點(diǎn)線面的位置關(guān)系與平行關(guān)系.doc

第 課 點(diǎn)、線、面位置關(guān)系以及線面平行關(guān)系 【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)1、熟練掌握點(diǎn)、線、面的概念；2、掌握點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及判定和證明過(guò)程；3、掌握點(diǎn)、線、面平行的性質(zhì)二、能力目標(biāo)1、在實(shí)踐中通過(guò)觀察、嘗試、分析、類比的方法，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力；2、通過(guò)對(duì)公理，定理的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；2、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，通過(guò)歸納總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和歸納的能力三、情感目標(biāo)1、使用學(xué)生認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間，進(jìn)而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣；2、讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；3、讓學(xué)生了解空間與平面互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想【教學(xué)重點(diǎn)】1、異面直線的概念；2、直線與平面平行的判定定理及應(yīng)用；3、兩個(gè)平面平行的判定【教學(xué)難點(diǎn)】1、異面直線所成角的計(jì)算；2、兩平面平行性質(zhì)定理的正確運(yùn)用；3、兩平面平行判定定理的證明【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、公理及推論公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)公理2：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面和相交，交線是a，記作a符號(hào)語(yǔ)言：公理2作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一面公理3及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)；它是證明平面重合的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2、空間直線與直線之間的位置關(guān)系（1） 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線（2） 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交（3） 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線（4） 異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直（5）求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來(lái)求角（6）異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離（7）兩條異面直線的公垂線有且只有一條（8）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)3、空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：a；aA；a直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外4、平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)：；相交有一條公共直線：l5、直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（記憶口訣：線線平行 線面平行）符號(hào)表示為：圖形如右圖所示Pab6、面面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：圖形如右圖所示a7、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)該直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行（記憶口訣：線面平行 線線平行）用符號(hào)表示為：圖形如右圖所示8、面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行用符號(hào)語(yǔ)言表示為：.其它性質(zhì)：；夾在平行平面間的平行線段相等圖形如右圖所示【典型例題】題型一、證明點(diǎn)或線共面、三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)問(wèn)題例題1：如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點(diǎn)，且EF交GH于P求證：P在直線BD上分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點(diǎn)即，已知：EFGHP， EAB、 FAD， GBC， HCD，求證：B、D、P三點(diǎn)共線【解析】證明：ABBDB，AB和BD確定平面ABD（推論2）AAB，DBD， EAB，F(xiàn)AD， EFGHP， P平面ABD同理，P平面BCD平面ABD平面BCDBDPBD即B、D、P三點(diǎn)共線【點(diǎn)評(píng)】結(jié)合本例，說(shuō)明證三點(diǎn)共線的常規(guī)思路變式1：如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，則（）（A）EF與GH互相平行（B）EF與GH異面（C）EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上（D）EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上【解析】依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因?yàn)镋HBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上選（D）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問(wèn)題利用四個(gè)公理來(lái)證明共點(diǎn)、共線的問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)變式2：如圖所示，設(shè)，分別是空間四邊形的邊，上的點(diǎn)，且，求證：（1），四點(diǎn)共面；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形是梯形分析：只需利用空間等角定理證明即可【解析】證明：連結(jié)，在中， ，且在中， ，且 ， 頂點(diǎn)，在由和確定的平面內(nèi)（1）當(dāng)時(shí)，故四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，故四邊形是梯形說(shuō)明：顯然，課本第11頁(yè)的例題就是本題（2）的特殊情況特別地，當(dāng)時(shí)，是空間四邊形各邊中點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形是平行四邊形如果再加上條件，這時(shí)，平行四邊形是菱形題型二、異面直線的判定或求異面直線所成的角例題2： A是BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)， （1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角【解析】（1）證明：用反證法假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線（2）解：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45，即異面直線EF與BD所成的角為45【點(diǎn)評(píng)】證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”注意，異面直線所成角的范圍是（0，變式3：給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的三個(gè)命題：若為異面直線，則；若，則；若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A3 