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通 知通 知 1新教材不考內(nèi)容 新教材不考內(nèi)容 3 2 4 3 4 4 3 4 5 6 2 5 7 4 4及后面章節(jié) 一般 及后面章節(jié) 一般 5 1及 及 6 1的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)也不考 的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)也不考 2考試時(shí)間 考試時(shí)間 3答疑 考試頭天晚上答疑 考試頭天晚上7 00 8 00 科技南 樓 科技南 樓715 最后一次作業(yè)照交 最后一次作業(yè)照交 4復(fù)習(xí)材料 教材 練習(xí)冊(cè)和浙大教材 復(fù)習(xí) 技巧 先系統(tǒng)復(fù)習(xí)再做以前的統(tǒng)考題 注重 客觀題 復(fù)習(xí)材料 教材 練習(xí)冊(cè)和浙大教材 復(fù)習(xí) 技巧 先系統(tǒng)復(fù)習(xí)再做以前的統(tǒng)考題 注重 客觀題 例1例1一批外形相同的產(chǎn)品 由6件正品和4件次品 組成 考察下面事件的概率 一批外形相同的產(chǎn)品 由6件正品和4件次品 組成 考察下面事件的概率 E E1 1 有放回地 有放回地任任取三件 取三件 A1 恰有兩件次品恰有兩件次品 P A1 E E2 2 不放回地 不放回地任任取三件 取三件 A2 只第只第1 3件為次品件為次品 P A2 E E3 3 不放回地 不放回地任任取三件 取三件 A3 恰有兩件為次品恰有兩件為次品 P A3 10 10 10 4 4 6 2 3 C 10 9 8 4 6 3 3 10 1 6 2 4 C CC 總結(jié) 有放回總結(jié) 有放回 元素可同元素可同 考慮可重復(fù)排列數(shù) 考慮可重復(fù)排列數(shù) 無放回?zé)o放回 元素不同元素不同 事件與順序有關(guān)時(shí) 考慮不重復(fù)排列數(shù) 事件與順序無關(guān)時(shí) 考慮組合數(shù) 事件與順序有關(guān)時(shí) 考慮不重復(fù)排列數(shù) 事件與順序無關(guān)時(shí) 考慮組合數(shù) 例例4 一批同類產(chǎn)品共有件 其中次品 件 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取件 一批同類產(chǎn)品共有件 其中次品 件 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取件 取后不放回取后不放回 問這件中恰 有件次品的概率是多少 問這件中恰 有件次品的概率是多少 N NMM0 向平面任意投一 長(zhǎng)為 向平面任意投一 長(zhǎng)為 l l a 的針 試求針與一條平行線相交的概率 的針 試求針與一條平行線相交的概率 解解 設(shè)設(shè) x 是針的中點(diǎn)是針的中點(diǎn) M 到最近的平行線的距離 是針 與此平行線的交角 投針問題就相當(dāng)于在平面區(qū)域 到最近的平行線的距離 是針 與此平行線的交角 投針問題就相當(dāng)于在平面區(qū)域 D 取點(diǎn) 的幾何概型 取點(diǎn) 的幾何概型 0 sin 2 2 2 l d Al P a Da 的面積 的面積 0 0 2 a Dxx 0 0sin 2 l Axx sin 2 l x x 2 a D A 0 注注 已知某事件已發(fā)生 此時(shí)求另一事件的概率 則為求條件概率 已知某事件已發(fā)生 此時(shí)求另一事件的概率 則為求條件概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié) 果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié) 果出現(xiàn)的概率 已知每種原因出現(xiàn)的概率及每種原因?qū)е履辰Y(jié) 果出現(xiàn)的條件概率 則由全概率公式 可求得某結(jié) 果出現(xiàn)的概率P B 非條件概率非條件概率 由 由Bayes公式 可 求得結(jié)果 公式 可 求得結(jié)果B是由某原因引起的是由某原因引起的 后驗(yàn)后驗(yàn) 條件條件 概率 概率 應(yīng)用全概率公式和應(yīng)用全概率公式和Bayes公式時(shí)要注意其條件公式時(shí)要注意其條件 原因都兩兩不相容原因都兩兩不相容 注 注 互不相容互不相容與與相互獨(dú)立相互獨(dú)立是兩個(gè)不同的概念是兩個(gè)不同的概念 BPAPABP 相互獨(dú)立 相互獨(dú)立 AB 互不相容 互不相容 一般二者不同時(shí)成立一般二者不同時(shí)成立 相互獨(dú)立的性質(zhì) 相互獨(dú)立的性質(zhì) 若若n個(gè)事件相互獨(dú)立 則其中任意個(gè)事件相互獨(dú)立 則其中任意m個(gè) 事件也相互獨(dú)立 把其中任意 個(gè) 事件也相互獨(dú)立 把其中任意m個(gè)事件換成對(duì)立事件以 后 所得的 個(gè)事件換成對(duì)立事件以 后 所得的n個(gè)事件也相互獨(dú)立 個(gè)事件也相互獨(dú)立 練習(xí)練習(xí)2 討論兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 討論兩事件互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 