高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.3 總體特征數(shù)的估計(jì) 2.3.2 方差與標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)導(dǎo)引學(xué)案 蘇教版必修3.doc

2.32方差與標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷，某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)報(bào)表顯示，此地區(qū)的年平均家庭收入是10萬(wàn)元，給人的印象是這個(gè)地區(qū)的家庭收入普遍較高.但是，如果這個(gè)平均數(shù)是從200戶貧困家庭和20戶極富有的家庭收入計(jì)算出來(lái)的，那么，它就既不能代表貧困戶家庭的年收入，也不能代表極富有家庭的年收入.因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).案例探究 甲、乙兩班學(xué)生各50人，其語(yǔ)文平均成績(jī)都是80分，但甲班最高成績(jī)98分，最低42分，而乙班最高成績(jī)86分，最低60分.初步看出，兩班語(yǔ)文成績(jī)是不一樣的，甲班學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)個(gè)別差異程度大、水平參差不齊；而乙班學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)差異程度小，語(yǔ)文水平整齊度大些. 如果你是老師，你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這兩個(gè)班的成績(jī)作出評(píng)價(jià)呢？ 分析：我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差，由數(shù)據(jù)可知甲班的極差較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散，乙班的極差較小，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較集中，這說(shuō)明乙班成績(jī)比甲班穩(wěn)定，運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡(jiǎn)單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論.我們還可以考慮每一個(gè)學(xué)生的成績(jī)與平均成績(jī)的離差，離差越小，穩(wěn)定性就越高.結(jié)合上節(jié)有關(guān)離差的討論，可用每個(gè)同學(xué)的成績(jī)與平均成績(jī)的差的平方和表示.由于兩組數(shù)據(jù)的容量可能不同，因此應(yīng)將上述平方和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，我們把由此所得的值稱為這組數(shù)據(jù)的方差（variance）. 因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開(kāi)方后的值稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）.標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度. 一般地，設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，其平均數(shù)為x，則稱s2=為這個(gè)樣本的方差，其算術(shù)平方根 s=（*） 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡(jiǎn)稱樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 根據(jù)上述方差計(jì)算公式可算出甲、乙兩個(gè)班樣本的方差，從而比較哪個(gè)班成績(jī)好些. 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，首先要計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，接著要計(jì)算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)之間的離差平方，即（xi-）2，最后由公式（*）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差s. 例如，4名兒童的身高分別是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名兒童身高數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，其基本步驟如下： （1）求平均數(shù)：=120（厘米） （2）求離差平方和： （xi-）2=（110120）2+（100120）2+（120120）2+（150120）2 =100+400+0+900=1 400（平方厘米） （3）求標(biāo)準(zhǔn)差s：s=18.71（厘米） 這樣，我們大體可認(rèn)為，這4名兒童身高差異程度，從平均角度來(lái)看，約相差18.71厘米.自黨導(dǎo)引 1天氣預(yù)報(bào)說(shuō)今天最高氣溫7 ，最低氣溫2 ，則今天氣溫的極差為多少？ 答案：9 2據(jù)統(tǒng)計(jì)，某小區(qū)居民中年齡最大的為89歲，年紀(jì)最小的為1歲，那么小區(qū)人口年齡的極差為多少？ 答案：88歲 3你認(rèn)為下面幾種說(shuō)法中正確的是（） a一組數(shù)據(jù)的平均值總是正數(shù) b一組數(shù)據(jù)的方差有可能是負(fù)數(shù) c用一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)分別減去平均值，再將得到的差相加，和一定為零 d一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比方差小 答案：c 4我們可以用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍.用這種方法得到的差稱為極差. 5方差實(shí)際上是一種表示一組數(shù)據(jù)的離散程度的量，我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到. 6標(biāo)準(zhǔn)差與方差有什么關(guān)系？這二者與原數(shù)據(jù)在單位上有什么關(guān)系？ 答案：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，標(biāo)準(zhǔn)差與原數(shù)據(jù)具有相同的單位，方差的單位是原單位的平方. 7反映數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)是什么？在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩班的平均成績(jī)相同，甲班成績(jī)的方差為42，乙班成績(jī)的方差為35，這樣的結(jié)果說(shuō)明兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況各有什么特點(diǎn)？ 答案：反映數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)是方差和標(biāo)準(zhǔn)差甲班的方差大于乙班的方差，說(shuō)明甲班的學(xué)生成績(jī)較分散，優(yōu)生和成績(jī)差的學(xué)生較多而乙班的學(xué)生成績(jī)較集中，優(yōu)生和成績(jī)差的學(xué)生較少.8觀察下面的折線圖，回答問(wèn)題： （1）a組數(shù)據(jù)的極差較大. （2）a組數(shù)據(jù)的方差較大.9比較下面兩幅頻數(shù)分布圖中的數(shù)據(jù)，哪組的平均值較大？