一次函數(shù)基本題型講解( 附答案版).doc

一次函數(shù)基本題型過關(guān)卷題型一、點的坐標方法： x軸上的點縱坐標為0，y軸上的點橫坐標為0；若兩個點關(guān)于x軸對稱，則他們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；若兩個點關(guān)于y軸對稱，則它們的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；若兩個點關(guān)于原點對稱，則它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù)；1、 已知A（4，b），B（a,-2），若A，B關(guān)于x軸對稱，則a=_,b=_;若A,B關(guān)于y軸對稱，則a=_,b=_;若若A，B關(guān)于原點對稱，則a=_,b=_；2、 若點M（1-x,1-y）在第二象限，那么點N（1-x,y-1）關(guān)于原點的對稱點在第_象限。題型二、關(guān)于點的距離的問題方法：點到x軸的距離用縱坐標的絕對值表示，點到y(tǒng)軸的距離用橫坐標的絕對值表示； 任意兩點的距離為； 若ABx軸，則的距離為； 若ABy軸，則的距離為； 點到原點之間的距離為1、 點D（a,b）到x軸的距離是_；到y(tǒng)軸的距離是_；到原點的距離是_；2、 已知點P（3,0），Q(-2,0),則PQ=_,兩點（3，-4）、（5，a）間的距離是2，則a的值為_；3、 已知點A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C點在x軸上，且ACB=90，則C點坐標為_.題型三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的識別方法：若y=kx+b(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)，特別的，當b=0時，一次函數(shù)就成為y=kx(k是常數(shù)，k0)，這時，y叫做x的正比例函數(shù)，當k=0時，一次函數(shù)就成為若y=b，這時，y叫做常函數(shù)。A與B成正比例A=kB(k0)1、當m_時，是一次函數(shù)；2、2y-3與3x+1成正比例，且x=2,y=12,則函數(shù)解析式為_；題型四、函數(shù)圖像及其性質(zhì)方法：一次函數(shù)y=kx+b（k0）中k、b的意義： k(稱為斜率)表示直線y=kx+b（k0） 的傾斜程度；b（稱為截距）表示直線y=kx+b（k0）與y軸交點的 ，也表示直線在y軸上的 。 同一平面內(nèi)，不重合的兩直線 y=k1x+b1（k10）與 y=k2x+b2（k20）的位置關(guān)系：當 時，兩直線平行。 當 時，兩直線垂直。 當 時，兩直線相交。 當 時，兩直線交于y軸上同一點。 特殊直線方程： X軸 : 直線 Y軸 : 直線 與X軸平行的直線 與Y軸平行的直線 一、 三象限角平分線 二、四象限角平分線 1、對于函數(shù)y5x+6，y的值隨x值的減小而_。2、對于函數(shù), y的值隨x值的_而增大。 3、一次函數(shù) y=(6-3m)x(2n4)不經(jīng)過第三象限，則m、n的范圍是_。4、已知直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，那么直線y=-bx+k經(jīng)過第_象限。5、已知一次函數(shù) （1）當m取何值時，y隨x的增大而減小？ （2）當m取何值時，函數(shù)的圖象過原點？題型五、待定系數(shù)法求解析式方法：依據(jù)兩個獨立的條件確定k,b的值，即可求解出一次函數(shù)y=kx+b（k0）的解析式。 已知是直線或一次函數(shù)可以設(shè)y=kx+b（k0）； 若點在直線上，則可以將點的坐標代入解析式構(gòu)建方程。1、若函數(shù)y=3x+b經(jīng)過點（2，-6），求函數(shù)的解析式。2、若一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-2x6，相應的函數(shù)值的范圍是-11y9，求此函數(shù)的解析式。6、已知直線y=kx+b與直線y= -3x+7分別關(guān)于x、y、z軸對稱，求k、b的值。題型六、平移方法：直線y=kx+b與y軸交點為（0，b），直線平移則直線上的點（0，b）也會同樣的平移，平移不改變斜率k，則將平移后的點代入解析式求出b即可。直線y=kx+b向左平移2向上平移3 y=k(x+2)+b+3;（“左加右減，上加下減”）。1. 直線向下平移2個單位，再向左平移1個單位得到直線_。2. 過點（2，-3）且平行于直線y=-3x+1的直線是_.3直線m:y=2x+2是直線n向右平移2個單位再向下平移5個單位得到的，而（2a,7）在直線n上，則a=_；題型七、交點問題及直線圍成的面積問題方法：兩直線交點坐標必滿足兩直線解析式，求交點就是聯(lián)立兩直線解析式求方程組的解；復雜圖形“外補內(nèi)割”即：往外補成規(guī)則圖形，或分割成規(guī)則圖形（三角形）；往往選擇坐標軸上的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高；1、 直線經(jīng)過（1,2）、（-3,4）兩點，求直線與坐標軸圍成的圖形的面積。2、 已知一個正比例函數(shù)與一個一次函數(shù)的圖象交于點A（3,4），且OA=OB（1） 求兩個函數(shù)的解析式；（2）求AOB的面積；3、 已知直線m經(jīng)過兩點（1,6）、（-3，-2），它和x軸、y軸的交點式B、A，直線n過點（2，-2），且與y軸交點的縱坐標是-3，它和x軸、y軸的交點是D、C；（1） 分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；（2） 計算四邊形ABCD的面積；（3） 若直線AB與DC交于點E，求BCE的面積。