練習(xí)練習(xí)3一架長(zhǎng)一架長(zhǎng) zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長(zhǎng)機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng) 過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長(zhǎng)機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng) 過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo) 的概率都是 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo) 的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 試求目標(biāo)被炸毀的概率 是非題是非題1 若若P A 0 則 則A 若 若P A 1 則 則A 如幾何概型中任一基本事件概率為如幾何概型中任一基本事件概率為0 練習(xí)練習(xí)2討論互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 討論互不相容與相互獨(dú)立的關(guān)系 解解 1 若若P A P B 0 則二者不可能同時(shí)成立則二者不可能同時(shí)成立 因?yàn)橐驗(yàn)?a 若若A B互不相容 即互不相容 即AB 則 則 0 P AB P A P B 即 即A B 不相互獨(dú)立 不相互獨(dú)立 b 若若A B 相互獨(dú)立 即相互獨(dú)立 即P AB P A P B 0 則 則 AB 即 即A B相容 相容 2 若若P A P B 0 則二者有可能同時(shí)成立則二者有可能同時(shí)成立 因?yàn)橐驗(yàn)?a 若若A B互不相容 即互不相容 即AB 則 則 P AB P A P B 0 即 即 A B獨(dú)立 獨(dú)立 b 若若A B相互獨(dú)立 即相互獨(dú)立 即P AB P A P B 0 AB 練習(xí)練習(xí)3 一架長(zhǎng)一架長(zhǎng) zhang 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長(zhǎng)機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng) 過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為 機(jī)帶兩架僚機(jī)飛往某地進(jìn)行轟炸 只有長(zhǎng)機(jī)能確定具體目標(biāo) 在到達(dá)目標(biāo)上空之前 必須經(jīng) 過敵高炮防空區(qū) 這時(shí)任一架飛機(jī)被擊落的概率為0 2 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo) 的概率都是 到達(dá)目標(biāo)上空之后 各飛機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸 炸毀目標(biāo) 的概率都是0 3 試求目標(biāo)被炸毀的概率 試求目標(biāo)被炸毀的概率 列出式子即可列出式子即可 解解 記記Bi為長(zhǎng)機(jī)與為長(zhǎng)機(jī)與i架僚機(jī)到達(dá)目標(biāo)上空 架僚機(jī)到達(dá)目標(biāo)上空 i 0 1 2 A為目標(biāo)被炸毀 則為目標(biāo)被炸毀 則 P B0 0 8 0 22 0 032 P B1 2 0 82 0 2 0 256 P B2 0 83 0 512 故故 2 0 i ii BAPBPAP 0 4765 B0B1B2 P A Bi P A Bi A P Bi P Bi P A B0 0 3 22233 1 0 20 8 0 2 0 72 0 8 0 2 0 70 8 0 7 P A B2 1 0 73 0 657 P A B1 1 0 72 0 51 或或 練習(xí)題練習(xí)題1 設(shè)某長(zhǎng)途汽車在起點(diǎn)站有設(shè)某長(zhǎng)途汽車在起點(diǎn)站有20位乘客上車 每位 乘客在以后的 位乘客上車 每位 乘客在以后的10個(gè)車站等可能地下車 求沒有三位及三位 以上的乘客在同一車站下車的概率 個(gè)車站等可能地下車 求沒有三位及三位 以上的乘客在同一車站下車的概率 解記解記A 每個(gè)車站恰有兩位乘客下車每個(gè)車站恰有兩位乘客下車 則 則 20 2 2 2 16 2 18 2 20 10 CCCC AP L 習(xí)題講評(píng)習(xí)題講評(píng) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 A 第一章小結(jié)第一章小結(jié) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 樣本空間 所 有 所 有 樣本空間 樣本空間 所 有 所 有 關(guān)系 關(guān)系 關(guān)系 關(guān)系 BA ABAB 運(yùn)算 運(yùn)算 AB A B A AB 運(yùn)算 運(yùn)算 AB A B A AB BAUBA 獨(dú)立獨(dú)立 P AB P A P B 獨(dú)立獨(dú)立 P AB P A P B 公式公式 P AB P A P B A 公式公式 P AB P A P B A P A B P A P A B P A 公理化定義公理化定義 1 P A 0 2 3 公理化定義公理化定義 1 P A 0 2 3 1 P ii