概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案第2章.pdf

1 概率論第概率論第二二章習題解答章習題解答 習題習題 2 1 1 試分別給出可能取值為有限 可列的隨機變量的實例 解 如擲一枚骰子 X 表示擲出的點數(shù) X 的全部可能取值為 1 2 3 4 5 6 即可能取值為有限個 觀察某商店一小時內(nèi)的進店人數(shù) X X 的全部可能取值為 0 1 2 即可能取值為可列個 2 試給出可能取值至少充滿一個區(qū)間的隨機變量的實例 解 電池的使用壽命 X 小時 X 的全部可能取值為 0 即可能取值充滿區(qū)間 0 習題習題 2 2 1 一箱產(chǎn)品 20 件 其中 5 件優(yōu)質(zhì)品 不放回地抽取 每次一件 共抽取兩次 求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的分布律 解 X 的全部可能取值為 0 1 2 X 0 表示沒有取得優(yōu)質(zhì)品 即 2 個全為非優(yōu)質(zhì)品 38 21 190 105 0 2 20 2 15 C C XP X 1 表示取得 1 個優(yōu)質(zhì)品 1 個非優(yōu)質(zhì)品 38 15 190 75 1 2 20 1 15 1 5 C CC XP X 2 表示取得 2 個優(yōu)質(zhì)品沒有非優(yōu)質(zhì)品 19 1 190 10 2 2 20 2 5 C C XP 故 X 的分布列為 19 1 38 15 38 21 210 X 2 上題若采取放回抽取 其它條件不變 求隨機變量 X 的分布律 解 X 的全部可能取值為 0 1 2 有 X B 2 0 25 5625 075 025 0 0 200 2 CXP 375 075 025 0 1 111 2 CXP 0625 075 025 0 2 022 2 CXP 故 X 的分布列為 0625 0375 05625 0 210 X 3 從分別標有號碼 1 2 3 7 的 7 張卡片中任意取出 2 張 求余下的卡片中最大號碼的分布律 解 設 X 表示余下卡片中的最大號碼 X 的全部可能取值為 5 6 7 X 5 表示取出了 6 7 號卡片 21 1 5 2 7 2 2 C C XP X 6 表示取出了 7 號卡片 并且另一張不超過 5 號 21 5 6 2 7 1 5 C C XP X 7 表示沒有取出 7 號卡片 7 5 21 15 5 2 7 2 6 C C XP 2 故 X 的分布列為 7 5 21 5 21 1 210 X 4 某人有 n 把外形相似的鑰匙 其中只有 1 把能打開房門 但他不知道是哪一把 只好逐把試開 求此 人直至將門打開所需的試開次數(shù)的分布律 解 設 X 表示將門打開所需的試開次數(shù) X 的全部可能取值為 1 2 n X 1 表示第一次就打開門 n XP 1 1 X 2 表示第一次沒有打開門 第二次才打開 nnn n XP 1 1 11 2 X 3 表示前兩次沒有打開門 第三次才打開 nnn n n n XP 1 2 1 1 21 3 X n 表示前 n 1 次沒有打開門 第 n 次才打開 nn n n n n n nXP 1 1 1 2 1 2 3 1 21 L 故 X 的分布列為 nnnn n X 1111 321 L L 5 設 X 的分布律 P X n cn n 1 2 10 求 c 之值 解 根據(jù)概率函數(shù)規(guī)范性知 c 2c 10c 55c 故 55 1 c 6 某書店開設新書征訂業(yè)務 每位顧客在一周內(nèi)收到書店回單的概率為 0 2 有 4 位顧客預定新書 求 一周內(nèi)收到回單的顧客數(shù) X 的分布律 解 伯努利概型 n 4 p 0 2 4096 08 02 0 0 400 4 CXP 4096 08 02 0 1 311 4 CXP 1536 08 02 0 2 222 4 CXP 0256 08 02 0 3 133 4 CXP 0016 08 02 0 4 044 4 CXP 故 X 的分布列為 0016 00256 01536 04096 04096 0 43210 X 7 某學生參加一項測試 對其中的 20 道是非題 純粹是隨機地選擇 是 與 非 計算該生至少做正 確 14 道題目的概率 解 設 X 表示該生做正確的題目個數(shù) 伯努利概型 n 20 p 0 5 故概率為0577 05 05 0 14 20 14 20 20 20 14 k kkk k CkXPXP 8 設收到一批 100 個零件的訂貨 每一零件是次品的概率為 0 01 該批零件驗收合格的標準是次品數(shù)不 超過 3 個 