江蘇省灌云縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué) 增效減負 正弦定理教學(xué)案 (2).doc

正弦定理一、設(shè)計思想：定理教學(xué)中有一種簡陋的處理方式：簡單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實驗探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊涵的思維價值。從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題。二、教學(xué)目標：讓學(xué)生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā),通過對特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識，同時通過三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識間的聯(lián)系來幫助學(xué)生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點。三、教學(xué)重點與難點：本節(jié)課的重點是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。四、教學(xué)過程設(shè)計：abc（一）創(chuàng)設(shè)情境:如圖，現(xiàn)在河岸兩側(cè)a，b兩點間建一座橋，需要知道a，b間的距離由于環(huán)境因素不能直接測量a，b間的距離你有辦法間接測量a，b兩點間的距離嗎？引出：解三角形已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。設(shè)計意圖：從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。師：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？生：，“大角對大邊，大邊對大角” 師：“abc abc”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？引出課題：“正弦定理設(shè)計意圖：從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。（二）猜想、實驗：1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識“abc abc”，可能出現(xiàn)以下答案情形。如a/a=b/b=c/c,a/sina=b/sinb=c/sinc, a/cosa=b/cosb=c/cosc,a/tana=b/tanb=c/tanc，等等。設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出asina=bsinb=csinc。 3、實驗驗證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？請學(xué)生以量角器、刻度尺、計算器為工具，對一般三角形的上述關(guān)系式進行驗證，教師用幾何畫板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asina=bsinb=csinc。設(shè)計意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對問題的探究意識和動手實踐能力（三）證明探究：對此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過嚴格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在rtabc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，又, 則 ，從而在直角三角形abc中，。2、推廣拓展，探究證明 ： 問題2：在銳角三角形abc中，如何構(gòu)造、表示 “a與、 b與sinb”的關(guān)系呢？ 探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下三種方法構(gòu)造直角三角形。生1：如圖1，過 c作bc邊上的線cd，交ba的延長線于d，得到直角三角形dbc。生2：如圖2，過a作bc邊上的高線ad，化歸為兩個直角三角形問題。生3：如圖3，分別過b、c作ab、ac邊上的垂線，交于d，連接ad，也得到兩個直角三角形經(jīng)過師生討論指出：方法2，簡單明了，容易得到“c與、 b與sinb”的關(guān)系式。知識鏈接：根據(jù)化歸這一解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問題是自然不過的。而方法3將把問題延伸到四點共圓，深究下去，可得=2r，對此，可留做課后思考解決 圖1 圖2_c_b_a_a_c(bcosa,bsina)_d(acos(-b),asin(-b)_b(c,0) 圖3 圖4探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運算？ （1）圖2中蘊涵哪些向量關(guān)系式？學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個式子本質(zhì)上是相同的）, 等,（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運算?) 生：施以數(shù)量積運算 （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運算？學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時點乘向量（或），均無法如愿。此時引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時點乘向量,并說出理由：數(shù)量積運算產(chǎn)生余弦，垂直則實現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。知識鏈接：過渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過去，學(xué)生常對此感到費解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然探究3：能否引入向量的坐標形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算？（1）如圖4，建立直角坐標系，可得：a(0,0),b(c,0),c(bcosa,bsina),（2）向量的坐標=？ （bcosa-c，bsina）（3）哪一點的坐標與向量的坐標相同？由三角函數(shù)的定義，該點的坐標又為多少？根據(jù)平行四邊形法則，d（），從而建立等量關(guān)系：bcosac= bsina= , 整理，得c= bcosa+ acosb（這其實是射影定理），a/sina=b/sinb，同理可得a/sina=c/sinc。知識鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具，我們可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3問題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)）（四）理解定理、基本應(yīng)用：1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即問題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對角的正弦嚴格對應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。 （2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。評述：定理的直接應(yīng)用，對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。例2在中，已知，解三角形評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習(xí)：（1）、引題（問題1）（2）、在abc中，sinasinb是ab的a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件設(shè)計意圖：設(shè)計二個課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識整合，及時鞏固定理，運用定理。（五）課堂小結(jié)：問題5：請同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1：原來我只會解直角三角形，現(xiàn)在我會解一般三角形了師：通過本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強大了。生2：原來我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。師：我們學(xué)習(xí)過兩個重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。生3：公式很美。師：美在哪里？生3：體現(xiàn)了公式的對稱美，和諧美在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對邊，具有美學(xué)價值3、利用正弦定理解決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊 的對角，進而求出其他的邊和角。（3）實現(xiàn)邊與角的正弦的互化。設(shè)計意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點睛之筆。（六）分層作業(yè)：1、書面作業(yè)：課時訓(xùn)練對應(yīng)內(nèi)容2、研究類作業(yè)：1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2）在abc中，研究k的幾何