APAP 1 APAP BPAPBAPBA ABPBPAPBAP U 條件概率條件概率 條件概率條件概率 BP ABP BAP 全概率公式全概率公式P B i 1n i 1nP Ai P B Ai Bayes公式公式 全概率公式全概率公式P B i 1n i 1nP Ai P B Ai Bayes公式公式 n j jj i i ABPAP BAP BAP 1 統(tǒng)計(jì)古典 幾何概率 統(tǒng)計(jì)古典 幾何概率 B X 0 1 2 3 3 導(dǎo)彈問題導(dǎo)彈問題設(shè)某種導(dǎo)彈的命中率為設(shè)某種導(dǎo)彈的命中率為99 但過期后 便只有 但過期后 便只有5 又設(shè)某目標(biāo)被擊中三枚導(dǎo)彈方可摧毀 現(xiàn)從混有 又設(shè)某目標(biāo)被擊中三枚導(dǎo)彈方可摧毀 現(xiàn)從混有4枚過期導(dǎo)彈的枚過期導(dǎo)彈的100枚導(dǎo)彈中任取枚導(dǎo)彈中任取3枚獨(dú)立地 向目標(biāo)發(fā)射 求目標(biāo)被摧毀的概率 枚獨(dú)立地 向目標(biāo)發(fā)射 求目標(biāo)被摧毀的概率 解解記記X為取出的為取出的3枚導(dǎo)彈中含的過期導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈中含的過期導(dǎo)彈數(shù)數(shù) B 目標(biāo) 被摧毀 目標(biāo) 被摧毀 則 則 3 100 3 964 C CC kXP kk k 0 1 2 3 3 0 k kXBPkXPBP kk k kk C CC 3 3 0 3 100 3 964 99 005 0 0 8629 超幾何分布超幾何分布 注注 全概率公式 獨(dú)立性全概率公式 獨(dú)立性 練習(xí)練習(xí)1 設(shè)有設(shè)有3個(gè)人個(gè)人4種就業(yè)機(jī)會(huì) 每人可隨機(jī)選取任 一個(gè)就業(yè)機(jī)會(huì) 求各個(gè)就業(yè)機(jī)會(huì)最多有 種就業(yè)機(jī)會(huì) 每人可隨機(jī)選取任 一個(gè)就業(yè)機(jī)會(huì) 求各個(gè)就業(yè)機(jī)會(huì)最多有1人 人 2人 人 3人選擇的概率各是多少 人選擇的概率各是多少 解解 記記X為選擇人數(shù)最多的就業(yè)機(jī)會(huì)所含的人為選擇人數(shù)最多的就業(yè)機(jī)會(huì)所含的人數(shù)數(shù) 則 則 8 3 4 2 3 4 1 3 XP 16 9 4 3 2 3 2 3 1 4 CC XP 16 1 4 4 3 3 XP 1 2 3 x 驗(yàn)算 驗(yàn)算 和為和為1 是非題是非題 1 泊松分布不是一個(gè)單獨(dú)存在的分布泊松分布不是一個(gè)單獨(dú)存在的分布 2 取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量 P 3 f x 為概率密度 積分為1 4 P 為概率密度 積分為1 4 P A A 0 0 A A 5 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù) 6 若密度為 5 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù) 6 若密度為 x1 0 f1f20 x2x3 則則F x 為 三分段函數(shù) 為 三分段函數(shù) 且且 2 223 x x F xfx dxxxx 1 0 0 0 x ex f x x 7 非負(fù)整數(shù)非負(fù)整數(shù) 及及 f x 0 如如C R V X 有有P X a 0 是是 但非 處處可導(dǎo) 但非 處處可導(dǎo) 四四 2 12 1223 xx xx F xf x dxfx dxxxx 直接積分得直接積分得 F1 x F2 x 事件概率也同 事件概率也同 則F1 x F2 x 一般 若一般 若 12 a s f xfx 則視為同一密度 則視為同一密度 2 3 2討論題討論題 廣義反函數(shù)除外廣義反函數(shù)除外 1 若若X U a b 則則P c Xt t0 X t0 P X t 5 若若X N 2 問問F x 能否積出能否積出 轉(zhuǎn)換公式為轉(zhuǎn)換公式為 F x P a X b 7 什么樣的隨機(jī)變量什么樣的隨機(jī)變量 正態(tài)分布正態(tài)分布 應(yīng)用實(shí)例 應(yīng)用實(shí)例 6 若若X N 0 1 且且P X0 無記憶性無記憶性 新舊一樣新舊一樣 x P aXbF bF a 0 5 反查正態(tài)分布表得反查正態(tài)分布表得 x 1 1 p p 若 若p 例例2 18 習(xí)題習(xí)題2 27 4 2 28 例例2 設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N t P t 1 求相繼兩次故障之間的時(shí)間間隔求相繼兩次故障之間的時(shí)間間隔T的概率分布 的概率分布 2 求在設(shè)備無故障工作求在設(shè)備無故障工作7小時(shí)的條件下 再無故障工作小時(shí)的條件下 再無故障工作9 小時(shí)的概率小時(shí)的概率p 解 解 1 F tP Tt t e 1 t e t 0 1 0 t TTPp 7 7 16 TP TTP 7 16 TP TP 即即 T E 7 1 16 1 F F 9 7 16 e e e 9 TP 無記憶性無記憶性 3 三臺(tái)設(shè)備中至少有兩臺(tái)設(shè)備的壽命超過三臺(tái)設(shè)備中至少有兩臺(tái)設(shè)備的壽命超過9小時(shí)的概率 