正交試驗(yàn)設(shè)計.doc

正交試驗(yàn)設(shè)計法17正交試驗(yàn)設(shè)計是利用“正交表”選擇試驗(yàn)的條件，并利用正交表的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，找出最好的或滿意的試驗(yàn)條件，適用于多因素的設(shè)計問題。正交試驗(yàn)法的理論基礎(chǔ)是正交拉丁方理論與群論。在工作中可用的多因素尋優(yōu)工作方法，一類是從優(yōu)選區(qū)某一點(diǎn)開始試驗(yàn)，一步一步到達(dá)較優(yōu)點(diǎn)，這類實(shí)驗(yàn)方法叫序貫試驗(yàn)法，如因素輪換法、爬山法等；另一類是，在優(yōu)選區(qū)內(nèi)一次布置一批試驗(yàn)點(diǎn)，通過對這批試驗(yàn)結(jié)果的分析，逐步縮小優(yōu)選范圍從而達(dá)到較優(yōu)點(diǎn)，如正交試驗(yàn)法等。科研中普遍采用正交試驗(yàn)法，因其具有如下優(yōu)點(diǎn)： 實(shí)用上按表格安排試驗(yàn)，使用方便； 布點(diǎn)均衡、試驗(yàn)次數(shù)較少； 在正交試驗(yàn)法中的最好點(diǎn)，雖然不一定是全面試驗(yàn)的最好點(diǎn)，但也往往是相當(dāng)好的點(diǎn)。特別在只有一兩個因素起主要作用時，正交試驗(yàn)法能保證主要因素的各種可能都不會漏掉。這點(diǎn)在探索性工作中很重要，其他試驗(yàn)方法難于作到； 正交試驗(yàn)法提供一種分析結(jié)果（包括交互作用）的方法，結(jié)果直觀易分析。且每個試驗(yàn)水平都重復(fù)相同次數(shù)，可以消除部分試驗(yàn)誤差的干擾； 因其具有正交性，易于分析出各因素的主效應(yīng)。名詞解釋： 1試驗(yàn)因素：影響考核指標(biāo)取值的量稱為試驗(yàn)因素(因子)，一般記為：A，B，C等。有定量的因素，可控因素，定性的因素，不可控因素等。2 因素的位級(水平)：指試驗(yàn)因素所處的狀態(tài)。4 考核指標(biāo)：根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康亩x定的用來衡量試驗(yàn)效果的量值(指標(biāo))。5 完全因素位級組合：指參與實(shí)驗(yàn)的全部因素與全部位級相互之間的全部組合次數(shù)，即全部的實(shí)驗(yàn)次數(shù)。6 部分因素位級組合：單因素轉(zhuǎn)換法 正交試驗(yàn)法7 正交表的符號：正交表是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論在正交拉丁名的基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種規(guī)格化的表格。符號：Ln(ji)其中：L-正交表的符號n-正交表的行數(shù)(試驗(yàn)次數(shù)，試驗(yàn)方案數(shù))j-正交表中的數(shù)碼(因素的位級數(shù)) i-正交表的 列數(shù)(試驗(yàn)因素的個數(shù))N=ji-全部試驗(yàn)次數(shù)(完全因素位級組合數(shù))總之，利用正交試驗(yàn)法的設(shè)計方案，結(jié)合代數(shù)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可達(dá)到使試驗(yàn)收斂速度加快、試驗(yàn)的效率非常高的效果?？衫迷囼?yàn)結(jié)果獲取更多信息，準(zhǔn)確掌握效應(yīng)的趨勢規(guī)律，而且優(yōu)選點(diǎn)可超越所選水平范圍和精度，從而可大大減少試驗(yàn)次數(shù)。這種聯(lián)用技術(shù)，對于可獲得定量結(jié)果或結(jié)果容易定量化，以及試驗(yàn)代價高時，很有效。正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計當(dāng)析因設(shè)計要求的實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多時，一個非常自然的想法就是從析因設(shè)計的水平組合中，選擇一部分有代表性水平組合進(jìn)行試驗(yàn)。因此就出現(xiàn)了分式析因設(shè)計(fractional factorial designs)，但是對于試驗(yàn)設(shè)計知識較少的實(shí)際工作者來說，選擇適當(dāng)?shù)姆质轿鲆蛟O(shè)計還是比較困難的。 