線代數(shù)總結(jié).doc

線性代數(shù)總結(jié) 一、課程特點(diǎn) 特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。 如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點(diǎn)二：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”?！叭跁?huì)”設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。二、行列式與矩陣 第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。 對于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于 、 、 等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì) （其中 為矩陣 的特征值）。 矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、 、 、 的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。 三、向量與線性方程組 向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨(dú)立，可以看作是對核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（）矩陣形式 ，其中 ， ， （）向量形式 ，其中 ,向量就這樣被引入了。1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。 齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：有唯一零解；有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。 2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 個(gè)向量，即 線性無關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過 “秩 線性相關(guān)無關(guān) 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時(shí)， 的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個(gè)線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。 3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當(dāng)非齊次線性方程組 滿足 時(shí)，它有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。 性質(zhì)1.對于方陣 有： 方陣 可逆 的行列向量組均線性無關(guān) 可由克萊姆法則判斷有唯一解， 而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： 的列向量組線性無關(guān) 僅有零解， 有唯一解（如果有解） 性質(zhì)2齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。 以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁。應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線性相關(guān)向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表出。 2）向量組線性無關(guān)向量組中沒有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。 3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。 2向量組線性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：1） 一個(gè)線性無關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。2） 如果向量組 可由向量組 線性表示，則有 3） 等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；4） 任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià)。3常見的線性無關(guān)組：1） 齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；2） 、 、 這樣的單位向量組； 3） 不同特征值對應(yīng)的特征向量。4關(guān)于秩的一些結(jié)論：1） ； 2） ； 3） ； 4） ； 5）若有 、 滿足 ，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8） 。 4線性方程組的解：1） 非齊次線性方程組 有唯一解則對應(yīng)齊次方程組 僅有零解； 2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個(gè)不同的解則 有非零解； 4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時(shí)有唯一解，當(dāng) 時(shí)有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。 四、特征值與特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式如 、 、 和 。 常用到下列性質(zhì)：若 階矩陣 有 個(gè)特征值 ，則有 ； 若矩陣 有特征值 ，則 、 、 、 、 、 分別有特征值 、 、 、 、 、 ，且對應(yīng)特征向量等于 所對應(yīng)的特征向量； 2相似矩陣及其性質(zhì)定義式為 ，此時(shí)滿足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。 需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣 與矩陣 等價(jià)（ ）的定義式是 ，其中 、 為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 可通過初等變換化為矩陣 ，并有 ；當(dāng) 中的 、 互逆時(shí)就變成了矩陣相似（ ）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是 ，其中 為可逆矩陣。 由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒有必然聯(lián)系。 3矩陣可相似對角化的條件包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應(yīng)有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是 為實(shí)對稱矩陣。 4實(shí)對稱矩陣及其相似對角化階實(shí)對稱矩陣 必可正交相似于對角陣 ，即有正交矩陣 使得 ，而且正交矩陣 由 對應(yīng)的 個(gè)正交的單位特征向量組成。 可以認(rèn)為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足 （對角矩陣）的話就簡單多了，因?yàn)榇藭r(shí) 而對角陣 的冪 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似對角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分別是由 的特征向量和特征值決定的