大學(xué)物理073.pdf

7 2 7 2 7 2 7 2 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)電勢(shì)電勢(shì)電勢(shì) 前面介紹了電場(chǎng)前面介紹了電場(chǎng) 電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力 電場(chǎng)對(duì)電荷電場(chǎng)對(duì)電荷 既然有作用力既然有作用力 那么那么 當(dāng)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)當(dāng)電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí) 電場(chǎng)力電場(chǎng)力 就要做功就要做功 根據(jù)力和能量的關(guān)系根據(jù)力和能量的關(guān)系 則能量和電場(chǎng)有關(guān)則能量和電場(chǎng)有關(guān) 從靜電力作功研究靜電場(chǎng)的重要性質(zhì)從靜電力作功研究靜電場(chǎng)的重要性質(zhì) 保守性保守性 一一一一 靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功靜電場(chǎng)力的功 一點(diǎn)電荷一點(diǎn)電荷q 在其周圍產(chǎn)生電場(chǎng)在其周圍產(chǎn)生電場(chǎng) 另有一試驗(yàn)電荷另有一試驗(yàn)電荷q0在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 電場(chǎng)力作元功電場(chǎng)力作元功 0 dAF dlq E dl 0 2 0 4 q qr dl r 0 2 0 cos 4 q q dl r 0 2 0 4 q q dr r b r E l d q dr a r r a b 0 q q0從從a點(diǎn)移到點(diǎn)移到b點(diǎn)電場(chǎng)力做的功為點(diǎn)電場(chǎng)力做的功為 11 44 0 0 2 0 0 ba r r b a ab rr qq r drqq dAA b a 在此點(diǎn)電荷在此點(diǎn)電荷q形成的靜電場(chǎng)中形成的靜電場(chǎng)中 靜電場(chǎng)對(duì)移動(dòng)電荷靜電場(chǎng)對(duì)移動(dòng)電荷 所做的功僅和移動(dòng)電荷的始所做的功僅和移動(dòng)電荷的始 末位置有關(guān)末位置有關(guān) 與具體路與具體路 徑無關(guān)徑無關(guān) 點(diǎn)電荷形成的靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)點(diǎn)電荷形成的靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng) 可以得到可以得到 對(duì)任何靜電場(chǎng)對(duì)任何靜電場(chǎng) 無論是由點(diǎn)電荷無論是由點(diǎn)電荷 點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系 帶電體等帶電體等 電場(chǎng)對(duì)移動(dòng)電荷作功恒與路徑無關(guān)電場(chǎng)對(duì)移動(dòng)電荷作功恒與路徑無關(guān) 僅與僅與 移動(dòng)電荷的初移動(dòng)電荷的初 末位置有關(guān)末位置有關(guān) 這樣這樣電場(chǎng)力就是保守力電場(chǎng)力就是保守力電場(chǎng)力就是保守力電場(chǎng)力就是保守力 即做功與路徑無關(guān)即做功與路徑無關(guān) 故故靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng) 靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng) 二二二二 電勢(shì)能電勢(shì)能電勢(shì)能電勢(shì)能 靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng) 可以引進(jìn)一勢(shì)能可以引進(jìn)一勢(shì)能 即設(shè)在此即設(shè)在此 靜電場(chǎng)中的電荷具有靜電場(chǎng)中的電荷具有靜電勢(shì)能靜電勢(shì)能 簡(jiǎn)稱電勢(shì)能簡(jiǎn)稱電勢(shì)能 靜電勢(shì)能靜電勢(shì)能 簡(jiǎn)稱電勢(shì)能簡(jiǎn)稱電勢(shì)能 b b a aab WWldfA 點(diǎn)電點(diǎn)電 勢(shì)能勢(shì)能 a b 點(diǎn)電點(diǎn)電 勢(shì)能勢(shì)能 靜電場(chǎng)力作功等于相應(yīng)電勢(shì)能的減少量靜電場(chǎng)力作功等于相應(yīng)電勢(shì)能的減少量靜電場(chǎng)力作功等于相應(yīng)電勢(shì)能的減少量靜電場(chǎng)力作功等于相應(yīng)電勢(shì)能的減少量 a b 0 q E 0 b b abb a a WfdlWqE dlW 規(guī)定電勢(shì)能的零點(diǎn)規(guī)定電勢(shì)能的零點(diǎn) 0a a WqE dl 則 無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)能為零無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)能為零 