正交試驗(yàn)設(shè)計(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一種設(shè)計方法，它是根據(jù)正交性從全面試驗(yàn)中挑選出部分有代表性的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，這些有代表性的點(diǎn)具備了“均勻分散，齊整可比”的特點(diǎn)，正交試驗(yàn)設(shè)計是分式析因設(shè)計的主要方法。是一種高效率、快速、經(jīng)濟(jì)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法。日本著名的統(tǒng)計學(xué)家田口玄一將正交試驗(yàn)選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實(shí)驗(yàn)，按全面實(shí)驗(yàn)要求，須進(jìn)行33=27種組合的實(shí)驗(yàn)，且尚未考慮每一組合的重復(fù)數(shù)。若按L9(3)3正交表按排實(shí)驗(yàn)，只需作9次，按L18(3)7正交表進(jìn)行18次實(shí)驗(yàn)，顯然大大減少了工作量。因而正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計在很多領(lǐng)域的研究中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。 1正交表 正交表是一整套規(guī)則的設(shè)計表格，用 。L為正交表的代號，n為試驗(yàn)的次數(shù)，t為水平數(shù)，c為列數(shù)，也就是可能安排最多的因素個數(shù)。例如L9(34)， (表11)，它表示需作9次實(shí)驗(yàn)，最多可觀察4個因素，每個因素均為3水平。一個正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正交表，如L8(424) (表12)，此表的5列中，有1列為4水平，4列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)看出，正交表是一個n行c列的表，其中第j列由數(shù)碼1，2， Sj 組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)N/S 次，例如表11中，第二列的數(shù)碼個數(shù)為3，S=3 ，即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn) 次。 正交表具有以下兩項(xiàng)性質(zhì)： (1)每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1”與“2”，且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。 (2)任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列(同一橫行內(nèi))有序?qū)ψ庸灿?種：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每種對數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列(同一橫行內(nèi))有序?qū)灿?種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每對出現(xiàn)數(shù)也均相等。 以上兩點(diǎn)充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即“均勻分散性，整齊可比”。通俗的說，每個因素的每個水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。 2. 交互作用表 每一張正交表后都附有相應(yīng)的交互作用表，它是專門用來安排交互作用試驗(yàn)。表14就是L8(27)表的交互作用表。 安排交互作用的試驗(yàn)時，是將兩個因素的交互作用當(dāng)作一個新的因素，占用一列，為交互作用列，從表14中可查出L8(27)正交表中的任何兩列的交互作用列。表中帶( )的為主因素的列號，它與另一主因素的交互列為第一個列號從左向右，第二個列號順次由下向上，二者相交的號為二者的交互作用列。例如將A因素排為第(1)列，B因素排為第(2)列，兩數(shù)字相交為3，則第3列為AB交互作用列。又如可以看到第4列與第6列的交互列是第2列，等等。 