哪組的標(biāo)準(zhǔn)差較大？ 答案：b組的平均值較大，a組的標(biāo)準(zhǔn)差較大. 10觀察下面的幾組圖，分別指出各組中哪一組的標(biāo)準(zhǔn)差較大，并說(shuō)說(shuō)為什么.（1）（2）（3） 答案：（1）標(biāo)準(zhǔn)差相同，因?yàn)殡m然數(shù)據(jù)排列不同，但其實(shí)是相同的兩組數(shù)據(jù)；（2）b組的標(biāo)準(zhǔn)差較大，因?yàn)閍組有一些數(shù)距離平均值較近；（3）b組的標(biāo)準(zhǔn)差較大，因?yàn)閎組中每個(gè)數(shù)據(jù)都是a組中的兩倍，因此標(biāo)準(zhǔn)差也是它的兩倍.疑難剖析 【例1】 某校團(tuán)委舉辦了英語(yǔ)口語(yǔ)競(jìng)賽甲、乙兩個(gè)團(tuán)小組成績(jī)?nèi)缦拢?甲組：76908486818786 乙組：82848589809476 （1）分別求出甲、乙兩個(gè)團(tuán)小組的平均分、標(biāo)準(zhǔn)差（精確到001）； （2）說(shuō)明哪個(gè)團(tuán)小組成績(jī)比較穩(wěn)定？ 思路分析：由于所給數(shù)據(jù)較整，用定義公式求x及s再由所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)即可作此判斷. 解：（1）=84.29, =84.29,（2）s1s乙2，雖然甲乙兩人的平均成績(jī)相同，但乙的成績(jī)較穩(wěn)定，應(yīng)選乙選手參加比賽. 思維啟示：在顯示數(shù)據(jù)離散程度（波動(dòng)大?。┑囊活悢?shù)中，方差是刻畫總體或樣本波動(dòng)大小的一個(gè)重要特征數(shù)據(jù)，其定義是用各偏差的平方的平均數(shù)建立起來(lái)的，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，除需了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大?。雌x平均數(shù)的大?。?對(duì)于兩組可比的數(shù)據(jù)，平均數(shù)只能反映它們的集中趨勢(shì)，而比較它們的波動(dòng)大小，就要通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差或方差的大小來(lái)確定.還應(yīng)注意，只有當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近時(shí)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差才能反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的實(shí)際情況方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大（?。?，波動(dòng)也越大（?。?【例3】 為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換，已知某校使用的100只日光燈在必須更換掉前的使用天數(shù)如下表：天數(shù)151181181210211240241270271300301330331360361390燈管數(shù)1111820251672 （1）試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命； （2）若定期更換，可選擇多長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)一更換合適？ 思路分析：總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差往往是很難求，甚至是不可能求的，通常的做法就是用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，只要樣本的代表性好，這種做法就是合理的. 解：（1）各組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得平均數(shù)約為+=267.9268（天）.（3）將組中值對(duì)于此平均數(shù)求方差：=2 128.60（天2） 故標(biāo)準(zhǔn)差為46（天）. 答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，故可在222天到314天左右統(tǒng)一更換較合適. 思維啟示：（1）在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. （2）平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是工業(yè)生產(chǎn)中檢測(cè)產(chǎn)品 質(zhì)量的重要指標(biāo)，當(dāng)樣本的平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差超過(guò)了規(guī)定界限的時(shí)候，說(shuō)明這批產(chǎn)品的質(zhì)量可能距生產(chǎn)要求有較大的偏離，應(yīng)該進(jìn)行檢查，找出原因，從而及時(shí)解決問(wèn)題. 在excel中，可分別用函數(shù)“varp（ ）”和“stdevp（ ）”計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差.也可用計(jì)算器，在“統(tǒng)計(jì)”模式下輸入數(shù)據(jù)，按“shift svar 2”鍵，得標(biāo)準(zhǔn)差，再按x2鍵即為方差.拓展遷移【拓展點(diǎn)1】 標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？ 答案：非負(fù)，標(biāo)準(zhǔn)差為0意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都相等.【拓展點(diǎn)2】 甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.4mm的一種零件，為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽取20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下（單位mm）： 甲 25.4625.3225.4525.3925.36 25.34 25.4225.4525.3825.4225.3925.43 25.3925.4025.44 25.40 25.4225.35 25.4125.39 乙 25.4025.4325.4425.4825.4825.47 25.4925.4925.3625.3425.3325.43 25.4325.3225.47 25.3125.3225.32 25.3225.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高？ 思考：兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差知不知道？25.40 mm是不是它們的平均數(shù)？ 答案：每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出（內(nèi)徑25.40mm），生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來(lái)衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時(shí)質(zhì)量低，差異小時(shí)質(zhì)量高，當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí)，總體的標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)質(zhì)量高，標(biāo)準(zhǔn)差大時(shí)質(zhì)量低.這樣，比較兩人的生