P 5 1 的距離為的直線的方程為 3x y 4 0 設(shè)所求的直線方程為7x 5y 24 x y 0 即 7 x 5 y 24 0 解得 11 故所求直線方程為3x y 4 0 返回目錄 考點五直線中的最值問題 在直線l 3x y 1 0上求一點P 使得 1 P到A 4 1 和B 0 4 的距離之差最大 2 P到A 4 1 和C 3 4 的距離之和最小 返回目錄 分析 設(shè)B關(guān)于l的對稱點為B AB 與l的交點P滿足 1 C關(guān)于l的對稱點為C AC 與l的交點Q滿足 2 事實上 對于 1 若P 是l上異于P的點 則 P A P B P A P B AC QA QC 返回目錄 解析 1 如圖所示 設(shè)點B關(guān)于l的對稱點B 的坐標(biāo)為 a b 則kBB kl 1 即3 1 a 3b 12 0 又由于線段BB 的中點坐標(biāo)為 且在直線l上 3 1 0 即3a b 6 0 解 得a 3 b 3 B 3 3 于是AB 的方程為 即2x y 9 0 3x y 1 0 x 22x y 9 0 y 5 即l與AB 的交點坐標(biāo)為P 2 5 返回目錄 解 得 2 如圖所示 設(shè)C關(guān)于l的對稱點為C 求出C 的坐標(biāo)為 AC 所在直線的方程為19x 17y 93 0 AC 和l交點坐標(biāo)為 則P點坐標(biāo)為 返回目錄 評析 1 在直線l上求一點P 使P到兩定點的距離之和最小 當(dāng)兩定點A B在直線l異側(cè)時 由兩點之間線段最短及三角形中任意兩邊之和都大于第三邊可知 點P為AB連線與l的交點 點P到兩定點距離之和的最小值為 AB 的長度 如圖 P A P B AB PA PB 當(dāng)且僅當(dāng)A B P三點共線時等式成立 返回目錄 當(dāng)兩定點A B在直線l的同側(cè)時 作點A關(guān)于直線l的對稱點為A 連結(jié)A B交直線l于點P 則點P到兩定點A B的距離之和最小 2 在直線l上求一點P 使P到兩定點的距離之差的絕對值最大 返回目錄 當(dāng)兩定點A B在直線l的同側(cè)時 AB連線與l不平行 連結(jié)A B兩點所在的直線 交直線l于點P 如圖 在l上任取一點P 則有當(dāng) P B P A AB PB PA 當(dāng)P 與P兩點重合時 等號成立 最大的值為 AB 重合時 等號成立 最大值為 A B 當(dāng)兩定點A B在直線l的異側(cè)時 作點A關(guān)于直線l的對稱點A 連結(jié)A B 交l于點P 如圖可知 PB PA A B 時 達(dá)到最大 在l上任取一點P 則 P B P A A B 當(dāng)P 點與P點重合時 等號成立 最大值為 A B 返回目錄 設(shè)點A 3 5 和B 2 15 在直線l 3x 4y 4 0上 找一點P 使 PA PB 為最小 并求這個最小值 對應(yīng)演練 返回目錄 設(shè)點A關(guān)于直線l