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一個對二維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的快速算法Christophe Damerval, Sylvain Meignen, and Valrie Perrier摘要 ：這篇論文我們介紹一個對二維經(jīng)驗?zāi)B(tài)新的分解方法。這種分解基于德勞內(nèi)三角法和分段多項式插值。它特別注意于邊界條件，邊界條件對二維檢驗?zāi)B(tài)分解的可行性是致關(guān)重要的。這項不同種圖像的行為分解的研究顯示其在計算成本方面的效率，和高斯白噪的分解導(dǎo)致二維的選擇性濾波器。關(guān)鍵字: 德勞內(nèi)三角法, 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解。1，介紹 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解第一次由Huang et al.引進，1它為非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)多尺度分析提供了一個強大的工具。據(jù)作為一維情況而言，研究被實施來顯示EMD在選擇性濾波器分解的相似性7。其中，它對信號的去噪效率也被顯示。EMD的這些有趣的方面促進這種方法向二維信號延展。 EMD 在一維方面 的基礎(chǔ)的構(gòu)建是一些本征模態(tài)函數(shù)，它們通過所謂的“篩選”的過程（SP）構(gòu)造。一個一維的SP是一個矢代過程，它依賴于 插值方法和結(jié)束過程的停止準(zhǔn)則。對于二維的EMD，這兩個元素依然致關(guān)重要；我們打算把注意放在它們對本征模態(tài)函數(shù)構(gòu)造上的影響。就插值而言,幾個技術(shù)被提出使用,例如徑向基函數(shù)，如利用薄板樣條函數(shù)3-6。這些方法需要解決耗時最優(yōu)化問題,這問題使得它們很難利用,特別是在一個嘈雜的環(huán)境,正如我們將看到的。 在這篇論文里,我們提出一個新的二維EMD，它的SP是基于德勞內(nèi)三角法，然后再在三角形進行立方插值，也基于一個固定的迭代次數(shù)來構(gòu)建本征模態(tài)函數(shù)。提出了的插值方法比現(xiàn)有的方法的兩個主要的優(yōu)勢3-6，是它考慮到了幾何同時保持一個低的計算成本。2，EMD原理 這里，我們簡要的描述對于一位信號EMD的原理（fnnz）。它基于通過在本征模態(tài)函數(shù)中分解的f表征，這些如下定義2。 定義1：一個函數(shù)，如果它的極值點與過零點數(shù)目相等且它的局部均值為零，這個函數(shù)就是本征模態(tài)函數(shù)。 根據(jù)這個定義，我們可以如下描述EMD原理：初始化：r0=f，k=1計算IMF的kth，dk（sp）a）初始化：h0=rk-1，j=1b）確定所有的局部極大值hj-1c）插入局部極小值（resp. maxima）得到Envmin，j-1（resp Envman，j-1）d）計算這些包絡(luò)的值Envmean ，j-1（t）=12（Envmax ，j-1（t）+ Envmin，j-1（t）e）hjn=hj-1n- Envmean ，j-1（n）f）如果滿足停止標(biāo)準(zhǔn)，那么dk=hj；否則，j=j+13）rkn=rk-1n-dkn4）如果rk不是單調(diào)的，轉(zhuǎn)到步驟2），否則，分解完成。當(dāng)分解完成了，我們可以如下寫出f：fn=K=1Kdkn+rkn，KN*.根據(jù)這個描述，我們注意到這個算法的關(guān)鍵點是SP，由插值方法（通常是三次樣條插值2, 7）和停止準(zhǔn)則完全定義。由于我們的知識的局限，沒有精確的證明該算法的收斂性。下部分解釋如何使這個算法適用于二維信號。3，二維EMD：目前發(fā)展現(xiàn)狀和新的算法 對于二維信號，類似于第二部分的算法可以被寫出，重點仍在如下：在SP中應(yīng)該使用什么插值技術(shù)，在SP中應(yīng)該考慮多少次的矢代來建立本征模態(tài)函數(shù)？