4、 如圖，A、B分別是x軸上位于原點左右兩側(cè)的點，點P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點C（0,2），直線PB交y軸于點D，AOP的面積為6；（1） 求COP的面積；（2） 求點A的坐標及p的值；（3） 若BOP與DOP的面積相等，求直線BD的函數(shù)解析式。5、已知：經(jīng)過點（-3，-2），它與x軸，y軸分別交于點B、A，直線經(jīng)過點（2，-2），且與y軸交于點C（0，-3），它與x軸交于點D （1）求直線的解析式； （2）若直線與交于點P，求的值。6. 如圖，已知點A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求ABC的面積。解析題題型分類1方案設(shè)計問題 物資調(diào)運 例1.（2008年重慶第27題）為支持四川抗震救災，重慶市A、B、C三地現(xiàn)在分別有賑災物資100噸，、100噸、80噸，需要全部運往四川重災地區(qū)的D、E兩縣。根據(jù)災區(qū)的情況，這批賑災物資運往D縣的數(shù)量比運往E縣的數(shù)量的2倍少20噸。 （1）求這批賑災物資運往D、E兩縣的數(shù)量各是多少？ （2）若要求C地運往D縣的賑災物資為60噸，A地運往D的賑災物資為x噸（x為整數(shù)），B地運往D縣的賑災物資數(shù)量小于A地運往D縣的賑災物資數(shù)量的2倍。其余的賑災物資全部運往E縣，且B地運往E縣的賑災物資數(shù)量不超過25噸。則A、B兩地的賑災物資運往D、E兩縣的方案有幾種？請你寫出具體的運送方案； （3）已知A、B、C三地的賑災物資運往D、E兩縣的費用如下表： A地B地C地運往D縣的費用（元/噸）220200200運往E縣的費用（元/噸）250220210為即使將這批賑災物資運往D、E兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災物資的總費用，在（2）問的要求下，該公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多是多少？ 解析：本題題干文字長，數(shù)量關(guān)系復雜，但只要弄懂了題意，并結(jié)合表格將數(shù)量關(guān)系進行整理，解決起來并不難。 直接用一元一次方程求解。運往D縣的數(shù)量比運往E縣的數(shù)量的2倍少20噸，設(shè)運往E縣m噸，則運往D縣（2m-20）噸，則m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程組求解） 由中結(jié)論，并結(jié)合題設(shè)條件，由A地運往D的賑災物資為x噸，可將相應數(shù)量關(guān)系列表如下： A地（100噸）B（100噸）C（80噸）D縣（180噸）x（220元/噸）180-60-x =120-x（200元/噸）60（200元/噸）E縣（100噸）100-x（250/噸元）100-20-（100-x） =x-20（220元/噸）20（210元/噸）表格說明：A、B、C、D、E各地后括號中的數(shù)字為調(diào)運量或需求量； 表格中含x的式子或數(shù)字，表示對應地點調(diào)運數(shù)量； 表格中其他括號中的數(shù)字，表示對應的調(diào)運費用。 確定調(diào)運方案，需看問題中的限制條件：B地運往D縣的賑災物資數(shù)量小于A地運往D縣的賑災物資數(shù)量的2倍。B地運往E縣的賑災物資數(shù)量不超過25噸。故： 解得 40x45 x為整數(shù) x的取值為41，42，43，44，45 則這批救災物資的運送方案有五種。 方案一：A縣救災物資運往D縣41噸，運往E縣59噸； B縣救災物資運往D縣79噸，運往E縣21噸。 （其余方案略） 設(shè)運送這批賑災物資的總費用為y，由中表格可知： y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+20060+21020 =-10x+60800 y隨x增大而減小，且40x45，x為整數(shù)， 當x=41時，y有最大值。 該公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多是：y=-1041+60800=60390（元） 求解物資調(diào)運問題的一般策略： 用表格設(shè)置未知數(shù)，同時在表格中標記相關(guān)數(shù)量； 根據(jù)表格中量的關(guān)系寫函數(shù)式； 依題意正確確定自變量的取值范圍（一般通過不等式、不等式組確定）； 根據(jù)函數(shù)式及自變量的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，按題設(shè)要求確定調(diào)運方案。 物資調(diào)運問題應用廣泛，包括調(diào)水、調(diào)運物資、分配物資等多種類型。 方案比較 例2.（2008年鹽城）在購買某場足球賽門票時，設(shè)購買門票數(shù)為x（張），總費用為y（元）?，F(xiàn)有兩種購買方案： 方案一：若單位贊助廣告費10000元，則該單位所購買門票的價格為每張60元；（總費用=廣告贊助費+門票費） 方案二：購買方式如圖2所示。解答下列問題： 方案一中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ；方案二中，當0x100時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ，當x100時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 。 