3正交實(shí)驗(yàn)的表頭設(shè)計 表頭設(shè)計是正交設(shè)計的關(guān)鍵，它承擔(dān)著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任務(wù)，因此一個表頭設(shè)計就是一個設(shè)計方案。 表頭設(shè)計的主要步驟如下： (1)確定列數(shù) 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，選擇處理因素與不可忽略的交互作用，明確其共有多少個數(shù)，如果對研究中的某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。當(dāng)每個試驗(yàn)號無重復(fù)，只有1個試驗(yàn)數(shù)據(jù)時，可設(shè)2個或多個空白列，作為計算誤差項(xiàng)之用。 (2)確定各因素的水平數(shù) 根據(jù)研究目的，一般二水平(有、無)可作因素篩選用；也可適用于試驗(yàn)次數(shù)少、分批進(jìn)行的研究。三水平可觀察變化趨勢，選擇最佳搭配；多水平能以一次滿足試驗(yàn)要求。 (3)選定正交表 根據(jù)確定的列數(shù)與水平數(shù)(t)選擇相應(yīng)的正交表。例如觀察5個因素8個一級交互作用，留兩個空白列，且每個因素取2水平，則適宜選L16(215)表。由于同水平的正交表有多個，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列數(shù)比考慮需要觀察的個數(shù)稍多一點(diǎn)即可，這樣省工省時。 (4)表頭安排 應(yīng)優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在表頭排妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項(xiàng)目考察4個因素A、B、C、D及AB交互作用，各因素均為2水平，現(xiàn)選取L8(27)表，由于AB兩因素需要觀察其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第1、2列，根據(jù)交互作用表查得AB應(yīng)排在第3列，于是C排在第4列，由于AC交互在第5列，BC交互作用在第6列，雖然未考查AC與BC，為避免混雜之嫌，D就排在第7列。 (5)組織實(shí)施方案 根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平數(shù)列，構(gòu)成實(shí)施方案表，按實(shí)驗(yàn)號依次進(jìn)行，共作n次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)按表中橫行的各水平組合進(jìn)行。例如L9(34)表，若安排四個因素，第一次實(shí)驗(yàn)A、B、C、D四因素均取1水平，第二次實(shí)驗(yàn)A因素1水平，B、C、D取2水平，第九次實(shí)驗(yàn)A、B因素取3水平，C因素取2水平，D因素取1水平。實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因此整個設(shè)計過程我們可用一句話歸納為：“因素順序上列、水平對號入座，實(shí)驗(yàn)橫著作”。 4二水平有交互作用的正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計與方差分析 例8 某研究室研究影響某試劑回收率的三個因素，包括溫度、反應(yīng)時間、原料配比，每個因素都為二水平，各因素及其水平見表16。選用L8(27)正交表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表17。 首先計算Ij 與IIj ，Ij為第j列第1水平各試驗(yàn)結(jié)果取值之和，IIj為第j列第2水平各試驗(yàn)結(jié)果取值之和。然后進(jìn)行方差分析。過程為： 求：總離差平方和 各列離差平方和 SSj= 本例各列離均差平方和見表10最底部一行。即各空列SSj之和。即誤差平方和 自由度v為各列水平數(shù)減1，交互作用項(xiàng)的自由度為相交因素自由度的乘積。 分析結(jié)果見表18。 從表18看出，在0.05水準(zhǔn)上，只有C因素與AB交互作用有統(tǒng)計學(xué)意義，其余各因素均無統(tǒng)計學(xué)意義，A因素影響最小，考慮到交互作用AB的影響較大，且它們的二水平為優(yōu)。