期末復習（4）--周期性.doc

南通市天星湖中學高一數(shù)學期末復習（4）-函數(shù)周期性及性質(zhì)綜合一、知識梳理：1、函數(shù)的周期性定義；性質(zhì)；方法2、常見結(jié)論： 3、常見函數(shù)：分段函數(shù)；絕對值函數(shù)；抽象函數(shù)4、函數(shù)的對稱性5、函數(shù)性質(zhì)綜合二、自我檢測1.若函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當x(0,1)時f(x)=x+1，則f()= 2.是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)= 3.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（）= 4.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（）= 5.設f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當x(0，3時，f(x)=2x，則f(2007)= 三、典型例題：例題1、已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當x(0,1)時，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。例題2、設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有.求：(I)設，求； (II)證明是周期函數(shù).例題3、設函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論例題4、已知函數(shù)f（x）=m（x+）的圖象與函數(shù)h（x）=（x+）+2的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.四、課堂練習1.定義在R上的奇函數(shù)滿足，則= 2. 已知y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對稱軸是 3.函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_. 4設f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0x1,時,f(x)=x,則f(7.5)= 5.已知函數(shù)滿足：，則 。五、課后作業(yè)1.設函數(shù)f（x）=則使得f（x）1的x的取值范圍為 2已知函數(shù)f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_3.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)f(4-x)，對一切實數(shù)x成立，寫出f(x)的一個最小正周期 4.對任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)= 5、f(x)的定義域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)= 6、設函數(shù),方程f(x)x+a有且只有兩相不等實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為 7、已知，設函數(shù)的最大值為，最小值為，那么 8.已知函數(shù)f(x)=|x22x3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，則a= 。 9若x、yR，且x2+y2=1，則（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .10.已知函數(shù)對一切，都有，求證:（1）是奇函數(shù)；（2）若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)恒等于0.11.已知9x103x+90，求函數(shù)y=（）x14（）x+2的最大值和最小值.六、小結(jié)與反思高一數(shù)學期末復習（4）-函數(shù)周期性及性質(zhì)綜合一、知識梳理：1.函數(shù)的周期性定義與性質(zhì)：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。周期函數(shù)定義域必是無界的；若T是周期，則kT（k0,kZ）也是周期；周期函數(shù)并非所都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)=C； 方法：判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點：一是對定義域中任意的恒有; 二是能找到適合這一等式的非零常數(shù)，一般來說，周期函數(shù)的定義域均為無限集.解決周期函數(shù)問題時，要注意靈活運用以上結(jié)論，同時要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運用，還要注意根據(jù)所要解決的問題的特征來進行賦值。2、常見結(jié)論：幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)（其中為常數(shù)）, ，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù)； ，則是以為周期的周期函數(shù)；，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).，則是以為周期的周期函數(shù).函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為.函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；3、常見函數(shù)：分段函數(shù)；絕對值函數(shù)；抽象函數(shù)沒有給出函數(shù)解析式，只是給出函數(shù)所滿足的一些性質(zhì)4、函數(shù)的對稱性5、函數(shù)性質(zhì)綜合二、自我檢測1.若函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當x(0,1)時f(x)=x+1，則f()的值為 -5 2.是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)= 993；因（-1，0）是中心，x=0是對稱軸，則周期是43.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（）= 0由f（）=f（+T）=f（）=f（），知f（）=0.4.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是，且當x0，時，f（x）=sinx，則f（）的值為 f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.5.設f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當x(0，3時，f(x)=2x，則f(2007)= 。 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6三、典型例題：例題1、已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當x(0,1)時，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。） x(1,2), 則-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函數(shù) f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2（從圖象入手也可解決，且較直觀）f(x)=f(x+2)如圖：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函數(shù)x(-1,0)時f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期為2， x(1,2)時x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提煉方法：1.解題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上轉(zhuǎn)化;2.用好數(shù)形結(jié)合,對解題很有幫助.例題2、設是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有. (I)設，求； (II)證明是周期函數(shù).解(1):當x0,1/2時,; 同理(2)是偶函數(shù)則(-x)=f(x),關(guān)于x=1對稱則有f(x)=f(2-x)f(x)=f(2-x)=f(x-2), f(x)周期為2.例題3、設函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個解.例題4、已知函數(shù)f（x）=m（x+）的圖象與函數(shù)h（x）=（x+）+2的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）設P（x，y）為函數(shù)h（x）圖象上一點，點P關(guān)于A的對稱點為Q（x，y），則有x=x，且y=2y.點Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.將x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），設x1、x2（0，2，且x1x2，則g（x1）g（x2）=（x1x2）0對一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0對一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x2，而x1x24a3.四、課堂練習1.定義在R上的奇函數(shù)滿足，則= 0 2. 已知y=f(2x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(2x)的圖象的對稱軸是 x=f(2x+1)關(guān)于x=0對稱,則f(x)關(guān)于x=1對稱,故f(2x)關(guān)于2x=1對稱3.函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_. , 周期是4 4設f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0x1,時,f(x)=x,則f(7.5)= 0.55.已知函數(shù)滿足：，則 。由已知：=2，,原式=16五、課后作業(yè)1.設函數(shù)f（x）=則使得f（x）1的x的取值范圍為 （，20，102已知函數(shù)f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2， f（x1）=當x3時，x（x3）102x5，故3x5.當x3時，2x10x5，故5x3.解集 x|5x53.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)f(4-x)，對一切實數(shù)x成立，寫出f(x)的一個最小正周期 84.對任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)= f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -65.f(x)的定義域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期為8，法二：依次計算f(2、4、6、8)知周期為8，須再驗證。6、設函數(shù),方程f(x)x+a有且只有兩相不等實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為 .7已知，設函數(shù)的最大值為，最小值為，那么 4016 8.已知函數(shù)f(x)=|x22x3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，則a= 。 由圖象易知a=4。9若x、yR，且x2+y2=1，則（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .三角代換,令x=cos,y=sin.答案:3/4, 1;10.已知函數(shù)對一切，都有，求證:（1）是奇函數(shù)；（2）若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)恒等于0.解：（1）在中，令，得，令，得，即， 是奇函數(shù)（2）f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).且f(0)=0圖象關(guān)于直線x=1對稱,即點(x,y),(2-x,y)同在曲線上,有f(2-x)=f(x)，且f(2)=f(0)=0 又已知f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)0.方法提煉：賦值法賦值的目的要明確，本題就是要湊出