如果購買本場足球賽門票超過100張，你將選擇哪一種方案，使總費用最?。空堈f明理由。 甲、乙兩單位分別采用方案一、方案二購買本場足球賽門票共700張，花去總費用計58000元，求甲、乙兩單位各購買門票多少張？ 解析：這是一個兩種方案的比較問題。方案比較通常與不等式聯(lián)系緊密。比較優(yōu)惠條件，即通過比較函數(shù)值的大小，確定自變量的區(qū)間。 中方案一的函數(shù)關(guān)系式，直接依題意寫出：y1=60x+10000（x0）；方案二的函數(shù)關(guān)系由圖象給出，用待定系數(shù)法求解。當0x100時，圖象為過原點的線段，函數(shù)式為正比例函數(shù)，可求得y2=100x（0x100）；當x100時，圖象為不過原點的射線，函數(shù)式為一次函數(shù)，過（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x100）。 購買門票超過100張，比較那種方案最省，了先使y1=y2，求出此時x的值。然后利用不等式確定方案。 當y1=y2時，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即購買400張門票，兩種方案費用相同。 當y1y2時，解得x400，則當100x400時，選擇方案二，總費用最??； 當y1y2時，解得x400，則當x400時，選擇方案一，總費用最省。 分兩種情況討論：（用方程求解） 甲單位按方案購買的門票少于100張時，設(shè)甲買m（m100）張，則乙買700-m張。 100m+60（700-m）+10000=58000 解得m=150（不合題意，舍去） 甲單位按方案購買的門票少于100張時，設(shè)甲買m（m100）張，則乙買700-m張 80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得m=200，700-m=500 求解方案比較問題的一般策略： 在方案比較問題中，不同的方案有不同的函數(shù)式。因此首先需設(shè)法求出不同方案各自的函數(shù)式。求函數(shù)式時，有圖象的，多用待定系數(shù)法求；沒有給出圖象的，直接依題意進行列式。 方案比較問題通常都與不等式、方程相聯(lián)系。比較方案，即比較同一自變量所對應的函數(shù)值。要會將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程、不等式問題。 方案比較中尤其要注意不同的區(qū)間，多對應的大小關(guān)系不同。 方案比較問題，在門票、購物、收費、設(shè)計等問題中都可涉及。 2.2分段函數(shù)問題 分段價格 例3.（2008年襄樊第23題）我國是世界上嚴重缺水的國家之一為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費，超過10噸的部分，按每噸元（ba）收費設(shè)一戶居民月用水噸，應收水費元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖13所示 （1）求的值；某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元？ （2）求的值，并寫出當x10時，與之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費46元，求他們上月分別用水多少噸？ 解析：（1）當時，有將，代入，得 用8噸水應收水費（元） （2）當x10時，有 將，代入， 得 故當x10時， （3）因， 所以甲、乙兩家上月用水均超過10噸 設(shè)甲、乙兩家上月用水分別為噸，噸， 則 解之，得 故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸 解分段價格問題的一般策略： 分段函數(shù)的特征是：不同的自變量區(qū)間所對應的函數(shù)式不同，其函數(shù)圖象是一個折線。解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵是要與所在的區(qū)間相對應。 分段函數(shù)中“折點”既是兩段函數(shù)的分界點，同時又分別在兩段函數(shù)上。在求解析式要用好“折點”坐標，同時在分析圖象時還要注意“折點”表示的實際意義，“折點”的縱坐標通常是不同區(qū)間的最值。 分段函數(shù)應用廣泛，在收費問題、行程問題及幾何動態(tài)問題中都有應用。 幾何圖形中的動點 例4.（2008年長沙第25題）在平面直角坐標系中，一動點P（，y）從M（1，0）出發(fā)，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（如圖）按一定方向運動。圖是P點運動的路程s（個單位）與運動時間（秒）之間的函數(shù)圖象，圖是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分. （圖） （圖） （圖） （1）s與之間的函數(shù)關(guān)系式是： ； （2）與圖相對應的P點的運動路徑是： ；P點出發(fā) 秒首次到達點B； （3）寫出當3s8時，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖中補全函數(shù)圖象. 解析：(1)由圖象可知為正比例函數(shù)。S=(t0) (2)由圖象，M縱坐標為0變?yōu)?，則路徑為：MDAN， 10秒 (3)當3s5，即P從A到B時，y=4-s； 當5s7，即P從B到C時，y=-1； 當7s8，即P從C到M時，y=s-8（補全圖象略） 求解幾何圖形中的動點問題一般策略： 解決幾何圖形中的動態(tài)問題，關(guān)鍵是看動點運動的路徑，在不同的路徑上，所對應的線段長（高）等不同，由此引起其它變量的變化。