在C2的情況下， 有B1A2和B1，A1兩種組合狀況下的回收率最高。考慮到B因素影響較A因素影響大些，而B中選B1為好，故選A2B1。這樣最后決定最佳配方為A2B1C2，即80，反應(yīng)時間2.5h，原料配比為1.2:1。 如果使用計算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計分析，在數(shù)據(jù)是只需要輸入試驗(yàn)因素和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的內(nèi)容，交互作用界的內(nèi)容不用輸入，然后按照表頭定義要分析的模型進(jìn)行方差分析。1.正交試驗(yàn)法的評價 正交試驗(yàn)法的理論基礎(chǔ)是正交拉丁方理論與群論。在工作中可用的多因素尋優(yōu)工作方法，一類是從優(yōu)選區(qū)某一點(diǎn)開始試驗(yàn)，一步一步到達(dá)較優(yōu)點(diǎn)，這類實(shí)驗(yàn)方法叫序貫試驗(yàn)法，如因素輪換法、爬山法等；另一類是，在優(yōu)選區(qū)內(nèi)一次布置一批試驗(yàn)點(diǎn)，通過對這批試驗(yàn)結(jié)果的分析，逐步縮小優(yōu)選范圍從而達(dá)到較優(yōu)點(diǎn)，如正交試驗(yàn)法等?？蒲兄衅毡椴捎谜辉囼?yàn)法，因其具有如下優(yōu)點(diǎn)： 實(shí)用上按表格安排試驗(yàn)，使用方便； 布點(diǎn)均衡、試驗(yàn)次數(shù)較少； 在正交試驗(yàn)法中的最好點(diǎn)，雖然不一定是全面試驗(yàn)的最好點(diǎn)，但也往往是相當(dāng)好的點(diǎn)。特別在只有一兩個因素起主要作用時，正交試驗(yàn)法能保證主要因素的各種可能都不會漏掉。這點(diǎn)在探索性工作中很重要，其他試驗(yàn)方法難于作到； 正交試驗(yàn)法提供一種分析結(jié)果（包括交互作用）的方法，結(jié)果直觀易分析。且每個試驗(yàn)水平都重復(fù)相同次數(shù)，可以消除部分試驗(yàn)誤差的干擾； 因其具有正交性，易于分析出各因素的主效應(yīng)。 但其也有一些缺點(diǎn)：它提供的數(shù)據(jù)分析方法所獲得的優(yōu)選值，只能是試驗(yàn)所用水平的某種組合，優(yōu)選結(jié)果不會超越所取水平的范圍；另外，也不能給進(jìn)一步的試驗(yàn)提供明確的指向性，使試驗(yàn)仍然帶很強(qiáng)的摸索性色彩，不很精確。這樣，正交試驗(yàn)法用在初步篩選時顯得收斂速度緩慢、難于確定數(shù)據(jù)變化規(guī)律，增加試驗(yàn)次數(shù)。尤其在試驗(yàn)工作煩瑣、費(fèi)用昂貴的情況更顯突出。 2.正交試驗(yàn)法的代數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 對試驗(yàn)的尋優(yōu)工作，用數(shù)學(xué)語言可描述為求多維連續(xù)空間上的最大或最小值（極值）。但現(xiàn)實(shí)的試驗(yàn)工作又往往沒有可用的數(shù)學(xué)模型，不能確切知道數(shù)據(jù)變化的數(shù)學(xué)規(guī)律。故處理上可以先求出其數(shù)學(xué)模型，再計算極值；或直接從試驗(yàn)點(diǎn)的組合中推算出一個較好值作為較優(yōu)解。 實(shí)際上，在高等數(shù)學(xué)上的泰勒級數(shù)：f(x)=f(n)(x0)(x-x0)n/n!，n=0+，用于求復(fù)雜函數(shù)的近似解時，就利用了其收斂性原理。在試驗(yàn)尋優(yōu)時也可同理可將描述試驗(yàn)對象的“數(shù)學(xué)函數(shù)”運(yùn)用泰勒級數(shù)的數(shù)項(xiàng)代數(shù)式近似地擬合試驗(yàn)規(guī)律，代入各次試驗(yàn)的結(jié)果獲得一組線性方程，用解析法求出方程的優(yōu)值，即曲線的極點(diǎn)。 顯然，如果數(shù)據(jù)量大，則可以一次性用較高階冪級數(shù)解出很精確的擬合曲線或函數(shù)。只消再用極少的進(jìn)一步試驗(yàn)印證或?qū)?yōu)即可完成試驗(yàn)工作。 缺點(diǎn)：代數(shù)學(xué)方法不能提供一種較好的試驗(yàn)安排方案，不如正交試驗(yàn)法規(guī)范直觀，數(shù)據(jù)不易處理，故不常為人們使用。 以上分析可以看到二者均是尋優(yōu)，各有所長。如何取長補(bǔ)短？ 3.二者聯(lián)合運(yùn)用原理 以L9(34)三水平標(biāo)準(zhǔn)正交表為例加以說明。