閱讀與思考笛卡兒與解析幾何

笛卡爾的生平簡介及主要成就一、生平簡介1、笛卡爾是法國偉大的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和物理學(xué)家。他的研究涉及多個(gè)領(lǐng)域。 1596年3月31日他出生在法國都蘭的貴族家庭，自幼喪母，體弱多病，8歲入拉弗來什公學(xué)讀書。教師考慮到他的特殊情況，允許他每天早上晚起多睡。但笛卡爾利用這段時(shí)間進(jìn)行晨讀，并養(yǎng)成善于思考的習(xí)慣。傳說笛卡爾是躺在床上觀察蟲子在天花板上爬行的位置，激發(fā)了靈感，使他產(chǎn)生了坐標(biāo)的概念。2、1612年他入普瓦界大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位，后去巴黎當(dāng)律師。1618年參軍，部隊(duì)到荷蘭南部的小城布勒達(dá)時(shí)，一次巧遇街頭小報(bào)上在征解數(shù)學(xué)難題，笛卡爾成功的應(yīng)解，這使他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，并堅(jiān)定他終身研究數(shù)學(xué)的決心。1619年11月部隊(duì)到達(dá)多瑙河上的一個(gè)小鎮(zhèn)時(shí)，他不斷思考怎樣把代數(shù)應(yīng)用到幾何中去。他曾說：“我想去尋求一種新的，包含兩門學(xué)科的好處，而又沒有它們?nèi)秉c(diǎn)的方法?！彼谥铝ρ芯繑?shù)學(xué)中一門完全嶄新的領(lǐng)域，這個(gè)領(lǐng)域后來被牛頓稱之為解析幾何。二、主要貢獻(xiàn) 1、法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾，生前因懷疑教會(huì)信條受到迫害，長年在國外避難。他的著作在他生前或被禁止出版或被燒毀，他死后多年還被列入“禁書目錄”。但在今天，法國首都巴黎安葬民族先賢的圣日耳曼圣心堂中，莊重的大理石墓碑上鐫刻著“笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個(gè)為人類爭取并保證理性權(quán)利的人”。2、笛卡爾的著作，無論是數(shù)學(xué)、自然科學(xué)，還是哲學(xué)，都開創(chuàng)了這些學(xué)科的嶄新時(shí)代。幾何學(xué)是他公開發(fā)表的唯一數(shù)學(xué)著作，雖則只有117頁，但它標(biāo)志著代數(shù)與幾何的第一次完美結(jié)合，使形形色色的代數(shù)方程表現(xiàn)為不同的幾何圖形，許多相當(dāng)難解的幾何題轉(zhuǎn)化為代數(shù)題后能輕而易舉地找到答案. 。在幾何學(xué)中，笛卡爾分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，指出：希臘人的幾何過于抽象，而且過多的依賴于圖形，總是要尋求一些奇妙的想法。代數(shù)卻完全受法則和公式的控制，而且還阻礙了自由的思想和創(chuàng)造力的發(fā)展。他同時(shí)看到了幾何的直觀與推理的優(yōu)勢和代數(shù)機(jī)械化運(yùn)算的力量。于是笛卡爾著手解決這個(gè)問題，并由此創(chuàng)立了解析幾何。所以說笛卡爾是解析幾何的創(chuàng)始人。 3、笛卡爾一生為人類作了多方面的貢獻(xiàn)，他在1634年寫的宇宙學(xué)，包含當(dāng)時(shí)被教會(huì)視為“異端”的觀點(diǎn)：他提出地球自轉(zhuǎn)和宇宙無限；他提的漩渦說是當(dāng)時(shí)最具權(quán)威的太陽起源理論；他還提出了光的本性是粒子流的假說，并認(rèn)為在廣袤無垠的太空中存在著極其精細(xì)的以太。他還是西方現(xiàn)代哲學(xué)思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者，提出了“普遍懷疑”的主張。他的“二元論”哲學(xué)思想，我思故我在，深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學(xué)。直到二三百年以后，笛卡爾的這些觀點(diǎn)仍具有很高的研究價(jià)值。三、傳奇故事 1、 1647年深秋的一個(gè)夜晚，在巴黎近郊，兩輛馬車疾馳而過。馬車在教堂的門前停下。身佩利劍的士兵押著一個(gè)瘦小的老頭兒走進(jìn)教堂。他就是近代數(shù)學(xué)的奠基人、偉大的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾。由于他在著作中宣傳科學(xué)，觸犯了所謂的神權(quán)，因而遭到了當(dāng)時(shí)教會(huì)的殘酷迫害。宏偉的教堂里，燭光照射在圣母瑪麗亞的塑像上。塑像前是審判席。被告席上的笛卡爾開始接受天主教會(huì)法庭對(duì)他的宣判：“笛卡爾散布異端邪說，違背教規(guī)，褻瀆上帝。為純潔教義，蕩滌謬誤，本庭宣判笛卡爾所著之書全為禁書，并由本人當(dāng)庭焚毀?！钡芽栂肷贽q，但士兵立即把他從被告席上拉下來，推到火盆旁，笛卡爾用顫抖的手拿起一本本凝結(jié)了他畢生心血的著作，無可奈何地投入火中。 