因此根據(jù)不同路徑以確定自變量的變化區(qū)間至關(guān)重要。 在不同的區(qū)間上求函數(shù)表達式，應注意緊密結(jié)合幾何圖形的特征，會將將函數(shù)中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形上的對應線段關(guān)系。 動點（動線）問題，引起圖形中相關(guān)量的變化，多以面積為主。本題給出的坐標變化相對降低了難度。但給出的圖象較多，涉及到路程與時間、路程與坐標三個變量，共兩種函數(shù)，在解決問題時，應認真審題。 2.3 數(shù)形結(jié)合由“形”求式 單個函數(shù)圖象 例5.（2008年南京）28（10分）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系 根據(jù)圖象進行以下探究： 信息讀取 （1）甲、乙兩地之間的距離為 km； （2）請解釋圖中點的實際意義； 圖象理解 （3）求慢車和快車的速度； （4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； 問題解決 （5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？ 解析：（1）900； （2）圖中點的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇 （3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為； 當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為，所以快車的速度為150km/h （4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛到達乙地，此時兩車之間的距離為，所以點的坐標為 設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得 解得 所以，線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為 自變量的取值范圍是 （5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h 把代入，得 此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時間是，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h 單個函數(shù)圖象求“式”的一般策略： 單個函數(shù)圖象，尤其是折線圖，在讀圖過程中一定要正確認識和理解圖形上點的坐標的實際意義。 要關(guān)注“折點”所表示的意義，用好折點坐標。 用圖象求函數(shù)式，多用待定系數(shù)法，因此要善于尋找圖象上點的坐標。一方面可以從圖象上尋找，此外還可以結(jié)合題設(shè)中的條件尋找。 多個函數(shù)圖象 例62008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強力地震。某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū)。乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時（從甲組出發(fā)時開始計時）。圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組所走路程(千米)、(千米)與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應的圖像。請根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問 （1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了_小時；（2分） （2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)。請問甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？（6分） （3）為了保證及時聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不過25千米。請通過計算說明，按圖像所表示的走法是否符合約定。 解析：本題由甲乙兩個互相關(guān)聯(lián)但又不同的行程問題構(gòu)成，函數(shù)圖象之間彼此相交。要解決好所求問題，必須深入認識和理解圖象中的信息，尤其是已知點坐標的實際意義。 （1）由圖象可知：AB段發(fā)生故障。時間為4.9-3=1.9（小時） (2)要求甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米。即要求出B點的縱坐標。點B在線段BD上，且橫坐標為4.9。只需求出BD所在直線的解析式即可。C是BD、EF交點，C點的橫坐標為6，求出直線EF的解析式，則可得到C點坐標。從而求出BD解析式，得到B點縱坐標。 設(shè)直線EF的解析式為乙=kx+b點E(1.25,0)、點F（7.25,480）均在直線EF上 解得 直線EF的解析式是y乙=80X-100 點C在直線EF上，且點C的橫坐標為6， 點C的縱坐標為806100=380 點C的坐標是（6，380） 設(shè)直線BD的解析式為y甲= mx+n 點C（6，380）、點D（7，480）在直線BD上 解得 BD的解析式是y甲=100X -220 B點在直線BD上且點B的橫坐標為4.9，代入y甲得B（4.9，270） 甲組在排除故障時,距出發(fā)點的路程是270千米。 （3）符合約定 由圖像可知：甲、乙