試求這批訂貨合格的概率 解 設 X 表示這批訂貨的次品數(shù) 伯努利概型 n 100 p 0 01 故概率為9816 099 001 0 3 3 0 100 100 3 0 k kkk k CkXPXP 3 注 此題 n 100 很大 p 0 01 很小 n p 1 較小 可用泊松分布近似計算 取 n p 1 1 PX 查表得 P X 3 0 9810 9 假設一小時內(nèi)進入學校圖書館的學生人數(shù)服從泊松分布 已知一小時無學生進入圖書館的概率為0 01 求一小時內(nèi)至少有 2 名學生進入圖書館的概率 解 設 X 表示一小時內(nèi)進入圖書館的學生人數(shù) 有 X P 且 P X 0 e 0 01 則 ln0 01 4 6052 故概率為 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 e e 1 0 01 0 0461 0 9439 注 此題查表可得此概率的近似值 由 X P 且 P X 0 0 01 查表可得 4 5 故 P X 2 1 P X 1 1 0 0611 0 9389 習題習題 2 3 1 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 2 1 21 4 1 10 12 1 0 0 x x x x xF 求 P X 1 1 2 1 XP P 1 X 2 解 X 的全部可能取值為 0 1 2 12 1 0 12 1 0 XP 6 1 12 1 4 1 1 XP 4 3 4 1 1 2 XP 則 X 的分布列為 4 3 6 1 12 1 210 X 故 6 1 1 XP 6 1 1 1 2 1 XPXP 12 11 4 3 6 1 2 1 21 XPXPXP 2 隨機變量 X 的可能取值為 0 1 2 對應概率依次為 2 1 6 1 3 1 求 1 X 的分布函數(shù)并作出圖形 2 2 5 0 XP和 2 5 0 XP 解 1 X 的分布列為 2 1 6 1 3 1 210 X 分段點 0 1 2 當 x 0 時 F x P X x P 0 當 0 x 1 時 3 1 0 XPxXPxF 當 1 x 2 時 2 1 6 1 3 1 1 0 XPXPxXPxF 當 x 2 時 F x P X x P 1 故 2 1 21 2 1 10 3 1 0 0 x x x x xF 0 1 2 x 1 y 1 2 1 3 4 2 3 2 3 1 1 0 2 5 2 5 0 FFXP 1 2 5 0 PXP 3 已知離散型隨機變量 X 的分布函數(shù) 3 1 31 8 0 10 6 0 01 3 0 1 0 x x x x x xF 試給出 X 的分布律 求計算 P X 1 X 0 解 X 的全部可能取值為 1 0 1 3 P X 1 0 3 0 0 3 P X 0 0 6 0 3 0 3 P X 1 0 8 0 6 0 2 P X 3 1 0 8 0 2 故 X 的分布列為 2 02 03 03 0 3101 X且1 0 0 0 0 1 0 1 XP XP XP XXP XXP 注 此題最好應該將 P X 1 X 0 改為 P X 1 X 0 則有 7 3 2 02 03 0 3 0 0 0 0 0 1 0 1 XP XP XP XXP XXP 4 一盒中有 6 個球 在這 6 個球上標注的數(shù)字分別為 3 3 1 1 1 2 現(xiàn)從盒中任取 1 球 試求取得的 球上標注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù) 解 設 X 表示取得的球上標注的數(shù)字 X 的全部可能取值為 3 1 2 3 1 6 2 3 XP 2 1 6 3 1 XP 6 1 2 XP 故 X 的分布列為 6 1 2 1 3 1 213 X 當 x 3 時 F x P X x P 0 當 3 x 1 時 3 1 3 XPxXPxF 當 1 x 2 時 6 5 2 1 3 1 1 3 XPXPxXPxF 當 x 2 時 F x P X x P 1 故 2 1 21 6 5 13 3 1 3 0 x x x x xF 5 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 F x 用 F x 表示下述概率 1 P X a 3 P X a 解 1 P X a 1 P X a 1 F a 3 P X a F a 5 習題習題 2 4 1 設 X 是連續(xù)型隨機變量 其分布函數(shù) 2 1 2 0 sin 0 0 x xxa x xF 試求常數(shù) a 與 6 XP 解 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù) 