L9(34)有九次試驗(yàn)，如對每個因素均使用二次方程擬合，因素間無交互作用即理解為各因素獨(dú)立對結(jié)果作貢獻(xiàn)。用代數(shù)方程表達(dá)有： f(x1,x2,x3,x4)=a0+a1x1+a2x12+a3x2+a4x22+a5x3+a6x32+a7x4+a8x42 代入各xi的值，獲得含九個未知數(shù)的九個線性方程，可求解出各ai 。再運(yùn)用多元函數(shù)求極值的方法，可以獲得較優(yōu)值。這樣，一組試驗(yàn)便獲得較優(yōu)結(jié)果，而且不受水平取值范圍的限制，并對進(jìn)一步試驗(yàn)有較強(qiáng)的指向性。 顯然，從正交表得到的線性方程組的系數(shù)矩陣均是滿秩的，對應(yīng)的線性方程組有唯一解，即試驗(yàn)的優(yōu)值是唯一的： AX=B X=A-1B 其次，對因素間的交互作用，在代數(shù)處理上，可用因素間相乘的項(xiàng)來表達(dá)：ximxjn。（顯然，代數(shù)法還可用來分析多元交互作用等問題。） 以上分析說明正交試驗(yàn)法有其代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 很易看到，對標(biāo)準(zhǔn)正交表，各因素的基本擬合級數(shù)的最高冪次為其水平數(shù)減一。 備注關(guān)于均勻設(shè)計 在均勻設(shè)計中，如3因素7水平的試驗(yàn)方案，只消7次試驗(yàn)，即U7（73）。這樣的均勻設(shè)計的7次試驗(yàn)也可代數(shù)法處理求解，各因素分配二次冪，另設(shè)一常數(shù)項(xiàng)，但數(shù)據(jù)的正交性不易保證。而正交試驗(yàn)法的處理很明確易理解。第5章 正交試驗(yàn)設(shè)計方法 51 試驗(yàn)設(shè)計方法概述 試驗(yàn)設(shè)計是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的一個重要的分支。多數(shù)數(shù)理統(tǒng)計方法主要用于分析已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，而試驗(yàn)設(shè)計卻是用于決定數(shù)據(jù)收集的方法。試驗(yàn)設(shè)計方法主要討論如何合理地安排試驗(yàn)以及試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)如何分析等。 例5-1 某化工廠想提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，對工藝中三個主要因素各按三個水平進(jìn)行試驗(yàn)（見表5-1）。試驗(yàn)的目的是為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，尋求最適宜的操作條件。 對此實(shí)例該如何進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計呢？ 很容易想到的是全面搭配法方案（如圖5-1所示）： 此方案數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)次數(shù)多達(dá)3327次（指數(shù)3代表3個因素，底數(shù)3代表每因素有3個水平）。因素、水平數(shù)愈多，則實(shí)驗(yàn)次數(shù)就愈多，例如，做一個6因素3水平的試驗(yàn)，就需36729次實(shí)驗(yàn)，顯然難以做到。因此需要尋找一種合適的試驗(yàn)設(shè)計方法。 試驗(yàn)設(shè)計方法常用的術(shù)語定義如下。 試驗(yàn)指標(biāo)：指作為試驗(yàn)研究過程的因變量，常為試驗(yàn)結(jié)果特征的量（如得率、純度等）。例1的試驗(yàn)指標(biāo)為合格產(chǎn)品的產(chǎn)量。 因素：指作試驗(yàn)研究過程的自變量，常常是造成試驗(yàn)指標(biāo)按某種規(guī)律發(fā)生變化的那些原因。如例1的溫度、壓力、堿的用量。 水平：指試驗(yàn)中因素所處的具體狀態(tài)或情況，又稱為等級。如例1的溫度有3個水平。溫度用T表示，下標(biāo)1、2、3表示因素的不同水平，分別記為T1、T2、T3。 常用的試驗(yàn)設(shè)計方法有：正交試驗(yàn)設(shè)計法、均勻試驗(yàn)設(shè)計法、單純形優(yōu)化法、雙水平單純形優(yōu)化法、回歸正交設(shè)計法、序貫試驗(yàn)設(shè)計法等?？