2 場(chǎng)中某一點(diǎn)場(chǎng)中某一點(diǎn) b 的電勢(shì)能的電勢(shì)能 為零為零 W b 0 如地球的地面如地球的地面 0 b a a WqE dl 則 試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能在數(shù)值上等于在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能在數(shù)值上等于在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能在數(shù)值上等于在靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能在數(shù)值上等于 從該點(diǎn)移到電勢(shì)能零點(diǎn)處?kù)o電場(chǎng)力所做的功從該點(diǎn)移到電勢(shì)能零點(diǎn)處?kù)o電場(chǎng)力所做的功 從該點(diǎn)移到電勢(shì)能零點(diǎn)處?kù)o電場(chǎng)力所做的功從該點(diǎn)移到電勢(shì)能零點(diǎn)處?kù)o電場(chǎng)力所做的功 0 q 0 q 1 當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí) 0 bb ab aa f dlqE dlWW 00 b ab a WW Edl qq a b 0 q E 如圖示點(diǎn)電荷在場(chǎng)中受力如圖示點(diǎn)電荷在場(chǎng)中受力 0 fq E 三三三三 電勢(shì)電勢(shì)電勢(shì)電勢(shì) 00 ab WW qq 與試驗(yàn)電荷無關(guān)反映了與試驗(yàn)電荷無關(guān)反映了 電場(chǎng)在電場(chǎng)在a b兩點(diǎn)的性質(zhì)兩點(diǎn)的性質(zhì) ba b a UUldE 電勢(shì)零點(diǎn) a a ldEU 電電勢(shì)零點(diǎn)的選擇勢(shì)零點(diǎn)的選擇 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 任意任意視分析問題方便而定視分析問題方便而定 參考點(diǎn)不同電勢(shì)不同參考點(diǎn)不同電勢(shì)不同 若選若選b b點(diǎn)的電勢(shì)為參考零點(diǎn)點(diǎn)的電勢(shì)為參考零點(diǎn) 則則a點(diǎn)的電勢(shì)由下式得到點(diǎn)的電勢(shì)由下式得到 稱稱a ba b兩點(diǎn)電勢(shì)差兩點(diǎn)電勢(shì)差 electric potential differenceelectric potential difference 討論討論 理論理論計(jì)算計(jì)算有限有限帶電體電勢(shì)時(shí)選帶電體電勢(shì)時(shí)選無限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)為參考點(diǎn) 實(shí)際實(shí)際應(yīng)用中或研究電路問題時(shí)取應(yīng)用中或研究電路問題時(shí)取大地大地 儀器儀器外殼外殼等等 電勢(shì)的單位電勢(shì)的單位 SI制制 單位單位 V 伏特伏特 在在靜電場(chǎng)中靜電場(chǎng)中 任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 abab ab UUUE dlE dl 通常通常 b a E dl 任意兩點(diǎn)任意兩點(diǎn)a b的電勢(shì)差在數(shù)值上等于單位正試驗(yàn)電荷的電勢(shì)差在數(shù)值上等于單位正試驗(yàn)電荷 從從 a 點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)任意路徑到任意路徑到 b 點(diǎn)電場(chǎng)力做的功點(diǎn)電場(chǎng)力做的功 00 b abab a Aq UqE dl 如果電場(chǎng)的電勢(shì)分布已知如果電場(chǎng)的電勢(shì)分布已知 則試驗(yàn)電荷則試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中在電場(chǎng)中 從從a 到到 b 經(jīng)任意路徑經(jīng)任意路徑 電場(chǎng)力作的功為電場(chǎng)力作的功為 0 q 1 1 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q Q的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布 球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ 標(biāo)量標(biāo)量 正負(fù)正負(fù) r ldE dr r Q r 2 0 4 U Q r 4 0 四四四四 電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算 Q Pr E l d P P l dEU rdr r Q r 2 0 4 rdl d 2 2 電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理 i P P i i P P p ldEldEU 00 i i i i ip r q UU 0 4 1 QQ r dq dUU 0 