（新課程）高中數(shù)學(xué)《3.2立體幾何中的向量方法》教案 新人教A版選修21.doc

3.2立體幾何中的向量方法空間距離利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，可以回避此類問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)化為向量間的計(jì)算問(wèn)題例如圖，已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，e、f分別是ab、ad的中點(diǎn)，gc平面abcd，且gc2，求點(diǎn)b到平面efg的距離分析：由題設(shè)可知cg、cb、cd兩兩互相垂直，可以由此建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解，就是求出過(guò)b且垂直于平面efg的向量，它的長(zhǎng)即為點(diǎn)b到平面efg的距離解：如圖，設(shè)4i，4j，2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系cxyz由題設(shè)c(0,0,0)，a(4,4,0)，b(0,4,0)，d(4,0,0)，e(2,4,0)，f(4,2,0)，g(0,0,2)， ，設(shè)平面efg，m為垂足，則m、g、e、f四點(diǎn)共面，由共面向量定理知，存在實(shí)數(shù)a、b、c，使得，(2a+4b,2b4c,2c)由平面efg，得，于是，整理得：，解得(2a+4b,2b4c,2c)故點(diǎn)b到平面efg的距離為說(shuō)明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，常常不必作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個(gè)向量垂直的充要條件解出垂線段對(duì)應(yīng)的向量就可以了例2已知正方體abcd的棱長(zhǎng)為1，求直線與ac的距離分析：設(shè)異面直線、ac的公垂線是直線l，則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解解：如圖，設(shè)i，j，k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系xyz，則有，設(shè)n是直線l方向上的單位向量，則n，n，解得或取n，則向量在直線l上的投影為n由兩個(gè)向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線與ac的距離為向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算 在高等代數(shù)與解析幾何課程第一章向量代數(shù)的教學(xué)中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見(jiàn)1，p53）要求證明如下的公式： (1)其中點(diǎn)o是二面角p-mn-q的棱mn上的點(diǎn)，oa、ob分別在平面p和平面q內(nèi)。， 。為二面角p-mn-q（見(jiàn)圖1）。圖1 公式（1）可以利用向量的內(nèi)積來(lái)加以證明：以q為坐標(biāo)平面，直線mn為y軸，如圖1建立直角坐標(biāo)系。 記xoz平面與平面p的交線為射線od，則，得，。分別沿射線oa、ob的方向上作單位向量，則。由計(jì)算知，的坐標(biāo)分別為，于是，。公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是有用的。我們來(lái)介紹如下的兩個(gè)應(yīng)用。例1立方體abcd-a1b1c1d1的邊長(zhǎng)為1，e、f、g、h、i分別為a1d1、a1a、a1b1、b1c1、b1b的中點(diǎn)。 求面efg和面ghi的夾角的大小（用反三角函數(shù)表示）。解 由于圖2中所畫的兩平面efg和ghi只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有交線，所以我們可以將該立方體沿ab方向平移1個(gè)單位。這樣就使平面efg平移至平面。而就是二面角g-ih-（見(jiàn)圖3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我們就能求出。圖2由已知條件，和均為等邊三角形，所以，而。因此，圖3，即。解得， 。當(dāng)然，在建立了直角坐標(biāo)系之后，通過(guò)計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量同樣也可算出夾角來(lái)。例2計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。解 我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)頂點(diǎn)上均有3個(gè)面圍繞。設(shè)p和q是兩個(gè)相鄰的面，mn是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，分別為：， ， ，因此它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以。圖4所以，由公式（1）知，或。因此，或。 如果不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計(jì)算上要復(fù)雜很多。利用例2的結(jié)果，我們可以容易地計(jì)算出單位棱長(zhǎng)正十二面體的體積v。設(shè)單位棱長(zhǎng)正十二面體的中心為o，則該十二面體可以切割成十二個(gè)全等的正五棱錐，每個(gè)五棱錐以該多面體的一個(gè)面為底面、以o為其頂點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為，從而可知：。再設(shè)的底面積為s、高為