隱式與顯示的區(qū)別.doc

顯示動(dòng)力學(xué)與隱式動(dòng)力學(xué)求解的區(qū)別。(2011-10-15 15:34:02) 標(biāo)簽： 雜談分類(lèi)： 札記 顯式求解是對(duì)時(shí)間進(jìn)行差分，不存在迭代和收斂問(wèn)題，最小時(shí)間步取決于最小單元的尺寸。過(guò)多和過(guò)小的時(shí)間步往往導(dǎo)致求解時(shí)間非常漫長(zhǎng)，但總能給出一個(gè)計(jì)算結(jié)果。解題費(fèi)用非常昂貴。因此在建模劃分網(wǎng)格時(shí)要非常注意。隱式求解和時(shí)間無(wú)關(guān)，采用的是牛頓迭代法（線性問(wèn)題就直接求解線性代數(shù)方程組），因此存在一個(gè)迭代收斂問(wèn)題，不收斂就的不到結(jié)果。兩者求解問(wèn)題所耗時(shí)間的長(zhǎng)短理論上無(wú)法比較。實(shí)際應(yīng)用中一般感覺(jué)來(lái)說(shuō)顯式耗時(shí)多些。由于兩者解題的出發(fā)點(diǎn)，所以一般來(lái)說(shuō)顯式用于求解和時(shí)間相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。隱式用來(lái)求解和時(shí)間無(wú)關(guān)的靜力學(xué)問(wèn)題。但也不是絕對(duì)的。比如，用隱式求解時(shí)，為了克服迭代不收斂，改用顯式算，但是要多給點(diǎn)時(shí)間，這樣雖然克服了不收斂的問(wèn)題，但是求解的時(shí)間費(fèi)用也是相當(dāng)客觀的。另外，隱式也可以求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。1、顯式算法基于動(dòng)力學(xué)方程，因此無(wú)需迭代；而靜態(tài)隱式算法基于虛功原理，一般需要迭代計(jì)算2、顯式算法最大優(yōu)點(diǎn)是有較好的穩(wěn)定性。動(dòng)態(tài)顯式算法采用動(dòng)力學(xué)方程的一些差分格式（如廣泛使用的中心差分法、線性加速度法、Newmark法和wilson法等），不用直接求解切線剛度，不需要進(jìn)行平衡迭代，計(jì)算速度快，時(shí)間步長(zhǎng)只要取的足夠小，一般不存在收斂性問(wèn)題。因此需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。并且數(shù)值計(jì)算過(guò)程可以很容易地進(jìn)行并行計(jì)算，程序編制也相對(duì)簡(jiǎn)單。但顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣，而且只有在單元級(jí)計(jì)算盡可能少時(shí)速度優(yōu)勢(shì)才能發(fā)揮, 因而往往采用減縮積分方法，容易激發(fā)沙漏模式，影響應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算精度。靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足，所以得出的結(jié)果會(huì)慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差，必須每步使用很小的增量。3、隱式算法 隱式算法中，在每一增量步內(nèi)都需要對(duì)靜態(tài)平衡方程進(jìn)行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組，這個(gè)過(guò)程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤(pán)空間和內(nèi)存。該算法中的增量步可以比較大，至少可以比顯式算法大得多，但是實(shí)際運(yùn)算中上要受到迭代次數(shù)及非線性程度的限制，需要取一個(gè)合理值。4、求解時(shí)間 使用顯式方法，計(jì)算成本消耗與單元數(shù)量成正比，并且大致與最小單元的尺寸成反比； 應(yīng)用隱式方法，經(jīng)驗(yàn)表明對(duì)于許多問(wèn)題的計(jì)算成本大致與自由度數(shù)目的平方成正比；因此如果網(wǎng)格是相對(duì)均勻的，隨著模型尺寸的增長(zhǎng)，顯式方法表明比隱式方法更加節(jié)省計(jì)算成本隱式求解法 將沖壓成型過(guò)程的計(jì)算作為動(dòng)態(tài)問(wèn)題來(lái)處理后，就涉及到時(shí)間域的數(shù)值積分方法問(wèn)題。在80年代中期以前，人們基本上使用牛曼法進(jìn)行時(shí)間域的積分。根據(jù)牛曼法，位移、速度和加速度有著如下的關(guān)系：上面式子中， 分別為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的位移， 和 為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的速度， 和為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的加速度，和為兩個(gè)待定參數(shù)。由上式可知，在牛曼法中任一時(shí)刻的位移、速度和加速度都相互關(guān)聯(lián)，這就使得運(yùn)動(dòng)方程的求解變成一系列相互關(guān)聯(lián)的非線性方程的求解。這個(gè)求解過(guò)程必須通過(guò)迭代和求解聯(lián)立方程組才能實(shí)現(xiàn)。這就是通常所說(shuō)的隱式求解法。隱式求解法可能遇到兩個(gè)問(wèn)題。一是迭代過(guò)程不一定收斂；二是聯(lián)立方程組可能出現(xiàn)病態(tài)而無(wú)確定的解。