有 2 lim lim 2 2 FxFxF xx 即1sinlim 2 axa x 故 a 1 且 2 1 0 6 sin 6 6 6 0 0 0 e 2 2 x xba xF x 試求 1 系數(shù) a b 2 密度函數(shù) f x 解 1 由分布函數(shù)的規(guī)范性得1 e lim lim 2 2 abaxFF x xx 連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)連續(xù) 有 0 lim lim 00 FxFxF xx 即0 e lim 2 0 2 baba x x 故 a 1 b 1 2 當 x 0 時 2 2 e1 x xF 有 22 22 e e0 xx xxxFxf 故密度函數(shù) 0 0 0 e 2 2 x xx xf x 3 設隨機變量 X 的密度函數(shù)為 0 10 1 2 其他 xx xf 求 X 的分布函數(shù) 解 分段點 0 1 當 x 0 時 F x P X x P 0 當 0 x 1 時 2 0 2 0 2 2 1 2 xxttdttdttfxF x xx 0 1 xx 0 1 x x 6 當 x 2 時 1 2 1 2 1 0 2 1 0 ttdttdttfxF x 故 X 的分布函數(shù)為 1 1 10 2 0 0 2 x xxx x xF 4 已知隨機變量 X 的密度函數(shù)為 xcxf xx e 2 試確定常數(shù) c 的值 解 由密度函數(shù)的規(guī)范性得 1 edee 2 1 deededed 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 22 2 ctcxcxcxcxxf t xx xx 故 4 1 e 1 c 方法二 因 xcccxf xx xx eeee 22 2 2 1 4 1 4 1 2 1 與正態(tài)分布密度函數(shù) 0 0 0 e 5 1 5 1 x x xf x Y 伯努利概型 n 5 2 10 5 1 10 5 1 e e de 5 1 10 xx xXPp 即 Y B 5 e 2 則4833 0 e1 e 0 52020 5 CYP 3782 0 e1 e 1 42121 5 CYP 1184 0 e1 e 2 32222 5 CYP 0185 0 e1 e 3 22323 5 CYP 0015 0 e1 e 4 12424 5 CYP 0001 0 e1 e 5 02525 5 CYP 故 Y 的分布列為 0001 00015 00185 01184 03782 04833 0 543210 Y x 0 1 x 7 且 P Y 1 1 P Y 0 1 0 4833 0 5167 6 據(jù)歷史資料分析 某地區(qū)連續(xù)兩次強地震之間相隔的年數(shù) X 是一個隨機變量 它的分布函數(shù)為 0 0 0 e1 1 0 x x xF x 現(xiàn)假設該地區(qū)剛發(fā)生了一次強地震 試求 1 今后 3 年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率 2 今后 3 年至 5 年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率 解 1 P X 3 F 3 1 e 0 3 0 2592 2 P 3 X 5 F 5 F 3 1 e 0 5 1 e 0 3 e 0 3 e 0 5 0 1343 7 設 X N 0 1 求 P 1 X 2 P 2 1 5 解 P 1 X 2 2 1 0 9772 0 8413 0 1359 P 2 1 5 P X 1 5 1 5 1 1 5 2 2 1 5 2 2 0 9332 0 1336 8 設 X N 1 4 求 P X 3 P 1 X 3 P X 1 解 因 X N 1 4 有 1 2 故0228 09772 01 2 1 2 2 13 3 3 FXP 3413 05 08413 0 0 1 2 11 2 13 1 3 31 FFXP 0 1 1 2 11 1 2 11 1 1 1 1 1 1 FFXPXPXP 1 1 1 0 2 0 8413 0 5 0 6587 9 設隨機變量 X N 60 3 2 求分點 x1 x2 使 X 分別落在區(qū)間 x1 x1 x2 x2 的概率之比為 3 4 5 解 因 X N 60 3 2 有 60 3 則25 0 543 3 3 60 1 11 x xFxXP 有67 0 3 60 1 x 5833 0 543 43 3 60 2 22 x xFxXP 有21 0 3 60 2 x 故 x1 57 99 x2 60 