B2 C1 D0【解析】選C，由異面直線的定義得，兩直線可分屬兩個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面不一定平行，命題錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)定理得線面平行，不一定得到線線平行，命題錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，再由線線平行的遞推性可得，命題正確題型三、直線與平面、平面與平面平行的判定例題3：如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E=C1F求證：EF平面ABCD【解析】證明：方法一：分別過(guò)E，F(xiàn)作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連接MN.BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)NBB1， EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二：過(guò)E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，F(xiàn)GB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD變式4：一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP/平面FMC，并給出證明【解析】點(diǎn)P在A點(diǎn)處，證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GAG是DF的中點(diǎn)，GS/FC，AS/CM面GSA/面FMCGA/面FMC 即GP/面FMC【點(diǎn)評(píng)】證明線面平行，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關(guān)鍵題型四、證明線面平行與線面平行性質(zhì)的運(yùn)用例題4：如下圖，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求證：MN平面BCE【解析】證法一：過(guò)M作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，連結(jié)PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ=BN=CM=MP，MPQN是平行四邊形MNPQ，PQ平面BCE，而MN平面BCE，MN平面BCE證法二：過(guò)M作MGBC，交AB于點(diǎn)G（如下圖），連結(jié)NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同樣可證明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE 又MN平面MNGMN平面BCE【點(diǎn)評(píng)】證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法：利用直線和平面平行的判定定理，通過(guò)“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過(guò)“面面”平行，證得“線面”平行變式5：如下圖，設(shè)a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過(guò)AB的中點(diǎn)O作平面與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與交于點(diǎn)P，求證：P是MN的中點(diǎn)【解析】證明：連結(jié)AN，交平面于點(diǎn)Q，連結(jié)PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O為AB的中點(diǎn)， Q為AN的中點(diǎn) a，a平面AMN且平面AMN=PQ， aPQP為MN的中點(diǎn)變式6：如圖所示，是圓柱的母線，為矩形，分別是線段的中點(diǎn)，求證：面【解析】證明：在中，分別是的中點(diǎn)所以，（中位線定理）在矩形中， 所以，因?yàn)?，平面，平?所以，平面同理，在中，有（中位線定理）因?yàn)椋矫?，平?所以，平面因?yàn)?，平面，平面?所以，平面平面因?yàn)?，平?所以，平面（面面平行的性質(zhì)定理）【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用中位線定理，證得兩直線分別平行兩平面，根據(jù)面面平行的判定定理證得平面平面，再運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理證得線面平行，綜合運(yùn)用線線，線面，面面三者平行關(guān)系解題變式7：如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：面【解析】證明：取中點(diǎn)，連接由題可得，即四邊形為平行四邊形因?yàn)椋謩e為中點(diǎn)，可得因?yàn)?，平面，平面所以，平面在中，分別為的中點(diǎn)所以，因?yàn)?，平面，平面所以，平面因?yàn)?，平面，平面，所以，平面平面因?yàn)?，平面所以，平面（面面平行的性質(zhì)定理）【點(diǎn)評(píng)】設(shè)取中點(diǎn)，從而找到兩條相交的直線分別平行同一平面，證得面面平行，再運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理得到線面平行題型五：證明面面平行與面面平行性質(zhì)的運(yùn)用例題5：如圖，在四棱錐P ABCD中，M,N分別是側(cè)棱PA和底面BC邊的中點(diǎn)，O是底面平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)求證：過(guò)O、M、N三點(diǎn)的平面與側(cè)面PCD平行【解析】證明：O、M分別是AC、PA的中點(diǎn)，連接OM，則OM/PCOM平面PCD，PC平面PCD，OM/平面PCB連結(jié)ON，則ON/AB，由AB/CD，知ON/CDON平面PCD，CD平面PCD，ON/平面PCD又OMON=O，OM、ON確定一個(gè)平面OMN由兩個(gè)平面平行的判定定理，知平面OMN與平面PCD平行，即過(guò)D、M、N三點(diǎn)的平面與側(cè)面PCD平行【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線、線面、面面位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的基本能力若兩條相交直線分別與某已知平面平行，則這兩條相交直線確定的平面平行于已知平面變式8：正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1平面FBDA1AB1BC1CD1DGEF【解析】證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD， 