隱式求解法的最大優(yōu)點(diǎn)是它具有無(wú)條件穩(wěn)定性，即時(shí)間步長(zhǎng)可以任意大。顯式求解法 如果采用中心差分法來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)問(wèn)題的時(shí)域積分，則有如下位移、速度和加速度關(guān)系：由上式可以看出，當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān)，這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無(wú)需迭代過(guò)程。另外，只要將運(yùn)動(dòng)方程中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣對(duì)角化，前一時(shí)刻的加速度求解無(wú)需解聯(lián)立方程組，從而使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，這就是所謂的顯式求解法。顯式求解法的優(yōu)點(diǎn)是它即沒(méi)有收斂性問(wèn)題，也不需求解聯(lián)立方程組，其缺點(diǎn)是時(shí)間步長(zhǎng)受到數(shù)值積分穩(wěn)定性的限制，不能超過(guò)系統(tǒng)的臨界時(shí)間步長(zhǎng)。由于沖壓成型過(guò)程具有很強(qiáng)的非線性，從解的精度考慮，時(shí)間步長(zhǎng)也不能太大，這就在很大程度上彌補(bǔ)了顯式求解法的缺陷。 在80年代中期以前顯式算法主要用于高速碰撞的仿真計(jì)算，效果很好。自80年代后期被越來(lái)越廣泛地用于沖壓成型過(guò)程的仿真，目前在這方面的應(yīng)用效果已超過(guò)隱式算法。顯式算法在沖壓成型過(guò)程的仿真中獲得成功應(yīng)用的關(guān)鍵，在于它不像隱式算法那樣有解的收斂性問(wèn)題。附加說(shuō)明：1)求解線性靜力學(xué)問(wèn)題，雖然求解線性方程組，但是沒(méi)有時(shí)步的關(guān)系，所以不應(yīng)將其看作隱式算法。2)求解非線性靜力學(xué)問(wèn)題，雖然求解過(guò)程需要迭代，或者是增量法，但是沒(méi)有明顯的時(shí)步問(wèn)題，所以不應(yīng)將其看作隱式算法。3)靜態(tài)松弛法，可以認(rèn)為是將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題看作靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，每一步達(dá)到靜力平衡，需要數(shù)值阻尼。4)動(dòng)態(tài)松弛法，可以認(rèn)為是將靜力學(xué)問(wèn)題或者動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，分為時(shí)步動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，采用向后時(shí)步迭代的思想計(jì)算。對(duì)于解決靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要人工阻尼。根據(jù)我的理解，是這樣的： （1）顯式算法包括動(dòng)態(tài)顯式和靜態(tài)顯式算法。 動(dòng)態(tài)顯式算法的最大優(yōu)點(diǎn)是有較好的穩(wěn)定性。動(dòng)態(tài)顯式算法采用動(dòng)力學(xué)方程的中心差分格式，不用直接求解切線剛度，不需要進(jìn)行平衡迭代，計(jì)算速度快，也不存在收斂控制問(wèn)題。該算法需要的內(nèi)存也比隱式算法要少。數(shù)值計(jì)算過(guò)程可以很容易地進(jìn)行并行計(jì)算，程序編制也相對(duì)簡(jiǎn)單。它也有一些不利方面。顯式算法要求質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣，而且只有在單元級(jí)計(jì)算盡可能少時(shí)速度優(yōu)勢(shì)才能發(fā)揮, 因而往往采用減縮積分方法，容易激發(fā)沙漏模式，影響應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算精度。動(dòng)態(tài)隱式法還有一個(gè)重要特點(diǎn)是：對(duì)成形過(guò)程的仿真需要使用者正確劃分有限元網(wǎng)格和選擇質(zhì)量比例參數(shù)、速度和阻尼系數(shù)。 靜態(tài)顯式法基于率形式的平衡方程組與Euler前插公式，不需要迭代求解。由于平衡方程式僅在率形式上得到滿足，所以得出的結(jié)果會(huì)慢慢偏離正確值。為了減少相關(guān)誤差，必須每步使用很小的增量，通常一個(gè)仿真過(guò)程需要多達(dá)幾千步。由于不需要迭代，所以這種方法穩(wěn)定性好，但效率低。 （2）隱式算法 靜態(tài)算法也是解決金屬成形問(wèn)題的一種方法。在靜態(tài)隱式算法中，在每一增量步內(nèi)都需要對(duì)靜態(tài)平衡方程而迭代求解。理論上在這個(gè)算法中的增量步可以很大，但是實(shí)際運(yùn)算中上要受到接觸以及摩擦等條件的限制。隨著單元數(shù)目的增加，計(jì)算時(shí)間幾乎呈平方次增加。由于需要矩陣求逆以及精確積分，對(duì)內(nèi)存要求很高。隱式算法的不利方面還有收斂問(wèn)題不容易得到解決以及當(dāng)開(kāi)始起皺失穩(wěn)時(shí)，在分叉點(diǎn)處剛度矩陣出現(xiàn)奇異。 另有一種靜態(tài)隱式大增量步軟