小時(shí)的概率 二項(xiàng)分布 習(xí)題二項(xiàng)分布 習(xí)題2 10 2 14 2 17 P38 1 0 P N t 1 P N t 事件轉(zhuǎn)換事件轉(zhuǎn)換 例例5 若若F x 為為C R V X的嚴(yán)格單增的分布函數(shù) 則的嚴(yán)格單增的分布函數(shù) 則R V Y F X U 0 1 如若 如若X N 0 1 則 則 X U 0 1 解解0 y 1 時(shí) 時(shí) 1 P XFy y 0時(shí) 時(shí) 1 01 0 YY y fyFy 其它 1 F Fyy FY y P Y y P F X y FY y P Y y 0 y 1 時(shí) 時(shí) FY y P Y y 1 故故F X U 0 1 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 統(tǒng)考題統(tǒng)考題 設(shè)求設(shè)求 使使P 1 X e 最大 最大 P 1 Xt s X s P X t 4 指數(shù)和正態(tài)分布的密度都是指數(shù)形式指數(shù)和正態(tài)分布的密度都是指數(shù)形式 二者的區(qū)別是二者的區(qū)別是 5 設(shè)設(shè)X fX x 2 exp xxA 求求A并指出并指出X的分布類型的分布類型 2 4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 3 指數(shù)分布跟指數(shù)分布跟Poission分布的關(guān)系是分布的關(guān)系是 泊松過程從泊松過程從 k變到變到 k 1之間所需要的時(shí)間服從指數(shù)分布之間所需要的時(shí)間服從指數(shù)分布 A 1 4 ln 2 正態(tài)分布正態(tài)分布 2 4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一 問題一 問題 例例6 設(shè)設(shè)C是以原點(diǎn)為圓心的單 位圓周 是以原點(diǎn)為圓心的單 位圓周 A為為C上的任意一點(diǎn) 求上的任意一點(diǎn) 求 A的橫坐標(biāo)的分布 的橫坐標(biāo)的分布 X o A 解解 記記 為為OA與與x軸的夾角 軸的夾角 由題意由題意 U 則 則X cos cos X FxPx x 01 11 11 x px x arccos pPx arccos Px arccosx 0 2 arccos 2 x xFxf XX 2 1 11 1 0 x x 0 0 0 X fxx 例例1 設(shè)整數(shù)設(shè)整數(shù)X等可能地在等可能地在1 2 3 4中取值 另一整數(shù)中取值 另一整數(shù)Y 等可能地在等可能地在1 X中取值 求中取值 求 X Y 的聯(lián)合及邊緣分布列的聯(lián)合及邊緣分布列 解解 1 3 1 4 1 X Y 4321 1 2 3 4 4 1 8 1 4 1 4 1 12 1 16 1 000 8 1 00 12 1 0 16 1 16 1 P Xi Yj i 1 4 1 4 3 2 11 ij iXjYPiXP j P Yjp i P 4 1 4 1 4 1 4 1 j P 48 25 48 13 48 7 48 3 1 1 4 1 2 3 4 P Xi i 2 直接求直接求 P Yj 或或 全概率公式全概率公式 4 1 1 2 3 4 4 ij j i 4 1 1 4 ij i 1 2 3 4j 練習(xí)八練習(xí)八 5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 xx ee xf 12 x 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y g X 的概率分布 其中的概率分布 其中 0 1 0 1 x x xg 1 解解 YP 0 XP dx ee xx 12 0 dx e e x x 1 2 2 0 0 2 arctan x e 2 1 2 1 1 1 1 YPYP Y 1 1 P0 5 0 5 例例2 設(shè)某醫(yī)院一天出生的嬰兒數(shù)為設(shè)某醫(yī)院一天出生的嬰兒數(shù)為X 其中男嬰數(shù)為 其中男嬰數(shù)為 Y 已知 已知 X Y 的聯(lián)合分布列為 的聯(lián)合分布列為 86 6 14 7 14 mnm emYnXP mnm nm 1 0L L 1 0 n 求求X與與Y的邊緣分布 的邊緣分布 n m mnm n e mnm n nXP 0 14 86 6 14 7 解解 14 86 614 7 e n n L 1 0 n 14 PX 即即 14 6 867 14 n mm P Yme nmm 14 7 14 7 e m m 0 1 m L mn 14 7 PY 14 n 條件分布 條件分布 P Xn Ym P Ym Xn P Xn 7 146 86 0 1 1414 mn m m n Cmn L 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 習(xí)題選講習(xí)題選講 例例3 設(shè)每次實(shí)驗(yàn)有設(shè)每次實(shí)驗(yàn)有l(wèi)個(gè)互不相容的結(jié)果個(gè)互不相容的結(jié)果A1 A2 Al 一 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率分別為 一 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率分別為p1 p2 pl 