高中數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)方略 7.5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 理.ppt

第五節(jié)直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 三年20考高考指數(shù) 1 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識(shí)和理解空間中線 面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 2 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 1 垂直關(guān)系的判斷多出現(xiàn)在選擇題或填空題中 主要考查對(duì)與垂直有關(guān)的概念 公理 定理 性質(zhì) 結(jié)論的理解及運(yùn)用 往往與命題及平行關(guān)系綜合在一起考查 難度較小 2 線面垂直 面面垂直的證明及運(yùn)算常以解答題的形式出現(xiàn) 且常與平行關(guān)系綜合命題 難度中等 3 通過線面角 二面角的求解來考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力 常以解答題的形式出現(xiàn) 難度中等 1 直線與平面垂直 1 直線與平面垂直的定義條件 直線l與平面 內(nèi)的 一條直線都垂直 結(jié)論 直線l與平面 垂直 任意 2 直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條 直線都垂直 則該直線與此平面垂直 性質(zhì)定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線 a b o l a b 平行 l a l b a b a b o a b l a b 相 交 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 能否將直線與平面垂直的定義中的 任意一條直線 改為 無(wú)數(shù)條直線 提示 不可以 當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線平行時(shí) 直線l有可能在平面 內(nèi) 或者l與平面 相交但不垂直 2 直線a 平面 b 則a與b的位置關(guān)系是 解析 由b 可得b平行于 內(nèi)的一條直線 設(shè)為b 因?yàn)閍 所以a b 從而a b 但a與b可能相交 也可能異面 答案 垂直 2 直線與平面所成的角 1 定義 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角 如圖 就是斜線ap與平面 所成的角 2 線面角 的范圍 0 銳角 pao 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 如果兩直線與一個(gè)平面所成的角相等 則這兩直線一定平行嗎 提示 不一定 這兩直線的位置關(guān)系可能平行 相交或異面 2 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中 b1c與平面a1b1c1d1所成的角為 其大小為 d1b與平面abcd所成的角的正弦值為 解析 b1c與平面a1b1c1d1所成的角為 cb1c1 其大小為45 連接bd 則d1b與平面abcd所成的角為 d1bd 其正弦值為 答案 cb1c145 3 平面與平面垂直 1 二面角 定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角 這條直線叫做二面角的棱 兩個(gè)半平面叫做二面角的 如圖的二面角 可記作 二面角 或二面角 面 l ab 二面角的平面角如圖 過二面角 l 的棱l上一點(diǎn)o在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作bo l ao l 則 就叫做二面角 l 的平面角 平面角的范圍設(shè)二面角的平面角為 則 0 aob 2 平面與平面垂直 定義 條件 兩相交平面所成的二面角為 結(jié)論 這兩平面垂直 直二面角 平面與平面垂直的判定定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的 則這兩個(gè)平面垂直 垂線 l l l 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直 則一個(gè)平面內(nèi)垂直于 的直線與另一個(gè)平面垂直 交線 a l l a l a l 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 垂直于同一平面的兩平面是否平行 提示 不一定 兩平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示兩個(gè)不同的平面 m為平面 內(nèi)的一條直線 則 是 m 的 條件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由條件知 當(dāng)m 時(shí) 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 將正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如圖 取ac的中點(diǎn)o 連接do bo 則do ac bo ac 故 dob為二面角的平面角 從而 dob 90 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1 則do bo 所以db 1 故 adb為等邊三角形 所以 dab 60 答案 60 直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 方法點(diǎn)睛 1 判定線面垂直的常用方法 2 線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)直線和平面垂直時(shí) 