4 1 i P P ii ldE 0 點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生的電場(chǎng)點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生的電場(chǎng) i i EE 空間某點(diǎn)的電勢(shì)空間某點(diǎn)的電勢(shì) 電荷連續(xù)分電荷連續(xù)分 布的帶電體布的帶電體 計(jì)算電勢(shì)的方法計(jì)算電勢(shì)的方法 1 已知電場(chǎng)強(qiáng)度已知電場(chǎng)強(qiáng)度的分布的分布 利用電勢(shì)的定義利用電勢(shì)的定義 E 電勢(shì)零點(diǎn) a a ldEU 可可計(jì)算電勢(shì)的分布計(jì)算電勢(shì)的分布 2 已知已知q i或 或分布分布 利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)和利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)和 電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理 可求得帶電體在周圍產(chǎn)生的可求得帶電體在周圍產(chǎn)生的 電勢(shì)電勢(shì) i i i p r q U 0 4 1 Q r dq U 0 4 1 例例 書例書例7 8 求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電勢(shì)的電勢(shì) 210 12 2010 21 4 44rr rrq r q r q UUU P 解解 由疊加原理由疊加原理 lr cos 12 lrr 2 21 rrr 2 0 cos 4r lq U p 2 0 0 2 0 4 cos 4 1 r rp r p Up r 其中其中為為和和之間的夾角之間的夾角 l r r r 0 為單位向量為單位向量 l O q q X Y r 1 r 2 r yxP 例例 計(jì)算均勻帶電球面的電勢(shì)計(jì)算均勻帶電球面的電勢(shì)如圖如圖 P ldEU dr r Q odl R R r 2 0 4 R Q o 解解 均勻帶電球面電場(chǎng)的分布為均勻帶電球面電場(chǎng)的分布為 r r Q ERr ERr 4 0 2 0 Rr Rr P R Q 0 4 R Q U 0 4 Rr Rr 與電量集中在球心的與電量集中在球心的 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布相同的電勢(shì)分布相同 圖示圖示 U r 0 R 等勢(shì)體等勢(shì)體 例例計(jì)算電量為計(jì)算電量為的帶電球面球心的電勢(shì)的帶電球面球心的電勢(shì) Q dU dq R 4 0 UdU dq R QQ 4 0 Q R4 0 R Q o 解解 在球面上任取一電荷元在球面上任取一電荷元 dq dq 則電荷元在球心的電勢(shì)為則電荷元在球心的電勢(shì)為 由電勢(shì)疊加原理由電勢(shì)疊加原理 球面上電荷在球心的總電勢(shì)球面上電荷在球心的總電勢(shì) 思考思考 電量分布電量分布 均勻均勻 圓環(huán)圓環(huán) 圓圓 弧弧 例例長(zhǎng)為長(zhǎng)為均勻帶電細(xì)桿均勻帶電細(xì)桿 電荷線密度為電荷線密度為 如圖如圖 計(jì)算計(jì)算P點(diǎn)的電勢(shì)點(diǎn)的電勢(shì) l l xoP a xdx 解解 取一電荷元取一電荷元dq dxdq 4 4 1 00 xal dx xal dq dU 00 ln 4 4 dxla UdU laxa 例例 平行板電容器兩板間的電勢(shì)差平行板電容器兩板間的電勢(shì)差 d 0 E ldEU dlE 解解 平行板電容器內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為平行板電容器內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為 兩板間的電勢(shì)差兩板間的電勢(shì)差 E l d Edl 方向一致方向一致 l dE 均勻場(chǎng)均勻場(chǎng) EdU 例例 求電荷線密度為求電荷線密度為 的無限長(zhǎng)帶電直線的電勢(shì)分布的無限長(zhǎng)帶電直線的電勢(shì)分布 r E 0 2 解解 由由 r rEU d 分析分析 如果仍選擇無限遠(yuǎn)為電勢(shì)如果仍選擇無限遠(yuǎn)為電勢(shì)0點(diǎn)點(diǎn) 積分將趨積分將趨 于無限大于無限大 必須選擇某一定點(diǎn)為電勢(shì)必須選擇某一定點(diǎn)為電勢(shì)0點(diǎn)點(diǎn) 現(xiàn)在選現(xiàn)在選 距離帶電直線為距離帶電直線為a的的P0點(diǎn)為電勢(shì)點(diǎn)為電勢(shì)0點(diǎn)點(diǎn) a P0 0 P r rEU d a r r r Ud 0 2 r a ln 2 0 為正時(shí)電勢(shì)沿為正時(shí)電勢(shì)沿r降落降落 例例 均勻帶電球體均勻帶電球體 帶電荷為帶電荷為Q 半徑為半徑為R 計(jì)算其球內(nèi)計(jì)算其球內(nèi) 外的電勢(shì)分布外的電勢(shì)分布 解解 先計(jì)算先計(jì)算的分布的分布E 4 4 3 0 2 3 0 1 Rr r rQ E Rr R rQ E 球外球外一點(diǎn)一點(diǎn) P2 的電勢(shì)的電勢(shì) 