晒┻x擇的試驗(yàn)方法很多，各種試驗(yàn)設(shè)計方法都有其一定的特點(diǎn)。所面對的任務(wù)與要解決的問題不同，選擇的試驗(yàn)設(shè)計方法也應(yīng)有所不同。由于篇幅的限制，我們只討論正交試驗(yàn)設(shè)計方法。 52 正交試驗(yàn)設(shè)計方法的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn) 用正交表安排多因素試驗(yàn)的方法，稱為正交試驗(yàn)設(shè)計法。其特點(diǎn)為：完成試驗(yàn)要求所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)少。數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布很均勻?？捎孟鄳?yīng)的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，引出許多有價值的結(jié)論。 從例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次實(shí)驗(yàn)。那么采用簡單比較法方案又如何呢？ 先固定T1和p1，只改變m，觀察因素m不同水平的影響，做了如圖2-2（1）所示的三次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn) mm2時的實(shí)驗(yàn)效果最好（好的用 表示），合格產(chǎn)品的產(chǎn)量最高，因此認(rèn)為在后面的實(shí)驗(yàn)中因素m應(yīng)取m2水平。 固定T1和m2，改變p的三次實(shí)驗(yàn)如圖5-2（2）所示，發(fā)現(xiàn)pp3時的實(shí)驗(yàn)效果最好，因此認(rèn)為因素p應(yīng)取p3水平。 固定p3和m2，改變T 的三次實(shí)驗(yàn)如圖5-2（3）所示，發(fā)現(xiàn)因素T 宜取T2水平。 因此可以引出結(jié)論：為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，最適宜的操作條件為T2p3m2。與全面搭配法方案相比，簡單比較法方案的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)的次數(shù)少，只需做9次實(shí)驗(yàn)。但必須指出，簡單比較法方案的試驗(yàn)結(jié)果是不可靠的。因?yàn)?，在改變m值（或p值，或T值）的三次實(shí)驗(yàn)中，說m2（或p3或T2 ）水平最好是有條件的。在T T1，p p1時，m2 水平不是最好的可能性是有的。在改變m的三次實(shí)驗(yàn)中，固定T T2，p p3 應(yīng)該說也是可以的，是隨意的，故在此方案中數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布的均勻性是毫無保障的。用這種方法比較條件好壞時，只是對單個的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值上的簡單比較，不能排除必然存在的試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的干擾。 運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計方法，不僅兼有上述兩個方案的優(yōu)點(diǎn)，而且實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻，結(jié)論的可靠性較好。 正交試驗(yàn)設(shè)計方法是用正交表來安排試驗(yàn)的。對于例1適用的正交表是L9（34），其試驗(yàn)安排見表5-2。 所有的正交表與L9（34）正交表一樣，都具有以下兩個特點(diǎn)： （1） 在每一列中，各個不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。在表L9（34）中，每一列有三個水平，水平1、2、3都是各出現(xiàn)3次。 （2） 表中任意兩列并列在一起形成若干個數(shù)字對，不同數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)也都相同。在表L9（34）中，任意兩列并列在一起形成的數(shù)字對共有9個：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一個數(shù)字對各出現(xiàn)一次。 