2、說起笛卡爾投身數(shù)學(xué)，多少有一些偶然性。有一次部隊(duì)開進(jìn)荷蘭南部的一個(gè)城市，笛卡爾在街上散步，看見當(dāng)?shù)氐慕稚嫌梅饋砻渍Z書寫的公開征解的幾道數(shù)學(xué)難題招貼。許多人在此招貼前議論紛紛，他旁邊的一位中年人用法語替他翻譯了這幾道數(shù)學(xué)難題的內(nèi)容。第二天，聰明的笛卡爾興沖沖地把解答交給了那位中年人。中年人看了笛卡爾的解答十分驚訝。巧妙的解題方法，準(zhǔn)確無誤的計(jì)算，充分顯露了他的數(shù)學(xué)才華。原來這位中年人就是當(dāng)時(shí)有名的數(shù)學(xué)家貝克曼教授。笛卡爾以前讀過他的著作，但是一直沒有機(jī)會(huì)認(rèn)識(shí)他。從此，笛卡爾就在貝克曼的指導(dǎo)下開始了對(duì)數(shù)學(xué)的深入研究。所以有人說，貝克曼“把一個(gè)業(yè)已離開科學(xué)的心靈，帶回到正確、完美的成功之路”。1621年笛卡爾離開軍營遍游歐洲各國。1625年回到巴黎從事科學(xué)工作。為綜合知識(shí)、深入研究，1628年變賣家產(chǎn)，定居荷蘭潛心著述達(dá)20年。 3、1619年在多瑙河的軍營里，笛卡爾用大部分時(shí)間思考著他在數(shù)學(xué)中的新想法：能不能用代數(shù)中的計(jì)算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁，使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩條互相垂直且交于原點(diǎn)的數(shù)軸作為基準(zhǔn)，將平面上的點(diǎn)的位置確定下來，這就是后人所說的笛卡爾坐標(biāo)系。笛卡爾坐標(biāo)系的建立，為用代數(shù)方法研究幾何架設(shè)了橋梁。笛卡爾坐標(biāo)系的建立，把過去并列的兩個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象“形”和“數(shù)”統(tǒng)一起來，把幾何方法和代數(shù)方法統(tǒng)一起來，從而使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)有了一個(gè)新的突破。關(guān)于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對(duì)科學(xué)目的和科學(xué)方法的狂熱追求，新幾何的影子不時(shí)縈繞腦際。1619年11月10日這一天，笛卡爾做了一個(gè)觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動(dòng)時(shí)劃出一條美妙的曲線，然后一個(gè)黑點(diǎn)停在有方格的窗紙上，黑點(diǎn)到窗欞的距離確定了它的位置，夢醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說，他的夢像一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標(biāo)幾何，由于教會(huì)勢力的控制，笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想未能及時(shí)公諸于世。解析幾何創(chuàng)立的背景及過程一、解析幾何的創(chuàng)立源于數(shù)學(xué)研究外部內(nèi)部的雙重需要，具體分析如下：1、 外部條件：十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)時(shí)，物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線（我們后面即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容），要研究這些復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就從外部條件方面導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。2、 內(nèi)部條件笛卡爾對(duì)當(dāng)時(shí)的幾何方法和代數(shù)方法進(jìn)行比較，分析了它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。他認(rèn)為，沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人腦，用圖形表達(dá)事物非常有益。但他對(duì)歐幾里得幾何中許多定理的證明需要奇巧的想法深感不安，他還批評(píng)希臘人的幾何過多依賴圖形。他看到了代數(shù)的力量，認(rèn)為代數(shù)在提供廣泛的方法論發(fā)面高于歐幾里得的幾何學(xué)。