中考數(shù)形結(jié)合題

【中考沖刺】數(shù)形結(jié)合的5個(gè)常考類型 數(shù)形結(jié)合：就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.利用它可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,抽象問題具體化,它兼有“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)”與“形的直觀”之長,是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法.1用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類(1)利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題,它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；(2)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題,常常要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.22. 熱點(diǎn)內(nèi)容在初中教材中，“數(shù)”的常見表現(xiàn)形式為: 實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式等，而“形”的常見表現(xiàn)形式為: 直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等.在直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)一條直線，二次函數(shù)的圖像對(duì)應(yīng)著一條拋物線，這些都是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.【典型例題】類型一、利用數(shù)形結(jié)合探究數(shù)字的變化規(guī)律1.如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是 【思路點(diǎn)撥】首先計(jì)算幾個(gè)特殊圖形，發(fā)現(xiàn)：數(shù)出每邊上的個(gè)數(shù)，乘以邊數(shù)，但各個(gè)頂點(diǎn)的重復(fù)了一次，應(yīng)再減去.第1個(gè)圖形是23-3，第2個(gè)圖形是34-4，第3個(gè)圖形是45-5，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n【答案與解析】第1個(gè)圖形是三角形，有3條邊，每條邊上有2個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了3個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋（23-3）個(gè)；第2個(gè)圖形是四邊形，有4條邊，每條邊上有3個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了4個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子（34-4）個(gè)； 第3個(gè)圖形是五邊形，有5條邊，每條邊上有4個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了5個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子（45-5）個(gè)； 按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）. 故答案為n（n+2）=n2+2n.【總結(jié)升華】這樣的試題從最簡(jiǎn)單的圖形入手.找出圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)與第n個(gè)圖形之間的關(guān)系，找規(guī)律需要列出算式，一律采用原題中的數(shù)據(jù)，不要用到計(jì)算出來的結(jié)果來找規(guī)律.舉一反三：【變式】用棋子按下列方式擺圖形，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形比第(n-1)個(gè)圖形多_枚棋子【答案】解：設(shè)第n個(gè)圖形的棋子數(shù)為第1個(gè)圖形，S1=1；第2個(gè)圖形，S2=1+4；第3個(gè)圖形，S3=1+4+7；第n個(gè)圖形，Sn=1+4+3n-2；第（n-1）個(gè)圖形，Sn-1=1+4+3（n-1）-2；則第n個(gè)圖形比第（n-1）個(gè)圖形多（3n-2）枚棋子類型二、 利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)與式的問題2.已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b|-|c-b|的結(jié)果是 （）.A.a+c B.-a-2b+cC.a+2b-c D.-a-c【思路點(diǎn)撥】首先從數(shù)軸上a、b、c的位置關(guān)系可知：ca0；b0且|b|a|，接著可得a+b0，c-b0，然后即可化簡(jiǎn)|a+b|-|c-b|可得結(jié)果 具體步驟為： a,b,c的具體位置，在原點(diǎn)左邊的小于0，原點(diǎn)右邊的大于0.比較絕對(duì)值的大小.|a|c|b|.化簡(jiǎn)原式中的每一部分，看看絕對(duì)值內(nèi)部（二次根式中的被開方數(shù)的底數(shù)）的性質(zhì)，若大于零，直接提出來，若小于零，則取原數(shù)的相反數(shù).進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得出最后結(jié)果.【答案與解析】解：從數(shù)軸上a、b、c的位置關(guān)系可知：ca0；b0且|b|a|，故a+b0，c-b0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c故選A【總結(jié)升華】此題主要考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想和方法來解決絕對(duì)值與數(shù)軸之間的關(guān)系，進(jìn)而考察了非負(fù)數(shù)的運(yùn)用.數(shù)軸的特點(diǎn)：從原點(diǎn)向右為正數(shù)，向左為負(fù)數(shù)，及實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系非負(fù)數(shù)在初中的范圍內(nèi)，有三種形式：絕對(duì)值（|a|），完全平方式(ab)2，二次根式.性質(zhì)：非負(fù)數(shù)有最小值是0；幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.類型三、利用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)式的恒等變形問題3.圖是一個(gè)邊長為的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是（ ）A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】這是完全平方公式的幾何背景，用幾何圖形來分析和理解完全平方公式的實(shí)質(zhì).是一個(gè)很典型的“數(shù)形結(jié)合”的例子，用圖形的變換來幫助理解代數(shù)學(xué)中的枯燥無味的數(shù)學(xué)公式.根據(jù)圖示可知，陰影部分的面積是邊長為（m+n）的正方形的面積減去中間白色的小正方形的面積（m2+n2），即為對(duì)角線分別是2m，2n的菱形的面積據(jù)此即可解答【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn故選B【總結(jié)升華】本題是利用幾何圖形的面積來驗(yàn)證（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解題關(guān)鍵是利用圖形的面積之間的相等關(guān)系列等式舉一反三【變式】如圖1是一個(gè)長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)空心正方形（1）你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長是多少？