則直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直 給我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法 提醒 解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程 如用判定定理證明線面垂直時(shí) 一定要體現(xiàn)出 平面中的兩條相交直線 這一條件 例1 1 2012 佛山模擬 如圖 pa 正方形abcd 下列結(jié)論中不正確的是 a pb bc b pd cd c pd bd d pa bd 2 2012 鷹潭模擬 如圖 三棱錐p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分線段pc 且分別交ac pc于d e兩點(diǎn) 又pb bc pa ab 求證 pc 平面bde 若點(diǎn)q是線段pa上任一點(diǎn) 判斷bd dq的位置關(guān)系 并證明你的結(jié)論 若ab 2 求三棱錐b ced的體積 解題指南 1 根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)定理來判斷 2 利用線面垂直的判定定理證明 證明bd 平面pac即可 根據(jù)vb ced vc bde 轉(zhuǎn)化為求s bde及ce的長(zhǎng)度 規(guī)范解答 1 選c 由題意可推得bc 平面pab 又pb平面pab 故bc pb a正確 同理可得cd 平面pad pa 平面ac 故選項(xiàng)b d正確 選項(xiàng)c顯然不正確 2 由等腰三角形pbc 得be pc de垂直平分pc de pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 當(dāng)點(diǎn)q是線段pa上任一點(diǎn)時(shí)都有bd dq pa ab 2 ab bc 且 cde cpa de 由 知 bd de 互動(dòng)探究 本例 2 若改為 設(shè)q是線段pa上任意一點(diǎn) 求證 平面bdq 平面pac 如何證明 證明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在證明垂直關(guān)系時(shí) 要注意線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)要注意通過作輔助線進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化 2 解答與垂直有關(guān)的問題時(shí)要重視對(duì)圖形的觀察與分析 從中找到線線垂直往往是解題的關(guān)鍵 因?yàn)樗械拇怪眴栴}都可轉(zhuǎn)化為線線垂直來處理 變式備選 如圖所示 在長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是側(cè)棱bb1的中點(diǎn) 1 求證 a1e 平面ade 2 求三棱錐a1 ade的體積 解析 1 由勾股定理得 aea1 90 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由題意得 平面與平面垂直的判定和性質(zhì) 方法點(diǎn)睛 1 判定面面垂直的方法面面垂直的判定綜合性強(qiáng) 可通過轉(zhuǎn)化使問題得以解決 線線垂直 線面垂直 面面垂直 間的關(guān)系如圖 線線垂直 線面垂直 面面垂直 判定 性質(zhì) 判定 性質(zhì) 判定 性質(zhì) 其中線線垂直是基礎(chǔ) 線面垂直是核心 解決這類問題時(shí)要善于挖掘題目中隱含著的線線垂直 線面垂直的條件 2 面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用 1 兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù) 運(yùn)用時(shí)要注意 平面內(nèi)的直線 2 兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面 它們的交線也垂直于第三個(gè)平面 例2 如圖 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分別是ac ad上的動(dòng)點(diǎn) 且 0 1 1 判斷ef與平面abc的位置關(guān)系并給予證明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 說明理由 解題指南 1 結(jié)合圖形猜測(cè)ef與平面abc垂直 由知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd可證得結(jié)論成立 2 由ef cd可知問題相當(dāng)于過點(diǎn)b作一個(gè)平面與平面acd垂直 而這樣的平面一定存在 故只需計(jì)算出 即可 規(guī)范解答 1 ef 平面abc 證明 ab 平面bcd ab cd 在 bcd中 bcd 90 bc cd 又ab bc b cd 平面abc 在 acd中 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be平面abc be cd 故要使平面bef 平面acd 只需證be ac 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 則當(dāng)be ac時(shí) 則 即 時(shí) be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be平面bef 平面bef 平面acd 所以存在 時(shí) 平面bef 平面acd 反思 感悟 證明面面垂直時(shí)一般先證線面垂直 確定這條直線時(shí)可從圖中現(xiàn)有的直線中去尋找 若圖中不存在這樣的直線 則應(yīng)通過添加輔助線來構(gòu)造 變式訓(xùn)練 如圖 四棱錐p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 