現(xiàn)將該實(shí)驗(yàn)獨(dú)立 重復(fù)地進(jìn)行 現(xiàn)將該實(shí)驗(yàn)獨(dú)立 重復(fù)地進(jìn)行n次 記次 記Xi i 1 2 l 為為n次實(shí)驗(yàn)中事件次實(shí)驗(yàn)中事件Ai i 1 2 l 發(fā)生的次數(shù) 求其聯(lián)合分布列 發(fā)生的次數(shù) 求其聯(lián)合分布列 解解 該實(shí)驗(yàn)是伯努利實(shí)驗(yàn)的推廣 其分布是二項(xiàng)分布 的推廣 稱為 該實(shí)驗(yàn)是伯努利實(shí)驗(yàn)的推廣 其分布是二項(xiàng)分布 的推廣 稱為多項(xiàng)分布多項(xiàng)分布 M n p1 p2 pl 1122 ll P Xk XkXk L 1 1 k p 1 k n C 2 1 k n k C L 11 l l k n kk C L 2 2 k p l k l p 問題 問題 Xi i 1 2 n L 1 0 1 2 l ii i kinkn L B n pi 課堂課堂練習(xí)練習(xí) 設(shè)樓房有六層 每個(gè)乘電梯的人在設(shè)樓房有六層 每個(gè)乘電梯的人在2 3 4 5 6層 下的概率分別為 層 下的概率分別為0 08 0 14 0 20 0 26 0 32 試求在一 樓乘上電梯的 試求在一 樓乘上電梯的15人中 恰好有人中 恰好有1 2 3 4 5人分別在人分別在2 3 4 5 6層下電梯的概率層下電梯的概率p 解解 記記Xi為在第為在第i 1層下電梯的人數(shù) 層下電梯的人數(shù) i 1 2 3 4 5 則 則 12345 1 2 3 4 5 P XXXXX 1 08 0 2 14 0 3 20 0 4 26 0 5 32 0 0 073 1 15 C 2 14 C 3 12 C 4 9 C 5 5 C 注 注 Xi 其聯(lián)合分布為其聯(lián)合分布為多項(xiàng)分布多項(xiàng)分布M 15 0 08 0 14 0 20 0 26 0 32 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布B 15 pi 2 二維C R V 的邊緣密度2 二維C R V 的邊緣密度 x X dudvvufxFxF dudvvuf x X的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù) 2 1 yx X yx fxf x y dyf x y dy Y 的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù) x y 作圖 定限再計(jì)算 驗(yàn)證作圖 定限再計(jì)算 驗(yàn)證 ab y y1 x y y2 x x l x g u G 記記 G f x y 0 2 1 xy Y xy fyf x y dxf x y dx axb 單變量 非負(fù)和規(guī)范性單變量 非負(fù)和規(guī)范性 解析法 解析法 等價(jià)事件分解等價(jià)事件分解 例例2 習(xí)題 習(xí)題3 20 設(shè) 設(shè)X B m p Y B n p 且相互獨(dú) 立 求 且相互獨(dú) 立 求Z X Y的分布 的分布 kZP 解解 kYXP k i ikYPiXP 0 k i 0 1 iim i m C pp iknikik n ppC 1 0 k ik i mn i C C 1 km n k pp 1 kkm n k m n Cpp 0 1 2 kmn L ZB mn p 考慮從含考慮從含m個(gè)黑球和個(gè)黑球和n個(gè)白球的袋中任取個(gè)白球的袋中任取 k個(gè)球的組合數(shù) 有個(gè)球的組合數(shù) 有 0 k ik ik mnm n i C CC 二二C R V 函數(shù)的分布函數(shù)的分布 概率密度概率密度 原理 等價(jià)事件替換原理 等價(jià)事件替換 分布函數(shù)法 分布函數(shù)法 已知已知 X Y 的概率密度的概率密度 f x y 求求Z g X Y 的概率密度 的概率密度 1 FZ z P Z z P g X Y z IG zyxg dxdyyxf 2 f Z z FZ z 注注 交有幾種形狀 則有幾個(gè)表達(dá)式交有幾種形狀 則有幾個(gè)表達(dá)式 其中其中G f x y 0 作圖求出積分 作圖求出積分 2公式法 和 最大 最小 公式法 和 最大 最小 分布函數(shù)法分布函數(shù)法 例例4 ??碱}型??碱}型 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 解解 其他 0 1 0 yxyx yxf 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Z X Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)fZ z zYXPzZPzFZ 法一 分布函數(shù)法法一 分布函數(shù)法 G x y z f x y dxdy I 3 00 11 23 1 3 01 1 1 3 12 zz x zz x dxxy dyzz dxxy dyzzz 0 x y 1 1 G 法二法二 公式法公式法 dxxzxfzfZ 10 10 xz x 2 0 1 1 01 2 12 0 z z xzx dxzz xzx dxzzz zPzFzPzF ZZ 其它 0 21 2 10 2 zzz zz zFzf ZZ ZXY fzfx fzx dx 能否用 注意到被積函數(shù)的非零區(qū)域G為 注意到被積函數(shù)的非零區(qū)域G為 x z x z 1 1 1 0 z