63 10 某人需乘車去機場乘飛機 現(xiàn)有兩條路線可供選擇 走第一條路線所需時間 X1 N 50 100 走第二 條路線所需時間 X2 N 60 16 問 1 若有 70 分鐘 應選擇哪一條路線 2 若有 65 分鐘 應 選擇哪一條路線 解 因 X1 N 50 100 X2 N 60 16 有 1 50 1 10 2 60 2 4 應選擇能在規(guī)定時間內(nèi)到達機場概率更大的路線 1 9772 0 2 10 5070 70 70 11 FXP 9938 0 5 2 4 6070 70 70 22 FXP 即 P X2 70 更大 故應選擇第二條路線 2 9332 0 5 1 10 5065 65 65 11 FXP 8944 0 25 1 4 6065 65 65 22 FXP 即 P X1 65 更大 故應選擇第一條路線 8 習題習題 2 5 1 設隨機變量 X 的分布律為 10 3 10 3 10 1 10 1 5 1 2 5 2101 P X 求 1 X 1 的分布律 2 X 2的分布律 解 因 X 的全部可能取值為 2 5 2 1 0 1 則 X 1 的全部可能取值為 2 3 1 0 1 2 X 2的全部可能取值為 4 25 4 1 0 1 即 4 25 4 1 0 故 10 3 10 3 10 1 10 1 5 1 2 3 10121 P X 10 3 10 3 10 3 10 1 4 25 410 2 P X 2 測量一圓形物體的直徑 L 其分布律如下 2 03 04 01 0 13121110 P L 求圓周長與圓面積的分布律 解 因直徑 L 的全部可能取值為 10 11 12 13 則圓周長 C L 的全部可能取值為 10 11 12 13 圓面積 S 0 25 L2的全部可能取值為 25 30 25 36 42 25 故 2 03 04 01 0 13 12 11 10 P C 2 03 04 01 0 2 25 46 30 25 35 2 P S 3 設隨機變量 X 的密度函數(shù)為 0 63 81 2 其他 x x xf 求 12 3 1 XY 的密度函數(shù) fY y 解 因 12 3 1 xy 嚴格單調(diào)減少 其反函數(shù)為 x 12 3y 導數(shù)3 d d y x 且 3 x 6 時 有 2 y 5 故 Y 的密度函數(shù)52 3 4 3 81 312 22 y yy yfY 即 0 52 3 4 2 其他 y y yfY 4 設 2 2 UX 求 Y sin X 的密度函數(shù) 解 因 2 2 UX 有 X 的密度函數(shù)為 0 2 2 1 其他 x xfX 又因 y sin x 在 2 2 內(nèi)嚴格單調(diào)增加 其反函數(shù)為 x arcsin y 導數(shù) 2 1 1 d d y y x 9 且 2 2 x 時 1 y 1 則 11 1 1 1 1 1 22 y yy yfY 故 Y 的密度函數(shù) 0 0 0 e x x xf x 求 Y X 的密度函數(shù) 解 因隨機變量 X 的全部可能取值為 0 此時有 Y X 即 Y 與 X 有相同的分布 故 0 0 0 e y y yf y Y 6 設 X N 2 求 X Y的密度函數(shù) 解 因 X N 2 有 X 的密度函數(shù)為 xxf x X e 2 1 2 2 2 又因 x y嚴格單調(diào)增加 其反函數(shù)為 x y 導數(shù) y x d d 且 x 時 有 y 故 Y 的密度函數(shù) yyf y y Y e 2 1 e 2 1 22 2 2 2 即 Y N 0 1 7 設 X N 0 1 求 Y X 2的密度函數(shù) 解 因 X N 0 1 有 X 的密度函數(shù)為 xxf x X e 2 1 2 2 又因 y x 2在 x 內(nèi)分成兩個嚴格單調(diào)區(qū)間 x 0 和 0 x 在 x 0 內(nèi) y x 2的反函數(shù)為yx 導數(shù) yy x 2 1 d d 且 x 0 時 0 y 則 y yy yf yy Y 0 e 22 1 2 1 e 2 1 22 1 2 在 0 x 內(nèi) y x 2的反函數(shù)為yx 導數(shù) yy x 2 1 d d 且 0 x 時 0 y 則 0 0 0 e 2 1 2 y y y yf y Y 復習題二復習題二 1 設 X 的分布律 P X n pn n 1 2 求 p 之值 解 X 的分布列為 LL LL n ppp n X 2 21 根據(jù)概率函數(shù)規(guī)范性知1 1 n n p 可得 p 0 滿足概率函數(shù)的非負性與規(guī)范性 故它能成為一個離散性隨機變量的概率分布 