即，歐氏幾何刻意追求抽象和技巧，而代數(shù)在提供廣泛的方法論方面高于歐氏幾何，于是夢寐以求用代數(shù)改造幾何，他曾計(jì)劃寫一本書思想的指導(dǎo)法則，書中提出一個(gè)大膽的方案：一切問題都可以化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以化為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題都可以化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程問題。為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（x, y）的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。雖然這個(gè)方案最終以失敗告終，但笛卡爾把方程用于幾何的想法就從內(nèi)部條件方面導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生。二、與坐標(biāo)系產(chǎn)生有關(guān)的兩個(gè)傳說1、笛卡爾用大部分時(shí)間思考著他在數(shù)學(xué)中的新想法：能不能用代數(shù)中的計(jì)算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁，使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩條互相垂直且交于原點(diǎn)的數(shù)軸作為基準(zhǔn)，將平面上的點(diǎn)的位置確定下來，這就是后人所說的笛卡爾坐標(biāo)系。關(guān)于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對(duì)科學(xué)目的和科學(xué)方法的狂熱追求，新幾何的影子不時(shí)縈繞腦際。1619年11月10日這一天，笛卡爾做了一個(gè)觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動(dòng)時(shí)劃出一條美妙的曲線，然后一個(gè)黑點(diǎn)停在有方格的窗紙上，黑點(diǎn)到窗欞的距離確定了它的位置，夢醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說，他的夢像一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標(biāo)幾何。2、另一個(gè)版本是，據(jù)說有一天，法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會(huì)功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用這三根數(shù)軸上找到有順序的三個(gè)數(shù)。反過來，任意給一組三個(gè)有順序的數(shù)也可以在空間中找出一點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)，同樣道理，用一組數(shù)（x、y）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以有用一組兩個(gè)有順序的數(shù)來表示，這就是坐標(biāo)系的雛形。 笛卡爾最初使用的坐標(biāo)系中，兩個(gè)坐標(biāo)軸的夾角不要求一定是直角，而且y軸并沒有明顯的出現(xiàn)。至于“坐標(biāo)”“坐標(biāo)系”“橫坐標(biāo)”“縱坐標(biāo)”等名詞，也都是后來人們逐漸使用的，雖然笛卡爾當(dāng)初的坐標(biāo)系還不夠完善，但是笛卡爾當(dāng)初邁出的第一步具有決定意義，所以人們?nèi)匀话押髞淼闹苯亲鴺?biāo)系叫作笛卡爾直角坐標(biāo)系。笛卡爾在他唯一所寫的一本數(shù)學(xué)書幾何學(xué)中引入了坐標(biāo)方法和用方程表示曲線的思想，于是后人就把這本幾何學(xué)的發(fā)表作為解析幾何創(chuàng)立的標(biāo)志。幾乎與他同時(shí)，另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也在自己的研究中獨(dú)立得到了用方程表示曲線的思想，因此，費(fèi)馬和笛卡爾同為解析幾何的創(chuàng)始人。（有關(guān)費(fèi)馬的生平及主要成就有興趣的同學(xué)可以網(wǎng)上查閱）解析幾何創(chuàng)立的意義及影響1、解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個(gè)巨大的成就，但在方法論上卻是一個(gè)了不起的創(chuàng)建。解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)構(gòu)造成一個(gè)具有兩種作用的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達(dá)到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論。