x 2 G 解解 X FxP Xx 0 0 0 0 1 0 1 x x exV xV 0 min 練習(xí)練習(xí)1 某電路的電壓某電路的電壓V E 電壓表的最大讀數(shù)為 電壓表的最大讀數(shù)為V0 求測(cè)試電壓 求測(cè)試電壓X的的分布函數(shù) 并判斷隨機(jī)變量的類型 分布函數(shù) 并判斷隨機(jī)變量的類型 因因X的可能取值不止可列個(gè) 且的可能取值不止可列個(gè) 且 XV V 0V0 故故X屬于混合型隨機(jī)變量 不存在分布列和密度 屬于混合型隨機(jī)變量 不存在分布列和密度 000 0 XX P XVF VF V 0 P VV 0 V e 0 0 0 0 0 Px P VxxV PxV 1 1 22 22 yxyxf yxyxf yxg100 xy 是二維概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量是二維概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量 U V 有密度函數(shù)有密度函數(shù)g x y 證明 證明 U V 都服從都服從N 0 1 但 但 U V 不服從二維正態(tài)分布 不服從二維正態(tài)分布 2 R dxdyyxg dxdy xy yxf yx 1 22 100 dxdyyxf yx 1 22 0 100 1 22 dxdy xy yx 2 R dxdyyxf 1 當(dāng)當(dāng)1 22 yx時(shí) 時(shí) 2 1 22 2 1 yx eyxg 100 xy 200 22 yx 200 1 2 1 e 0 2 2 1 1 0 1 100 x x xy dyx Q g x y dy dyyxf x ydxyxg yxfyxg 同理同理但但 問題 邊緣分布為正態(tài)分布 則聯(lián)合分布也必為正態(tài)分布嗎 問題 邊緣分布為正態(tài)分布 則聯(lián)合分布也必為正態(tài)分布嗎 否 見本題反例否 見本題反例 Exer1 設(shè)設(shè)R V X Y 在區(qū)域在區(qū)域G 0 x 1 x y x 上服從均 勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的分布 上服從均 勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的分布 Exer2 設(shè)設(shè)R V X E 和和 Y E 獨(dú)立 求獨(dú)立 求Z X Y 2的 密度 的 密度 Exer3 設(shè)設(shè)R V X N 2 2 和和 Y P Y 1 1 3 P Y 1 2 3 獨(dú)立 求獨(dú)立 求Z X Y的分布 的分布 第三章測(cè)試第三章測(cè)試 Exer1 設(shè)設(shè)R V X Y 在區(qū)域在區(qū)域G 0 x 1 x y x 上服從 均勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的 分布 上服從 均勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的 分布 0 1 y x y x 解解 Gyx GyxS yxf 0 1 1 X fxf x y dy Y fyf x y dx 2 0 1 0 x x dyx x 其它 1 1 1 1 0 1 0 1 0 y y dxy y dxy y 其它 因在區(qū)域因在區(qū)域G內(nèi)內(nèi) XY f x yfx fy 故不獨(dú)立 故不獨(dú)立 G Exer1 設(shè)設(shè)R V X Y 在區(qū)域在區(qū)域G 0 x 1 x y x 上服從 均勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的 分布 上服從 均勻分布 求邊緣概率密度函數(shù) 判斷獨(dú)立性 求和的 分布 0 1 y x y x 解解 X Y x y zG Fzf x y dxdy I 1 2 1 2 02 X Y z fzf x zx dxdxzz 1 2 2 2 11 1 2 4 02 x zz x dxdyz zzz x y z z 0時(shí) 0時(shí) F FX X Y Y z z 0 0 z 2時(shí) 時(shí) FX Y z 1 故故 1 2 02 X YX Y fzFzzz G 或用公式法 有或用公式法 有 Exer2 設(shè)設(shè)R V X E 和和 Y E 獨(dú)立 求獨(dú)立 求Z X Y 2的 密度 用分布函數(shù)法 的 密度 用分布函數(shù)法 2 2 zYXPzYXPzFZ x y 2z 2z z 0 2z z 0 2 G XY x yz fx fy dxdy I zFzf ZZ 0 0 02 0 2 0 zx yx zy yx zdyeedx zdxeedy 2 2 2 0 2 0 z z ez ez 1 1 0 0 0 222 z lzlzll z 2 2 lzlzFzf ZZ lz 0 3 2 1 0 2 ldzlzlzZE 6 2 2 1 0 222 ldzlzlzZE 18 2 lZD 例例7 設(shè)設(shè) X Y 在區(qū)域在區(qū)域A上服從均勻分布 其中上服從均勻分布 其中A是由直 線 是由直 線x 0 y 0和和 x y 2 圍成的三角形區(qū)域圍成的三角形區(qū)域 求求E X E Y E X Y E XY 1 0 x yA f x y 其它 解解 x 10 2 y 1 2 y x 2 1 0 2 1 01 0 x X dyxx fxf x y dy 其它 1 0 2 1 1 3E Xxx dx E