表52 試驗(yàn)安排表 試驗(yàn)號 列號 1 2 3 4 因素 溫度 壓力Pa 加堿量kg 符號Tpm11（T1）1（p1）1（m1）121（T1）2（p2）2（m2）231（T1）3（p3）3（m3）342（T2）1（p1）2（m2）352（T2）2（p2）3（m3）162（T2）3（p3）1（m1）273（T3）1（p1）3（m3）283（T3）2（p2）1（m1）393（T3）3（p3）2（m2）1這兩個特點(diǎn)稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點(diǎn)，就保證了用正交表安排的試驗(yàn)方案中因素水平是均衡搭配的，數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布是均勻的。因素、水平數(shù)愈多，運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計方法，愈發(fā)能顯示出它的優(yōu)越性，如上述提到的6因素3水平試驗(yàn)，用全面搭配方案需729次，若用正交表L27（313）來安排，則只需做27次試驗(yàn)。 在化工生產(chǎn)中， 因素之間常有交互作用。 如果上述的因素T的數(shù)值和水平發(fā)生變化時，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素p變化的規(guī)律也發(fā)生變化，或反過來，因素p的數(shù)值和水平發(fā)生變化時，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素T變化的規(guī)律也發(fā)生變化。這種情況稱為因素T、p間有交互作用，記為Tp 。 5 3 正交表 使用正交設(shè)計方法進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計，就必須用到正交表。正交表請查閱有關(guān)參考書。 5.3.1 各列水平數(shù)均相同的正交表 各列水平數(shù)均相同的正交表，也稱單一水平正交表。這類正交表名稱的寫法舉例如下： 各列水平均為2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。 各列水平數(shù)均為3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。 各列水平數(shù)均為4的常用正交表有：L16（45） 各列水平數(shù)均為3的常用正交表有：L25（56） 5.3.2 混合水平正交表 各列水平數(shù)不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一個混合水平正交表名稱的寫法： L 8（4124）常簡寫為L 8（424）。此混合水平正交表含有1 個4水平列，4個2水平列，共有145列。 5.3.3 選擇正交表的基本原則 一般都是先確定試驗(yàn)的因素、水平和交互作用，后選擇適用的L表。在確定因素的水平數(shù)時，主要因素宜多安排幾個水平，次要因素可少安排幾個水平。 （1）先看水平數(shù)。若各因素全是2水平，就選用L(2)表；若各因素全是3水平，就選L(3)表。若各因素的水平數(shù)不相同，就選擇適用的混合水平表。 （2）每一個交互作用在正交表中應(yīng)占一列或二列。要看所選的正交表是否足夠大，能否容納得下所考慮的因素和交互作用。為了對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析或回歸分析，還必須至少留一個空白列，作為“誤差”列，在極差分析中要作為“其他因素”列處理。 （3）要看試驗(yàn)精度的要求。若要求高，則宜取實(shí)驗(yàn)次數(shù)多的L表。 （4）若試驗(yàn)費(fèi)用很昂貴，或試驗(yàn)的經(jīng)費(fèi)很有限，或人力和時間都比較緊張，則不宜選實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多的L表。 （5）按原來考慮的因素、水平和交互作用去選擇正交表，若無正好適用的正交表可選，簡便且可行的辦法是適當(dāng)修改原定的水平數(shù)。 （6）對某因素或某交互作用的影響是否確實(shí)存在沒有把握的情況下，選擇L表時常為該選大表還是選小表而猶豫。若條件許可，應(yīng)盡量選用大表，讓影響存在的可能性較大的因素和交互作用各占適當(dāng)?shù)牧?。某因素或某交互作用的影響是否真的存在，留到方差分析進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時再做結(jié)論。