2、 解析幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)在于它是數(shù)量工具。這個(gè)數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開要求的，例如當(dāng)開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽運(yùn)動(dòng)，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時(shí)就必須計(jì)算這些橢圓和炮彈飛時(shí)所畫的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運(yùn)動(dòng)物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識(shí)。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識(shí)。3、解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)” 與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡爾的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡爾用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點(diǎn)、線、面）和“數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折-由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡爾的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。為什么恩格斯對(duì)解析幾何有如此高的評(píng)價(jià)？（開放性問題，學(xué)生回答，言之有理即可）1.坐標(biāo)法的使用，為數(shù)學(xué)中平面到空間、一維到多維提供了一般的研究方法。2.解析幾何的建立使得數(shù)學(xué)從常量研究進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)。3.解析幾何的建立為后面的微積分產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。4. 解析幾何的建立為數(shù)學(xué)問題機(jī)械化解決提供了先決條件，最突出的是我國數(shù)學(xué)家吳文俊的的機(jī)器證明。（課本124125頁閱讀與思考）百歲山廣告背后的故事一直沒看懂百歲山的廣告，眾人都紛紛表示：廣告畫面唯美、格調(diào)雅致，但是看不懂廣告講述的故事情節(jié)。沒想到廣告里講訴的是一個(gè)凄美浪漫的愛情故事。1650年，斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。那時(shí)，落魄、一文不名的笛卡爾過著乞討的生活，全部的財(cái)產(chǎn)只有身上穿的破破爛爛的衣服和隨身所帶的幾本數(shù)學(xué)書籍。生性清高的笛卡爾從不開口請(qǐng)求路人施舍，他只是默默地低頭在紙上寫寫畫畫，潛心于他的數(shù)學(xué)世界。一個(gè)寧靜的午后，笛卡爾照例坐在街頭，沐浴在陽光中研究數(shù)學(xué)問題，突然，有人來到他身旁，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭過頭，笛卡爾看到一張年輕秀麗的臉龐，一雙清澈的眼睛如湛藍(lán)的湖水，楚楚動(dòng)人，長長的睫毛一眨一眨的，她就是瑞典的小公主，國王最寵愛的女兒克里斯汀。她蹲下身，拿過笛卡爾的數(shù)學(xué)書和草稿紙，和他交談起來。言談中，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)小女孩思維敏捷，對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣。和女孩道別后，笛卡爾漸漸忘卻了這件事，依舊每天坐在街頭寫寫畫畫。幾天后，他意外地接到通知，國王聘請(qǐng)他做小公主的數(shù)學(xué)老師，滿心疑惑的笛卡爾跟隨前來通知的侍衛(wèi)一起來到皇宮，在會(huì)客廳等候的時(shí)候，他聽到了從遠(yuǎn)處傳來銀鈴般的笑聲。轉(zhuǎn)過身，他看到了前幾天在街頭偶遇的女孩子，慌忙中，他趕緊低頭行禮。從此，他便當(dāng)上了公主的數(shù)學(xué)老師。公主的數(shù)學(xué)在笛卡爾的悉心指導(dǎo)下突飛猛進(jìn)，他們之間也開始變得親密起來。笛卡爾向她介紹了他研究的新領(lǐng)域直角坐標(biāo)系。通過它，代數(shù)和幾何可以結(jié)合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何的雛形。在笛卡爾的帶領(lǐng)下，克里斯汀走進(jìn)了奇妙的坐標(biāo)世界，她對(duì)曲線著了迷。每天的形影不離也使他們彼