Y dxdyyxyf 2 0 2 1 0 y ydxdy2 3 E XYE XE Y 2 0 2 1 0 y xydxdyXYE 2 0 2 6 1 2 1 2 dx yy 3 2 3 1 1 32 31 G 注注 已知已知f x y 求求E g X E g Y 也用定理也用定理4 2 解解 Z FzP Zz 1 1 1 1 P YXzP YXz 1 1 1 1 P YP XzP YP Xz Exer3 設(shè)設(shè)R V X N 2 2 和和 Y P Y 1 1 3 P Y 1 2 3 獨(dú)立 求獨(dú)立 求Z X Y的分布 的分布 12 1 1 33 XX FzFz Z Z fzFz 故故 12 1 1 33 XX fzfz 22 22 11 1 21 1 expexp 323222 zz zYXP 習(xí)題選講習(xí)題選講 練習(xí)練習(xí)11 3 從一大批產(chǎn)品中逐個(gè)隨機(jī)抽取檢查 一旦發(fā) 現(xiàn)廢品就認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格而停止檢查 若抽查到第 從一大批產(chǎn)品中逐個(gè)隨機(jī)抽取檢查 一旦發(fā) 現(xiàn)廢品就認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格而停止檢查 若抽查到第n0 件仍未發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為該批產(chǎn)品合格而停止檢查 件仍未發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為該批產(chǎn)品合格而停止檢查 設(shè)產(chǎn) 品的廢品率為 設(shè)產(chǎn) 品的廢品率為p 問平均要檢查多少件產(chǎn)品 問平均要檢查多少件產(chǎn)品 kXP 解設(shè)解設(shè)X為所檢查產(chǎn)品的件數(shù) 則為所檢查產(chǎn)品的件數(shù) 則 pp k1 1 1 2 1 0 nkL 000 11 0 1 1 1 nnn PXnpppp 1 0 1 1 1 0 0 1 1 n n k k pnppkXE 1 1 0 n k k qp 0 1 0 1 n qp n q 1 0 0 0 1 1 1 n n qn q q p p p n0 1 1 練習(xí)練習(xí)11 2 11 5 11 6 練習(xí)練習(xí)3 設(shè)設(shè)n 個(gè)人從個(gè)人從n頂帽子中任取一頂 頂帽子中任取一頂 X為取到自己 帽子的人數(shù) 求 為取到自己 帽子的人數(shù) 求E X 練習(xí)練習(xí)1 某學(xué)生沿操場(chǎng)某學(xué)生沿操場(chǎng)400米跑道跑步 他最多跑米跑道跑步 他最多跑600米 會(huì)在途中任一處停下來 然后再沿著跟起點(diǎn)最近的一側(cè) 跑道跑回去 求其跑回來的平均距離 米 會(huì)在途中任一處停下來 然后再沿著跟起點(diǎn)最近的一側(cè) 跑道跑回去 求其跑回來的平均距離 練習(xí)練習(xí)2 設(shè)設(shè)X N 0 1 與與Y N 0 1 相互獨(dú)立 相互獨(dú)立 max X Y min X Y 求求E E 練習(xí)練習(xí)1 某學(xué)生沿操場(chǎng)某學(xué)生沿操場(chǎng)400米跑道跑步 他最多跑米跑道跑步 他最多跑600米 會(huì)在途中任一處停下來 然后再沿著跟起點(diǎn)最近的一側(cè) 跑道跑回去 求其跑回來的平均距離 米 會(huì)在途中任一處停下來 然后再沿著跟起點(diǎn)最近的一側(cè) 跑道跑回去 求其跑回來的平均距離 解解 0200 400 200400 400 400600 XX Yg XXX XX 200400600 0200400 1 400 400 600 200002000020000 100 600 X EYE g Xg x fx dx xdxx dxxdx 定理定理4 1 X U 0 600 且 且 記記X為其首次跑過的路程 為其首次跑過的路程 Y為其跑回的路程 則為其跑回的路程 則 練習(xí)練習(xí)2 設(shè)設(shè)X N 0 1 與與Y N 0 1 相互獨(dú)立 相互獨(dú)立 max X Y min X Y 求 求E E 解解 XY max Ex y f x y dxdy XYXY x yx y xfx fy dyyfx fy dy 2 XY x y xfx fy dy 求求E 用用定理定理4 2 見教材 見教材P110 22 2 2 2 2 yx y edyxedx 211 y edy 1 EEXEYE 練習(xí)練習(xí)3 設(shè)設(shè)n 個(gè)人從個(gè)人從n頂帽子中任取一頂 頂帽子中任取一頂 X為取到自己 帽子的人數(shù) 求 為取到自己 帽子的人數(shù) 求E X 解解 1 1 2 0 i i Xin i L 第 個(gè)人取到了自己的帽子 則 第 個(gè)人未取到自己的帽子 從而 1 n i i XX 1 1 1 1 1 0 0 1 n i i n ii i EXEX P XP Xn n 定理定理4 3 非獨(dú)立同非獨(dú)立同0 1分布分布 例例1 將將 r 只球隨機(jī)放入只球隨機(jī)放入 n 個(gè)盒子中個(gè)盒子中 求平均空盒子數(shù) 求平均空盒子數(shù) 解解設(shè)總的空盒子數(shù)為設(shè)總的空盒子數(shù)為X 則 個(gè)盒子不空第 個(gè)盒子為空第 ni i i X i 2 1 0 1 L 從而 1 n i i XX 11 1 1 0 0 1 nn iii ii r