當(dāng)我們已經(jīng)將SP定義了，我們將給出我們獲得的二維本征模態(tài)函數(shù)的定義，我們將把它同它對應(yīng)的一維情況做比較。A， 目前發(fā)展現(xiàn)狀 就插值而言，三次樣條曲線的一個自然延伸是薄板樣條1被使用3，這是一個徑向基函數(shù)作為內(nèi)插的特定情況5。在這些情況下，最大值（resp.minima）的包絡(luò)是全局最優(yōu)化問題的解，該問題需要一個大小為qq的反轉(zhuǎn)非線性系統(tǒng)1，這里的q是最大值（resp.minima）的個數(shù)。這些技術(shù)不適合包含多個極值的圖像。確實，我們在數(shù)值上注意到，對于二維高斯白噪，大約10%的點一一對應(yīng)與極大值（resp.minima）；如果我們假設(shè)圖像的大小是N2，那么這些方法要求有個大小為（N2/10）（N2/10）系統(tǒng)的反轉(zhuǎn)，這個反轉(zhuǎn)（which is prohibitive for large N）受大N抑制。注意，這說法也適用于帶噪聲的圖像。一個更快的方法被提出11，這個方法使用張量積來構(gòu)建包絡(luò)。盡管它的速度很快，可這種方法建立在一維包絡(luò)的基礎(chǔ)上（沿著列和行的圖像）且沒考慮到幾何。此外，在所有這些方法中，本征模態(tài)函數(shù)的構(gòu)建是基于SP中的停止準(zhǔn)則。B，新的二維EMD如先前所述，我們專注于插值過程和迭代次數(shù)，這樣我們定義了SP。對于插值部分，我們使用德勞內(nèi)三角法，接著使用三角形三次插值，我們用一個SP定值迭代代替停止準(zhǔn)則來定義本征模態(tài)函數(shù)。我們現(xiàn)在假設(shè)fm，n是個大小為NN的圖像。我們記得極值的定義，我們將在下面使用。定義1：是極大值（極小值），如果fm，n比f在8的最近領(lǐng)域m，n的值大（?。?，它是最大值（最小值）。二維插值：我們這里假設(shè)fm，n的值對應(yīng)于一個近似連續(xù)的函數(shù)f，定義在0，10，1，在點D=(m+12N, n+12N),m,n0,.,N-12.我們使用的構(gòu)建二維本征模態(tài)函數(shù)的插值方法，是基于一個相對應(yīng)于f的最大值（最小值）德勞內(nèi)三角D的的子集Dmax（resp.Dmin），然后再在三角形域做分段三次插值，正如10所解釋。我們使用德勞內(nèi)三角法，因為它適合散亂數(shù)據(jù)插值，Dmax（resp.Dmin）的設(shè)置就是一個典型的例子。事實上，該方法不是完美的，因為支持點Dmax（resp.Dmin）的是Dmax（resp.Dmin）的凸包（convexhull）的三角劃分可能不包含D。為了滿足這個條件，我們使最大值點（resp.最小值點）對稱，在尊守f支持的邊界條件下。為了減少算法的計算成本，我們不使整個設(shè)置的最大值（resp.最小值）都對稱，這個會導(dǎo)致一個九倍變大的問題，但只有最大值（resp.最小值）點是“接近”符合f的邊界。那就是，我們定義最大值點的子集如下被對稱：Smax=AiDmax，minBiBAi-Bi21Dmax這里.2是歐幾里得范數(shù)，B是符合f的邊界。我們類似的定義一組Smin。注意到上界（1）定義了一個帶的長度等于密度的最大值的逆，因為可以把他寫成（1/N）N2Dmax 。換句話說，密度極大（resp。minima）值越高，頻帶寬度就越小。然后，注意一個點集的凸包DmaxT（Smax）（2）這里的T是關(guān)于滿足f的邊界的對稱運算符，可能仍然沒包括D（同樣的結(jié)論適用于這個點集獲得的極小值）。確定這個條件，我們加入在f域任意的四個角落的點，在各自方向被式子1/Dmax（resp1/Dmin）擴充，我們稱點集Dmaxext（resp，Dminext）這樣定義；三角劃分建立在覆蓋在D上的Dmaxext（resp，Dminext）。當(dāng)我們使極大值（分別地。極小值）點對稱，我們也相應(yīng)的使f的值對稱。我們在四個加入的角點分配由（2）定義的集合的最接近的點（依據(jù)歐幾里得范數(shù)）f的值（或者相應(yīng)的一個最小直播）。