20 2 0 2 44 22 2 r Q r drQ ldEU rP P P1 P2 r2 r1 3 3 4 R Q 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 4 R Qr r R QrQ 3 0 1 4 r rQ E 球內(nèi)球內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn) P1 的電勢(shì)的電勢(shì) 3 8 4 2 1 4 44 2 2 1 0 0 2 1 2 3 0 2 0 3 0 21 1 11 1 R r R Q R Q rR R Q r drQ rdr R Q ldEldEldEU R R r R R rP P 20 4 2 r Q U P 外 3 8 2 2 1 0 1 R r R Q U P 內(nèi) 五五 五五 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 表述表述靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零靜電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零 即即 Edl L 0 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理 討論討論 靜電場(chǎng)的基本方程靜電場(chǎng)的基本方程 保守場(chǎng)保守場(chǎng) 微分形式微分形式 0 E 有有源源 無旋無旋 Stokes 公式公式 SdAl dA SL S是以是以L為邊界的曲面為邊界的曲面 LS SdEl dE0 z k y j x i 對(duì)任意對(duì)任意S曲面成立曲面成立 0 E 只能有只能有旋度旋度 六六 六六 等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 一一 等勢(shì)面等勢(shì)面 由電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的面叫等勢(shì)面由電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的面叫等勢(shì)面 滿足方程滿足方程 1 U 2312 UU n CzyxU 可以得到一系列的等勢(shì)面可以得到一系列的等勢(shì)面 2 U 3 U 等勢(shì)面的疏密反映了等勢(shì)面的疏密反映了 場(chǎng)的強(qiáng)弱場(chǎng)的強(qiáng)弱 d EdU 2312 CCCCC 當(dāng)常量當(dāng)常量C取等間隔數(shù)值時(shí)取等間隔數(shù)值時(shí) 二二 電力線與等勢(shì)面的關(guān)系電力線與等勢(shì)面的關(guān)系 1 1 電力線處處垂直等勢(shì)面電力線處處垂直等勢(shì)面 在等勢(shì)面上任取兩點(diǎn)在等勢(shì)面上任取兩點(diǎn) a a b b 則則 ba b a UUldE 2 2 電力線指向電勢(shì)降的方向電力線指向電勢(shì)降的方向 等勢(shì)等勢(shì) 0 0 a a b b 任取任取 處處有處處有 E U2 U1 U2 U1 Edl a b E dl 電場(chǎng)力作正功可得電場(chǎng)力作正功可得 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面 電偶極子的電場(chǎng)線與等勢(shì)面電偶極子的電場(chǎng)線與等勢(shì)面 平行板電容器的電場(chǎng)線與等勢(shì)面平行板電容器的電場(chǎng)線與等勢(shì)面 三三 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 U1 U2 E P1 P2 P1 P2是距離很近的兩等勢(shì)面上兩點(diǎn) 是距離很近的兩等勢(shì)面上兩點(diǎn) dl dU cosE 場(chǎng)強(qiáng)沿場(chǎng)強(qiáng)沿l方向的分量等于電勢(shì)方向的分量等于電勢(shì) 沿沿l方向變化率方向變化率 的負(fù)值的負(fù)值 l d dn dU E nd cosdl dU dn dU cos dn dU dl dU cosdldn 說明電勢(shì)沿法線說明電勢(shì)沿法線 方向變化率最大方向變化率最大 定義定義電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 n dn dU gradU 電勢(shì)沿電勢(shì)沿l方向的變方向的變 化率等于電勢(shì)梯化率等于電勢(shì)梯 度在度在l方向的投影方向的投影 l dEUUdU 12 l dEUU 21 cosEdl gradUE P1和和P2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為 U2 U1 l E x U E x y U E y z U Ez EkEjEiE zyx ijk UU xyz 電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 UE z k y j x i UUU Eijk xyz dl dU E cos dn dU E gradUE El U1 U2 E P1 P2 l d nd 例例 書例書例7 9 計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 解解 2 3 22 0 4 1 yx px yxUU xx U Ex 4