3 甲 乙兩人相約玩一種電腦游戲 攻擂 甲先乙后輪流攻擂 先攻下擂者勝 已知甲 乙各自攻擂 成功的概率為 a 和 b 0 a b 0 由于 e 2 2 e 1 1 21 XPXP 可得 2 或 0 舍去 則每一頁中沒有印刷錯誤的概率1353 0ee 0 2 0 22 0 XP 查表 又設 Y 表示所檢驗的 4 頁中沒有印刷錯誤的頁數(shù) 有 Y B 4 e 2 B 4 0 1353 故所檢驗的 4 頁中都沒有印刷錯誤的概率0003 0e e1 e 4 802424 4 CYP 9 假設隨機變量 X 的絕對值不大于 1 8 1 1 XP 4 1 1 XP 在事件 X 1 出現(xiàn)的條件下 X 在 1 1 內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比 求 X 的分布函數(shù) F x 解 因 X 1 有 8 5 1 1 1 11 XPXPXP 若 a b 1 1 有 2 11 11 ab XP bXaP XbXaP 即 16 5 ab bXaP 當 x 1 時 F x P X x 0 當 1 x 1 時 16 75 16 1 5 8 1 1 1 xx xXPxXPXPxXPxF 當 x 1 時 F x P X x P 1 X 1 1 故 X 的分布函數(shù)為 1 1 11 16 75 1 0 x x x x xF 10 設 F1 x 和 F2 x 分別是兩個隨機變量的分布函數(shù) 試判斷下列各函數(shù)能否作為某隨機變量的分布函數(shù) 1 G x F1 x F2 x 2 x k1F1 x k2F2 x 其中 k1 0 k2 0 k1 k2 1 解 1 根據(jù)分布函數(shù)的規(guī)范性知 F1 F2 0 F1 F2 1 則 G F1 F2 0 G F1 F2 1 1 2 1 故 G x 不滿足分布函數(shù)的規(guī)范性 不能作為某隨機變量的分布函數(shù) 2 根據(jù)分布函數(shù)的四條基本性質(zhì)知 F1 x 0 F2 x 0 F1 F2 0 F1 F2 1 若 x1 x2 有 F1 x1 F1 x2 F2 x1 F2 x2 lim 011 0 xFxF xx lim 022 0 xFxF xx 則 x k1F1 x k2F2 x 0 k1F1 k2F2 0 k1F1 k2F2 k1 k2 1 x1 k1F1 x1 k2 F2 x1 k1F1 x2 k2 F2 x2 x2 13 lim lim 00220112211 00 xxFkxFkxFkxFkx xxxx 故 x 滿足分布函數(shù)的四條基本性質(zhì) 可以作為某隨機變量的分布函數(shù) 11 設 X 在 0 5 上服從均勻分布 求方程 4x2 4Xx X 2 0 有實根的概率 解 要使方程 4x 2 4Xx X 2 0 有實根 需判別式 4X 2 4 4 X 2 16 X 2 X 2 0 可得 X 1 或 X 2 故方程有實根的概率為 5 3 05 25 52 21 XPXXPU 12 某計算機在毀壞前運行的總時間 X 單位 小時 是一個連續(xù)型隨機變量 其密度函數(shù)為 0 0 0 e 100 x x xf x 求 1 該計算機在損壞前能運行 50 到 150 小時的概率 2 它的運行時間將小于 100 小時的概率 3 已知該計算機已經(jīng)運行了 50 小時 再運行 50 小時的概率 解 根據(jù)密度函數(shù)的規(guī)范性知 1100e100ded 0 100 0 100 xx xxxf 得 100 1 1 3834 0eeede 100 1 15050 5 15 0 150 50 100 150 50 100 xx xXP 2 6321 0e1ede 100 1 100 1 100 0 100 100 0 100 FXP 又 35 300300 35 300300 300 300 300300 0 0 0 1 2 2 x x x xf 求 Y lnX 的分布密度 解 因 y ln x x 0 嚴格單調(diào)增加 其反函數(shù)為 x e y 導數(shù) y y x e d d 且 x 0 時 有 y 14 故 Y 的密度函數(shù) yyf y y y y Y e1 e2 e e 1 2 22 15 設隨機變量 X 在區(qū)間 1 2 上服從均勻分布 求 Y e 2X的密度函數(shù) 解 因 X U 1 2 有 X 的密度函數(shù)為 0 21 3 1 其他 x xfX 又因 y e 2x嚴格單調(diào)增加 其反函數(shù)為yxln 2 1 導數(shù) yy x 2 1 d d 且 1 x 2 時 有 e 2 y e 4 則 42 ee 6 1