又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點(diǎn)G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD【點(diǎn)評(píng)】要證“面面平面”只要證“線面平面”，要證“線面平行”，只要證“線線平面”，故問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行【方法與技巧總結(jié)】1位置關(guān)系：（1）兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明線面垂直，得到線線垂直；（2）直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；利用平行四邊形利用三角形中位線（3）面與面平行證明方法：主要證明線線平行即可（4）掌握線性平行，線面平行，面面平行三者之間的相互轉(zhuǎn)化2求角：（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是；（2）直線和平面所成的角：先找射影，構(gòu)造成直角三角形【鞏固練習(xí)】1、表示不同的點(diǎn)，、表示不同的直線，、表示不同的平面，下列推理不正確的是（ ）A B，直線C D，且不共線與重合2對(duì)于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（ ）A如果、n是異面直線，那么B如果、n是異面直線，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么3有以下命題，正確命題的序號(hào)是 直線與平面沒有公共點(diǎn)，則直線與平面平行； 直線與平面內(nèi)的任何一條直線都不相交，則直線與平面平行；直線上有兩點(diǎn)，它們到平面的距離相等，則直線與平面平行；直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交，則直線與平面平行 4在三棱錐中，分別是的中點(diǎn)求證：平面5如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別是的中點(diǎn)，證明：平面6如圖所示，在三棱柱中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求證：平面7如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)證明：平面8如圖，已知，2AB=DE，且是的中點(diǎn)，求證：平面9在棱長(zhǎng)為的正方體中,是線段的中點(diǎn)，底面的中心是，求證：平面【課后作業(yè)】1已知直線l1、l2，平面，l1l2，l1，則2與的位置關(guān)系是（ ）A l2 B l2 C l2或l2 D l2與相交2設(shè)平面與平面交于直線l，直線，直線，則M_l3直線AB、AD，直線CB、CD，點(diǎn)EAB，點(diǎn)FBC，點(diǎn)GCD，點(diǎn)HDA，若直線HE直線FG=M，則點(diǎn)M必在直線_上4如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為AA1、C1D1的中點(diǎn)，過(guò)D、M、N三點(diǎn)的平面與直線A1B1交于點(diǎn)P，則線段PB1的長(zhǎng)為 5如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線BD1與過(guò)A1、D、C1的平面交于點(diǎn)M，則BM：MD1= (5題) (6題)6直線a、b不在平面內(nèi)，a、b在平面內(nèi)的射影是兩條平行直線，則a、b的位置關(guān)系是 7正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、CC1、C1D1、D1A1的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀是 8空間四邊形ABCD中, AD=1 , BC=, BD=, AC=, 且, 則異面直線AC和BD所成的角為 9在四棱錐中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)求證：平面10如圖，矩形，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面11M、N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中點(diǎn)，（1）求MN與AD所成的角；（2）求MN與CD1所成的角 12如圖，已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=14cm，BD=14cm，M、N分別是AB，CD的中點(diǎn)，MN=cm，求異面直線AC與BD所成的角13已知四面體ABCD中，M，N分別是和的重心，求證：（1）BD/平面CMN；（2）MN/平面ABD14如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一個(gè)矩形，（1）求證：CD/平面EFGH；（2）求異面直線AB，CD所成的角15M，N，P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點(diǎn)，且AM：MB=CN：NB=CP：PD求證：（1）AC/平面MNP，BD/平面MNP；（2）平面MNP與平面ACD的交線/AC【拓展訓(xùn)練】1（四川卷）l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）Al1l2，l2l3 l1l3 Bl1l2，l2l3 l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共點(diǎn) l1，l2，l3共面2（浙江卷）若直線l不平行于平面，且l，則（ ）A內(nèi)的所有直線與l異面 B內(nèi)不存在與l平行的直線 C內(nèi)存在唯一的直線與l平行 D內(nèi)的直線與l都相交3（四川卷）下列命題正確的是（ ）A若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行5（四川卷）如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_6如圖，是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過(guò)作圓柱的截面交下底面于，已知，證明：四邊形是平行四邊形7如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，分別在棱上，且求證： 【參考答案】1、鞏固練習(xí)答案1【答案】C 2【答案】C 3【答案】4【答案】 因?yàn)椋謩e為的中點(diǎn) 所以， 又因?yàn)?，平面，平?所以，平面5【答案】 因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)所有，由題可得，即又因?yàn)椋矫?，平?所以，平面6【答案】連接交于點(diǎn)，連接在平行四邊形中，為中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又因?yàn)?，平面，平?所以，平面7【答案】證明：連接在平行四邊形中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平?【答案】取中點(diǎn)，連結(jié)，為的中點(diǎn)，又 為平行四邊形， 又平面，平面 平面9【答案】連接因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅危虼嗽谡叫沃?，為中心，即為中點(diǎn)由于是線段的中點(diǎn)，所以， 所以為平行四邊形，即因?yàn)槊妫矫?，所以平?、課后作業(yè)答案1【答案】C 2 3BD 4 52:1 6平行或異面7等腰梯形 89009【答案】證明：連接， . 為中點(diǎn)，則因?yàn)?，所以，則四邊形是平行四邊形所以因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，在平面內(nèi),所以平面10【答案】設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，則，四邊形為平行四邊形， 又平面，平面，平面11解：（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD/B1C1B1C1與MN所成的銳角（或直角）是AB、CD所成的角 B1NM=450 MN與AD所成的角為450（2）連接A1B，過(guò)M在面A1B中作A1B的平行線交A1B1于點(diǎn)L，連接LN，LM/D1CLMN（或其補(bǔ)角）即為MN與CD1所成的角 LMN=600 MN與CD1所成的角為60012解：取BC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，可證MPN（或其補(bǔ)角