這樣既可以減少試驗(yàn)的工作量，又不致于漏掉重要的信息。 5.3.4 正交表的表頭設(shè)計 所謂表頭設(shè)計，就是確定試驗(yàn)所考慮的因素和交互作用，在正交表中該放在哪一列的問題。 （1）有交互作用時，表頭設(shè)計則必須嚴(yán)格地按規(guī)定辦事。因篇幅限制，此處不討論，請查閱有關(guān)書籍。 （2）若試驗(yàn)不考慮交互作用，則表頭設(shè)計可以是任意的。如在例5-1中，對L 9（3 4）表頭設(shè)計，表5-3所列的各種方案都是可用的。但是正交表的構(gòu)造是組合數(shù)學(xué)問題，必須滿足5.2中所述的特點(diǎn)。對試驗(yàn)之初不考慮交互作用而選用較大的正交表，空列較多時，最好仍與有交互作用時一樣，按規(guī)定進(jìn)行表頭設(shè)計。只不過將有交互作用的列先視為空列，待試驗(yàn)結(jié)束后再加以判定。 54 正交試驗(yàn)的操作方法 （1）分區(qū)組。對于一批試驗(yàn)，如果要使用幾臺不同的機(jī)器，或要使用幾種原料來進(jìn)行，為了防止機(jī)器或原料的不同而帶來誤差，從而干擾試驗(yàn)的分析，可在開始做實(shí)驗(yàn)之前，用L表中未排因素和交互作用的一個空白列來安排機(jī)器或原料。 與此類似，若試驗(yàn)指標(biāo)的檢驗(yàn)需要幾個人（或幾臺機(jī)器）來做，為了消除不同人（或儀器）檢驗(yàn)的水平不同給試驗(yàn)分析帶來干擾，也可采用在L表中用一空白列來安排的辦法。這樣一種作法叫做分區(qū)組法。 （2）因素水平表排列順序的隨機(jī)化。如在例5-1中，每個因素的水平序號從小到大時，因素的數(shù)值總是按由小到大或由大到小的順序排列。按正交表做試驗(yàn)時，所有的1水平要碰在一起，而這種極端的情況有時是不希望出現(xiàn)的，有時也沒有實(shí)際意義。因此在排列因素水平表時，最好不要簡單地按因素數(shù)值由小到大或由大到小的順序排列。從理論上講，最好能使用一種叫做隨機(jī)化的方法。所謂隨機(jī)化就是采用抽簽或查隨機(jī)數(shù)值表的辦法，來決定排列的別有順序。 （3）試驗(yàn)進(jìn)行的次序沒必要完全按照正交表上試驗(yàn)號碼的順序。為減少試驗(yàn)中由于先后實(shí)驗(yàn)操作熟練的程度不勻帶來的誤差干擾，理論上推薦用抽簽的辦法來決定試驗(yàn)的次序。 （4）在確定每一個實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)條件時，只需考慮所確定的幾個因素和分區(qū)組該如何取值，而不要（其實(shí)也無法）考慮交互作用列和誤差列怎么辦的問題。交互作用列和誤差列的取值問題由實(shí)驗(yàn)本身的客觀規(guī)律來確定，它們對指標(biāo)影響的大小在方差分析時給出。 （5）做實(shí)驗(yàn)時，要力求嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)條件。這個問題在因素各水平下的數(shù)值差別不大時更為重要。例如，例5-1中的因素（加堿量）m的三個水平：m12.0，m2=2.5，m3=3.0，在以mm2=2.5為條件的某一個實(shí)驗(yàn)中，就必須嚴(yán)格認(rèn)真地讓m2=2.5。若因?yàn)榇中暮筒回?fù)責(zé)任，造成m2=2.2或造成m2=3.0，那就將使整個試驗(yàn)失去正交試驗(yàn)設(shè)計方法的特點(diǎn)，使極差和方差分析方法的應(yīng)用喪失了必要的前提條件，因而得不到正確的試驗(yàn)結(jié)果。 55 正交試驗(yàn)結(jié)果分析方法 正交試驗(yàn)方法之所以能得到科技工作者的重視并在實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用，其原因不僅在于能使試驗(yàn)的次數(shù)減少，而且能夠用相應(yīng)的方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析并引出許多有價值的結(jié)論。因此，有正交試驗(yàn)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如果不對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行認(rèn)真的分析，并引出應(yīng)該引出的結(jié)論，那就失去用正交試驗(yàn)法的意義和價值。 5.5.1 極差分析方