EXEXP XP X n n n 非獨(dú)立同非獨(dú)立同0 1分布分布 例例2 設(shè)產(chǎn)品尺寸設(shè)產(chǎn)品尺寸X N 1 利潤(rùn)利潤(rùn) 解解 求求 使銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大 使銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大 X X X T 12 5 1210 20 10 1 dxxfxTTE 10 1 XP 5 12 25 10 21 d TdE 0 12 25 10 21 12 10 21 25 9128 10 10 12 22 2 1 e 12 1 5 10 12 20 10 FFFF 21 10 25 12 5FF 4 2 方差方差 XEXE 2 XEXE 定義若定義若E X 2 存在 則稱存在 則稱 D X E X EX 2為為X 的方差 的方差 2 22 EXXEXXEXD 22 EXXE D R V i ii pXExXD 2 22 EXpx i ii dxxfEXxXD 2 22 EXdxxfx C R V XD稱為稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差 的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差 連續(xù)型對(duì)稱分布連續(xù)型對(duì)稱分布 其它其它 已知一維分布 由定理已知一維分布 由定理4 1求解 求解 已知聯(lián)合分布 由定理已知聯(lián)合分布 由定理4 2求解求解 Exer1 設(shè)市場(chǎng)每月對(duì)某商品的需求量設(shè)市場(chǎng)每月對(duì)某商品的需求量X 噸噸 U 2000 4000 售出售出3萬元萬元 噸噸 未售出需保管費(fèi)未售出需保管費(fèi)1萬元萬元 噸噸 問應(yīng)組織多少噸 貨源才能使平均收益最大 問應(yīng)組織多少噸 貨源才能使平均收益最大 Exer2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X N 0 0 5 與與 Y N 0 0 5 相互獨(dú)立 求 相互獨(dú)立 求E X Y 和和 D X Y Exer3 設(shè)導(dǎo)彈彈著點(diǎn)設(shè)導(dǎo)彈彈著點(diǎn) X Y N 0 0 2 2 0 求彈著點(diǎn)到 目標(biāo) 求彈著點(diǎn)到 目標(biāo) 原點(diǎn)原點(diǎn) 的平均距離 的平均距離 Exer2 提示 法提示 法1 先求得聯(lián)合概率密度 再用定理先求得聯(lián)合概率密度 再用定理4 2求解 法 求解 法2 先求得先求得X Y的分布 再用定理的分布 再用定理4 1求解求解 見見P69例例4 26 aXbYc N 12 abc 2222 12 ab 獨(dú)立時(shí) 獨(dú)立時(shí) 第四章測(cè)試題第四章測(cè)試題 Exer1 設(shè)市場(chǎng)每月對(duì)某商品的需求量設(shè)市場(chǎng)每月對(duì)某商品的需求量X 噸噸 U 2000 4000 售出售出3萬元萬元 噸噸 未售出需保管費(fèi)未售出需保管費(fèi)1萬元萬元 噸噸 問應(yīng)組織多少噸 貨源才能使平均收益最大 問應(yīng)組織多少噸 貨源才能使平均收益最大 解 設(shè)應(yīng)組織解 設(shè)應(yīng)組織a噸貨源 收益噸貨源 收益 3 2000 3 4000 XaXXa Yg X a aX 其中其中0 1 N 0 1 分布的分布的 上側(cè)分位數(shù)記為上側(cè)分位數(shù)記為u 則 1 1 u 11212 min max nnn XXXXXXXX LL 分別稱為極小和極大統(tǒng)計(jì)量 分布 分布 minmax 1 1 nn FxF xFxFx 問題 問題 如何估計(jì)如何估計(jì)E g X 和和E g X EX 答 答 對(duì)對(duì)n個(gè)樣本個(gè)樣本 g Xi 和和g Xi 取算術(shù)平均值 取算術(shù)平均值 X 因因F P X 1 故故 F 1 1 練 習(xí)練 習(xí) 0 90 1 25 10 F 2 設(shè)設(shè)X N 0 1 則 則X2 3 設(shè)設(shè)T t n 則則T2 T 2 4 設(shè)設(shè)X N 0 1 與與Y N 0 1 獨(dú)立 則獨(dú)立 則 X2 Y2 1 2 1 nF 1 nF 1 1 F 0 10 1 1 10 25 0 5348 1 87 F 5 設(shè)設(shè)X1 X2 X2n是來自是來自N 0 0 2 2 的樣本 則的樣本 則 222 1321 1 222 242 1 n n XXX Y XXX L L 1321 2 222 242 2 n n XXX Y XXX L L F n n t n 例例1 SXE 解 解 設(shè)設(shè)X1 X2 Xn是取自總體是取自總體N 0 0 2 的樣本 則的樣本 則 21 0 XNnXS 與獨(dú)立 1 ntn S X 0 1 SEXESXE或或 0 n S X E 0 S X E 7 2 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 一 矩法一 矩法 1 理論依據(jù) 理論依據(jù) 1 1 lim 1 22 S n i i XX n S 1 2 1 故故 注意 注意 矩法估計(jì)的原理和極大似然估計(jì)不同
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