側(cè)面pad為正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求證 ad pb 2 若e為bc邊的中點(diǎn) 能否在棱pc上找到一點(diǎn)f 使平面def 平面abcd 并證明你的結(jié)論 解析 1 如圖 取ad的中點(diǎn)g 連接pg bg bd pad為等邊三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd為等邊三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 連接cg de 且cg與de相交于h點(diǎn) 在 pgc中作hf pg 交pc于f點(diǎn) 連接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分別為ad bc的中點(diǎn) 即得知h是cg的中點(diǎn) f是pc的中點(diǎn) 在pc上存在一點(diǎn)f 即為pc的中點(diǎn) 使得平面def 平面abcd 線面角 二面角的求法 方法點(diǎn)睛 1 求空間角的步驟 1 一找 即找出相關(guān)的角 2 二證 即證明找出的角即為所求的角 3 三計(jì)算 即通過解三角形的方法求出所求角 2 空間角的找法 1 線面角找出斜線在平面上的射影 關(guān)鍵是作出垂線 確定垂足 2 二面角二面角的大小用它的平面角來度量 平面角的常見作法有 定義法 垂面法 其中定義法是最常用的方法 提醒 在作二面角的平面角時(shí) 若題目中有面面垂直的條件 則可由面面垂直得到線面垂直 進(jìn)而根據(jù)定義作出二面角的平面角 例3 2011 廣東高考 如圖 在錐體p abcd中 abcd是邊長(zhǎng)為1的菱形 且 dab 60 pa pd pb 2 e f分別是bc pc的中點(diǎn) 1 證明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 解題指南 1 取ad中點(diǎn)g 證明ad 平面pgb 再證明平面pgb 平面def 2 連接pg bg 證 pgb是所求二面角的平面角 在 pgb中由余弦定理可求得二面角的余弦值 規(guī)范解答 1 取ad的中點(diǎn)g 連接pg bg bd 又pa pd pg ad 由題意知 abd是等邊三角形 bg ad 又pg bg是平面pgb的兩條相交直線 ad 平面pgb ef pb de gb ef de e pb bg b 平面def 平面pgb ad 平面def 2 由 1 知 pgb為二面角p ad b的平面角 在rt pga中 在rt bga中 在 pgb中 由余弦定理得cos pgb 即所求二面角的余弦值為 反思 感悟 1 通過三角形中位線的性質(zhì)證明平行是立體幾何中的常用方法 解題中要重視各種 平行 垂直 間的轉(zhuǎn)化 2 空間角求解的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面角來處理 即轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角 利用解三角形的知識(shí)來解 變式訓(xùn)練 2012 臺(tái)州模擬 如圖 菱形abcd與矩形bdef所在平面互相垂直 1 求證 fc 平面aed 2 若bf kbd 當(dāng)二面角a ef c為直二面角時(shí) 求k的值 解析 1 fb ed bc ad fb bc b ed ad d 平面fbc 平面eda 又fc平面fbc fc 平面aed 2 取ef bd的中點(diǎn)m n 連接am cm 由于ae af ce cf 所以am ef cm ef e a f d b c n m amc即為二面角a ef c的平面角 由題意知 am cm 當(dāng)二面角a ef c為直二面角時(shí) 可得 amc為等腰直角三角形 故又ab ad bad abd為等邊三角形 bf mn bd 故k 變式備選 如圖 四棱錐v abcd中 底面abcd是正方形 側(cè)面vad是正三角形 平面vad 底面abcd 設(shè)ab 2 1 證明 ab 平面vad 2 求二面角a vd b的正切值 3 e是va上的動(dòng)點(diǎn) 當(dāng)面dce 面vab時(shí) 求三棱錐v ecd的體積 解析 1 平面vad 底面abcd 底面abcd是正方形 ab ad 又平面vad 底面abcd ad 故ab 平面vad 2 如圖 取vd的中點(diǎn)f 連接af bf vad是正三角形 af vd 根據(jù) 1 ab 平面vad ab vd vd 平面abf bf vd afb為面vad與平面vdb所成的二面角的平面角 tan afb 3 由 1 可知ab 平面vad cd 平面vad 平面vad 平面ecd 又 vad是正三角形 當(dāng)e是va中點(diǎn)時(shí) ed va va 面edc 面vab 面edc 此時(shí)三棱錐v edc的體積等于三棱錐c ved的體積 滿分指導(dǎo) 垂直關(guān)系綜合問題的規(guī)范解答 典例 12分 2011 遼寧高考 如圖 四邊形abcd為正方形 qa 平面abcd pd qa 1 證明 pq 平面dcq 2 求棱錐q abcd的體積與棱錐p dcq的體積的比值 解題指南 1 證明pq dc pq qd 進(jìn)而可得pq 平面dcq 2 設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)為a 分別計(jì)算兩個(gè)棱錐的體積 再求體積的比值 規(guī)范解答 1 由條件知pdaq為直角梯形 因?yàn)閝a 平面abcd qa平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交線為ad 又四邊形abcd為正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 2分又pq平面pdaq 所以pq dc 在直角梯形pdaq中可得則pq qd 5分又dc qd d 所以pq 平面dcq 6分 2 設(shè)ab a 由題設(shè)知aq為棱錐q abcd的高 所以棱錐q abcd的體積 8分 由 1 知pq為棱錐p dcq的高 而pq dcq的面積為所以棱錐p dcq的體