這樣的一個選擇防止數(shù)據(jù)工件的傳播（numerical artifacts）因為在加入的焦點的值只依賴于局部分解的行為。 在SP中使用的 最大值（分別地。最小值）的包絡(luò)是由在Dmaxext（resp，Dminext）的德勞內(nèi)三角法的f的分段立方插值定義，這個我們接著限制的支持f。最大值（分別地。最小值）的包絡(luò)接下來由Envmax（分別地Envmin）。 在SP中：一旦我們定義了在SP中使用的插值過程，我們在SP中確定合適的迭代次數(shù)來建立本征模態(tài)函數(shù)IMFs。這個數(shù)似乎是獨立的，在我們選擇的準(zhǔn)則的考慮下的圖像。為了定義我們的準(zhǔn)則，我們按平均值調(diào)查SP中的迭代次數(shù)對第一個IMF計算的影響是什么。我們計算的中值，作為一個在SP中迭代次數(shù)的函數(shù)，為第一IMF和為單個高斯白噪聲，雷納圖像，或者被高斯白噪聲惡化的雷娜圖像。我們注意到，在每一個情況下，平均中值第一次迭代迅速減小，然后慢得很多。這表明，適當(dāng)?shù)牡螖?shù)可以由計算定義的曲線的最小曲率決定。這里其中P是現(xiàn)實的數(shù)量，是在SP中迭代后的平均包絡(luò)，為實現(xiàn)。對于高斯白噪聲，我們測試了且對于被高斯白噪聲惡化的雷娜圖像，我們測試了我們也為自由噪聲雷娜圖像計算了準(zhǔn)則。按我們標(biāo)準(zhǔn)給出的迭代次數(shù)對于這種圖像是獨立的：合適的迭代次數(shù)總是3我們使用的準(zhǔn)則會導(dǎo)致平均包絡(luò)低振幅和減少數(shù)值工件，數(shù)值工件出現(xiàn)大的迭代次數(shù)。 DAMERVAL et al。:對二維的EMD的快速算法表一IMFs和殘余信號的最大值數(shù)和最小值數(shù)。在SP中的迭代次數(shù)等于3.我們沒有做符號方法的計算，圖像的大小是512512極值數(shù)量很快的減小當(dāng)我們對信號減去第一個IMF（見表1的插圖），獲得連續(xù)的IMFs不需要超過三次迭代。IMFs的數(shù)量：停止分解的準(zhǔn)則（即有多少IMFs要考慮）是建立在殘余信號中的極值數(shù)量必須減少全部分解的性質(zhì)的基礎(chǔ)上。當(dāng)算法停止時，很少有剩余的極值（見表1）；極值數(shù)量的增加是由于工件（artifacts）的低能量。我們設(shè)想在圖1中算法的行為在一個二維6464的高斯白噪。在SP中對于各個IMFs的迭代次數(shù)等于3。這說明也表明，很少的邊界效應(yīng)，即使對于這樣的小圖片：只是由于我們使用的插值方法中的相稱程序。二維IMF定義：我們上面詳細描述的算法，給出一個對還沒有給出任何定義的IMFs的可能解釋。我們獲得最相應(yīng)于IMFs的定義如下所示。定義2：一個圖像是二維的IMF，如果它有個零值，如果最大值是遞增的最小值是遞減的，且最大值數(shù)量等于最小值。第二個性質(zhì)取代在一維的條件，零點的數(shù)量等于極值的數(shù)量（模型1）。將顯示與這個定義相關(guān)的，我們計算最大值的數(shù)量，遞增的最大值，最小值，遞減的最小值，以及IMFs的值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，或?qū)τ诟咚拱自肼?，或?qū)τ诶准{圖像，或?qū)τ诟咚拱自肼晲夯睦啄葓D像（在這兩個情況下，）。我們注意到定義2的第一的兩個條件滿足我們測試的圖像，同時最小值的數(shù)量并不確實等于最大值的數(shù)量，但是它們相當(dāng)?shù)慕咏ㄒ姳?）.圖1.從上到下和從左到右：信號被分析和第一的六個對應(yīng)于這個信號的IMFs 現(xiàn)在我們已經(jīng)定義了我們的SP，我們通過現(xiàn)有的方法，從計算成本上比較我們的方法，我們也調(diào)查模式解相關(guān)和IMFs的頻率相應(yīng)。4，結(jié)果和跟現(xiàn)有方法相比較A，計算成本 我們展示二維EMD的計算成本的收獲與3提出的使用薄板樣條曲線做比較，在二維高斯白噪上。