2011碩士數(shù)值分析復(fù)習(xí)題1.doc

數(shù) 值 分 析 復(fù) 習(xí) 題第二章 線性方程組的數(shù)值解法1、用分解法解方程組2、用Jacobi，Gauss-Seidel迭代法解下列方程組是否收斂？為什么？若將方程組變?yōu)椋儆蒙鲜鰞煞N迭代法求解是否收斂？為什么？3、設(shè) 非奇異，給定迭代格式（1）證明：若按上述迭代格式生成的序列是收斂的，則必收斂于方程組之解；（2）已知，問如何取值可使上述迭代格式生成的序列收斂，又取何值時收斂最快。4、設(shè)有方程組，其中，已知它有解，如果右端有小擾動，試估計由此引起的解的相對誤差。5、設(shè)有矩陣，對角陣，若和都對稱正定，證明：求解方程組的Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂。6、設(shè)是一個對稱正定矩陣.分別是它的最大（?。┑奶卣髦?，建立迭代法求出的范圍使迭代法收斂. 并求出最好的使得迭代法有最大的漸近收斂速度.7、設(shè)是一個對稱正定矩陣，且對角線元素為1. 建立求解的對稱高斯塞德爾迭代法如下：證明該迭代法收斂.8、 令，求出最大可能的取值范圍使得是對稱正定的. 當在這個范圍內(nèi)時，用雅可比迭代法解是否收斂？求出最大可能的取值范圍使得雅可比迭代法解收斂.9、 若時對稱正定矩陣，其最小、最大特征值分別是，. 為了求解，我們設(shè)計如下迭代方法： （*）1）給出上面的迭代法的相容性條件.2）求出，使得（*）的漸近收斂速度盡可能大.10、設(shè)，為單位矩陣，若，則非奇異，且，其中指矩陣的算子范數(shù)。11、設(shè)的系數(shù)矩陣對稱正定，證明：此方程組有唯一解，且Gauss-Seidel迭代法收斂。12、設(shè)方程組。（1）Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法是否收斂？理由是什么？（2）若均收斂，哪個方法收斂速度快？函數(shù)的插值13、建立三次多項式，使它在、處與相切，并寫出余項的估計式。14、求在上的等距分段線性插值函數(shù)，并估計誤差；要使得在上用對進行插值計算時誤差都不超過，則至少需要將分成多少段？15、設(shè)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，。用函數(shù)插值法證明16、利用差分及插值多項式為工具證明17、設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明：分段線性插值多項式在上一致收斂于。18、 構(gòu)造次數(shù)不超過4的多項式，使其滿足下列插值條件函數(shù)的數(shù)值逼近19、已知，求的二次最佳平方逼近多項式（權(quán)為1），并求誤差。20、已知函數(shù)值表為 1246723753試通過構(gòu)造正交多項式，求曲線擬合的二次最小二乘解，并計算平方誤差。21、確定參數(shù)，使帶權(quán)的積分取得最小值，并計算該最小值22、已知一組實驗數(shù)據(jù)如下：12341.953.053.553.85求形如的最小二乘解.數(shù)值積分23、運用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式分別計算積分，并估計各種計算方法的誤差（計算中保留五位有效位數(shù)字）。24、已知，（1）求在上以這三個節(jié)點為求積節(jié)點的插值型求積公式；（2）指明求積公式的代數(shù)精度；（3）用所求公式計算25、計算定積分（1）如果要求誤差小于0.002，用復(fù)化梯形公式計算時，需將區(qū)間分成多少等份？（2）要求誤差小于0.002，用復(fù)化Simpson公式時應(yīng)分成多少等份？（3）要求誤差小于0.002，用復(fù)化Cotes公式時應(yīng)分成多少等份？26、將計算積分的梯形公式與中矩形公式做線性組合，使組合后的積分公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并指出所求積分公式的代數(shù)精度。27、把區(qū)間等分成4等份，每個小區(qū)間的長度記為和，. 建立形如的數(shù)值積分公式，使其有盡可能高的代數(shù)精確度，并求出代數(shù)精度28、設(shè)，確定求積公式中的待定參數(shù)，使得該求積公式的代數(shù)精確度盡量高，并給出余項表達式。非線性方程的數(shù)值解法29、說明方程在區(qū)間1，2內(nèi)有惟一根，并選用適當?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)），并說明所用的迭代格式是收斂的。30、利用牛頓迭代法，給出求實數(shù)的五次方根的迭代公式，并由此計算的近似值，精度為。31、設(shè)有解方程的迭代法，（1）證明均有（為方程的根）；（2）取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；（3）此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。32、已知在區(qū)間上有根，在上連續(xù)，且，試構(gòu)造局部收斂于的迭代公式。33、設(shè)具有各階導(dǎo)數(shù)，是的重根，且牛頓法收斂，證明牛頓迭代序列有下列極限關(guān)系34、試確定常數(shù)、，使迭代公式產(chǎn)生的序列收斂到，并使其收斂的階盡可能高。35、設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列，證明 36、 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，是 的重根（），是由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列，證明（1）；（2）；（3）。37、 對于迭代函數(shù)，試討論：（1）當為何值時，產(chǎn)生的序列收斂于；（2）為何值時收斂最快？（3）分別取，計算的不動點，要求。常微分方程數(shù)值解法38、求解常微方程初值問題的單步法（1）寫出其局部截斷誤差表達式（2）要使方法是二階方法，應(yīng)取何值？ （3）試給出該方法應(yīng)用于試驗方程的穩(wěn)定條件。39、用梯形法解初值問題，證明其近似解，并證明當步長時，收斂到原初值問題的精確解。40、證明解初值問題 的計算格式是二階方法。41、對初值問題，設(shè)關(guān)于滿足李普希茲條件，證明計算方法 是收斂的；又當=時（），給出該方法穩(wěn)定的條件。42、 證明：常微分方程初值問題數(shù)值解法的梯形公式具有二階精度.43、證明：改進的Euler方法是收斂的.44、 求常微分方程初值問題數(shù)值解法的梯形公式應(yīng)用于試驗方程的穩(wěn)定條件.填空題1、3.142作為的近似值具有 位有效數(shù)字，相對誤差限為 。2、當，時，用韋達定理求的一根時，應(yīng)該改用 作計算，以減少舍入誤差。3、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，進行二步后根所在區(qū)間為 。 4、設(shè)，則 ， 。5、設(shè)是以互異的節(jié)點為插值節(jié)點5次Lagrange插值基函數(shù)，則 ； 。6、設(shè)，為使可分解為，其中是下三角陣，的取值范圍為 。7、用復(fù)化Simpson公式計算定積分，區(qū)間至少要分成 等份才能保證截斷誤差不超過。8、解常微分方程初值問題的梯形公式的絕對穩(wěn)定區(qū)域是 。9、用牛頓法求方程在內(nèi)的根，已知在內(nèi)不為0，在內(nèi)不變號，那么選擇初始值滿足 ，則它的迭代解數(shù)列一定收斂到方程的根。10、解常微分方程初值問題的改進歐拉法預(yù)報校正公式是：預(yù)報值：，校正值：yk+1= 。11、，要使得迭代法局部收斂到，則取值范