（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求出圖2中陰影部分的面積；（3）觀察圖2，你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2、（m-n）2、mn之間的關(guān)系嗎？ 【答案】解：（1）圖中陰影部分的正方形的邊長等于（m-n）； （2）（m-n）2；（m+n）2-4mn； （3）（m-n）2=（m+n）2-4mn類型四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問題4.我們知道：根據(jù)二次函數(shù)的圖象，可以直接確定二次函數(shù)的最大（小）值；根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，并運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以在一條直線上找到一點(diǎn)，使得此點(diǎn)到這條直線同側(cè)兩定點(diǎn)之間的距離之和最短這種“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，非常有利于解決一些實(shí)際問題中的最大（?。┲祮栴}請(qǐng)你嘗試解決一下問題：（1）在圖1中，拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是 _.（2）在圖2中，相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線CD）的同側(cè)，且到河岸的距離AC=1千米，BD=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請(qǐng)你：作圖確定水塔的位置；求出所需水管的長度（結(jié)果用準(zhǔn)確值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，具體步驟如下：如圖3中，作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=_DB= _.在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP= _，BP= _.的最小值即為線段_和線段_長度之和的最小值，最小值為_【思路點(diǎn)撥】（1）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)就可得出函數(shù)的極值；（2）延長AC到點(diǎn)E，使CE=AC，連接BE，交直線CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；過點(diǎn)A作AFBD，垂足為F，過點(diǎn)E作EGBD，交BD的延長線于點(diǎn)G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；（3）作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP=x，BP=y；的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.【答案與解析】解：（1）拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是4；（2）如圖所示，點(diǎn)P即為所求（作法：延長AC到點(diǎn)E，使CE=AC，連接BE，交直線CD于點(diǎn)P，則 點(diǎn)P即為所求.說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕跡；不連接PA不扣分；（延長BD，同樣的方法也可以得到P點(diǎn)的位置）過點(diǎn)A作AFBD，垂足為F，過點(diǎn)E作EGBD，交BD的延長線于點(diǎn)G，則有四邊形ACDF、CEGD 都是矩形FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AFAB=3，BD=2，BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，在RtABF中，AF2=AB2-BF2=8，AF=2EG=2.在RtBEG中，BE2=EG2+BG2=17，BE=（cm）.PA+PB的最小值為cm.即所用水管的最短長度為cm.（3）圖3所示，作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP=x，BP=y，的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，作C點(diǎn)關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)C，連接CD，過C點(diǎn)作CEDB，交BD延長線于點(diǎn)E，AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6，DE=8，.最小值為10故答案為：4；x，y；PC，PD，10【總結(jié)升華】此題主要考查了函數(shù)最值問題與利用軸對(duì)稱求最短路線問題，結(jié)合已知畫出圖象利用數(shù)形結(jié)合以及勾股定理是解題關(guān)鍵作圖題不要求寫出作法，但必須保留痕跡.最后點(diǎn)題，即“xx即為所求”.類型五、利用數(shù)形結(jié)合思想，解決函數(shù)問題5.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上,圖象過點(diǎn)(-1,2)和(1,0),且與y軸相交與負(fù)半軸.以下結(jié)論（1）a0；（2）b0；（3）c0；（4）a+b+c=0；（5）abc0；（6）2a+b0;（7）a+c=1；（8）a1中,正確結(jié)論的序號(hào)是_.【思路點(diǎn)撥】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷【答案與解析】解：由拋物線的開口方向向上，可推出a0，正確；因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸右側(cè)，對(duì)稱軸為x=0，又因?yàn)閍0，b0，錯(cuò)誤；由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，c0，錯(cuò)誤；由圖象可知：當(dāng)x=1時(shí)y=0，a+b+c=0，正確；a0，b0，c0，abc0，錯(cuò)誤；由圖象可知：對(duì)稱軸x=0且對(duì)稱軸x=1，2a+b0，正確；由圖象可知：當(dāng)x=-1時(shí)y=2，a-b+c=2， -當(dāng)x=1時(shí)y=0，a+b+c=0， -+，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正確；a+c=1，移項(xiàng)得a=1-c，又c0，a1，正確故正確結(jié)論的序號(hào)是【總結(jié)升華】考查二次函數(shù)的解析式、圖象，及綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)分析問題、解決問題的能力二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與系數(shù)之間的關(guān)系：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a0；否則a0（2）b由對(duì)稱軸和a的符號(hào)確定：由對(duì)稱軸公式x=判斷符號(hào)存在著“左同右異”，即a,b同號(hào).對(duì)稱軸在y軸的左邊，a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的右邊.（3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c0；否則c0（4）b2-4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定：2個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac0；1個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac=0；沒有交點(diǎn)，b2-4ac0（5）當(dāng)x=1時(shí)，ax2+bx+c就變成了ab+c了.這道題的第7小題：當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=0當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c=2,+得，2a+2c=2，即a+c=1.舉一反三【變式】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，x=是該拋物線的對(duì)稱軸根據(jù)圖