注意，我們提出的結(jié)論可以擴展到任意包含有很多極值的圖像。我們給個表2得到的圖例計算，這里我們展示N作為一個函數(shù)的算法和當(dāng)IMFs在SP中得到3次迭代后的計算成本。表二遵守N的二維EMD的計算成本，對于PC插值或TPS插值，對于每個模型的SP的三次插值，我們沒有做符號方法的計算圖2. 從上到下和從左到右：IMFs的平均傅里葉變換通過1000次的 的高斯白噪的實現(xiàn)來獲得。B，二維EMD作為一個濾波器和模式相關(guān)解 在這個部分，我們提出類似于在一維的情況下，應(yīng)用到二維高斯白噪建立創(chuàng)建一個選擇性濾波器的二維EMD 7。分析更復(fù)雜的噪聲，如布朗或分數(shù)布朗噪聲，將會是未來的發(fā)展主題。我們考慮IMFs的通過1000次的 的高斯白噪的實現(xiàn)的平均傅里葉變換。對于第一個的六個模型，結(jié)果展示在圖2中。正如所料，第一個模型包含最高頻率，然而其他的包含較低的頻率。強調(diào)一點，我們計算出前五個模型傅里葉變換的最大振幅，把傅里葉表示的各向同性考慮進去；這些分別地位于和0.003。我們也注意，與一維情況相反，IMFs的光譜不是消失在零附近。 在最后一個點我們調(diào)查了包含我們在高斯白噪學(xué)到的模式相關(guān)解。我們的實驗表明模型間又很少的關(guān)聯(lián)，除了IMF1和IMF2以外，這里的相關(guān)性等于1.5，總結(jié) 這篇論文的范圍是引入一個二維EMD新算法，該算法能有效地分析包含很多極值的圖像。我們提出的快速算法是基于一個使用德勞內(nèi)三角法和分段立方插值特定SP的定義，通過在SP中固定數(shù)量迭代獲得IMFs。我們展示高斯白噪分解導(dǎo)致創(chuàng)建一個選擇性濾波器。未來的工作將包括用這個二維EMD的布朗和分數(shù)布朗噪音的研究，但是也將處理包含許多極值圖像的紋理的分析，先前的研究已經(jīng)展示通過使用EMD取得的可喜成果。 感謝 作者要感謝P. Flandrin and P. Goncalvs的有用的討論和Rgion Rhne-Alpes.” 參考文獻1 F. L. Bookstein, “Principal warps: thin-plate splines and the decompositionsof deformations,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 11,no. 6, pp. 567585, Jun. 1989.2 N. E. Huang, Z. Shen, S. R. Long, M. C. Wu, H. H. Shih, Q. Zheng,N. C. Yen, C. C. Tung, and H. H. Liu, “The empirical mode decompositionand the Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time seriesanalysis,” in Proc. Roy. Soc. Lond. A, 1998, pp. 9031005.3 A. Linderhed, “2D empirical mode decompositions in the spirit of imagecompression,” in Proc. SPIEWavelet Independent Compon. Anal. Appl.,vol. 4738, 2002, pp. 18.4 , “Adaptive image compression with wavelet packets and empiricalmode decomposition,” Ph.D. dissertation, Linkping Studies in Scienceand Technology Linkping Univ., Linkping, Sweden, 2004.5 J. C. Nunes, Y. Bouaoune, E. Delechelle, O. Niang, and P. 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