概率論與數(shù)理統(tǒng)計(理工類_第四版)吳贛昌主編課后習(xí)題答.doc

復(fù)制過來讓大家都能下載哈第五章 數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識5.1 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念習(xí)題1已知總體X服從0,上的均勻分布(未知),X1,X2,Xn為X的樣本，則().(A)1ni=1nXi-2是一個統(tǒng)計量；(B)1ni=1nXi-E(X)是一個統(tǒng)計量；(C)X1+X2是一個統(tǒng)計量；(D)1ni=1nXi2-D(X)是一個統(tǒng)計量.解答：應(yīng)選(C).由統(tǒng)計量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)稱為該樣本的統(tǒng)計量.(A)(B)(D)中均含未知參數(shù).習(xí)題2觀察一個連續(xù)型隨機變量，抽到100株“豫農(nóng)一號”玉米的穗位(單位：cm),得到如下表中所列的數(shù)據(jù). 按區(qū)間70,80),80,90),150,160),將100個數(shù)據(jù)分成9個組，列出分組數(shù)據(jù)計表(包括頻率和累積頻率),并畫出頻率累積的直方圖.解答：分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計表組序號12345組限組中值組頻率組頻率%累計頻率%70807533380908599129010095131325100110105161661110120115262667組序號6789組限組中值組頻率組頻率%累計頻率%1201301252020871301401357794140150145449815016015522100頻率直方圖見圖(a),累積頻率直方圖見圖(b).習(xí)題3測得20個毛坯重量(單位：g),列成如下簡表：毛坯重量185187192195200202205206 頻數(shù)11111211毛坯重量207208210214215216218227 頻數(shù)21112121將其按區(qū)間183.5,192.5),219.5,228.5)組，列出分組統(tǒng)計表，并畫出頻率直方圖.解答：分組統(tǒng)計表見表組序號12345 組限組中值組頻數(shù)組頻率/%183.5,192.5192.5,201.5201.5,210.5210.5,219.5219.5,228.518819720621522432861151040305頻率直方圖見下圖習(xí)題4某地區(qū)抽樣調(diào)查200個居民戶的月人均收入，得如下統(tǒng)計資料：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合計 戶數(shù)18357624191414200求樣本容量n,樣本均值X，樣本方差S2.解答：對于抽到的每個居民戶調(diào)查均收入，可見n=200.這里，沒有給出原始數(shù)據(jù)，而是給出了整理過的資料(頻率分布),我們首先計算各組的“組中值”，然后計算X和S2的近似值：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合計 組中值ak5.56.57.58.59.510.511.5- 戶數(shù)fk18357624191414200X=1nkakfk=1200(5.518+11.514)=7.945,S21n-1k(ak-X)2fk=1n-1kak2fk-X2=1199(5.5218+11.5214)-7.945266.0402-63.123025=2.917175.習(xí)題5設(shè)總體X服從二項分布B(10,3100),X1,X2,Xn為來自總體的簡單隨機樣本，X=1ni=1nXi與Sn2=1ni=1n(Xi-X)2分別表示樣本均值和樣本二階中心矩，試求E(X),E(S2).解答：由XB(10,3100),得E(X)=103100=310,D(X)=10310097100=2911000,所以E(X)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.習(xí)題6設(shè)某商店100天銷售電視機的情況有如下統(tǒng)計資料日售出臺數(shù)k23456合計 天數(shù)fk2030102515100求樣本容量n,經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x).解答：(1)樣本容量n=100;(2)經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)=0,x20.20,2x30.50,3x40.60,4x50.85,5xx=1-PX1x,X2x,Xnx =1-PX1xPX2xPXnx =1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx =1-1-F(x)n,F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x).習(xí)題8設(shè)總體X服從指數(shù)分布e(),X1,X2是容量為2的樣本，求X(1)，X(2)的概率密度.解答：f(x)=e-x,x00,其它, F(x)=1-e-x,x00,x0,X(2)的概率密度為f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x00,其它,又X(1)的概率密度為f(1)(x)=21-F(x)f(x)=2e-2x,x00,其它.習(xí)題9設(shè)電子元件的壽命時間X(單位：h)服從參數(shù)=0.0015的指數(shù)分布，今獨立測試n=6元件，記錄它們的失效時間，求：(1)沒有元件在800h之前失效的概率；(2)沒有元件最后超過3000h的概率.解答：(1)總體X的概率密度f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x00,其它,分布函數(shù)F(x)=1-e-0.0015x,x00,其它,沒有元件在800h前失效=最小順序統(tǒng)計量X(1)800,有PX(1)800=PX8006=1-F(800)6=exp(-0.00158006)=exp(-7.2)0.000747.(2)沒有元件最后超過3000h=最大順序統(tǒng)計量X(6)3000PX(6)3000=PX30006=F(3000)6 =1-exp-0.001530006=1-exp-4.560.93517.習(xí)題10設(shè)總體X任意，期望為,方差為2,若至少要以95%的概率保證X-0.1,問樣本容量n應(yīng)取多大？解答：因當(dāng)n很大時，X-N(,2n),于是PX-0.1=P-0.1X+0.1 (0.1/n)-(-0.1/n)=2(0.1n)-10.95,則(0.1n)0.975,查表得(1.96)=0.975,因(x)非減，故0.1n1.96,n384.16,故樣本容量至少取385才能滿足要求.5.2 常用統(tǒng)計分布習(xí)題1對于給定的正數(shù)a(0aF1-a(n1,n2)=P1F1F1-a(n1,n2)由于1FF(n2,n1),所以P1F1F1-a(n1,n2)=P1FFa(n2,n1)=a,即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是對的.習(xí)題2(1)2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?(1)X1-X2X32+X42;解答：因為XiN(0,1),i=1,2,n,所以：X1-X2N(0,2),X1-X22N(0,1),X32+X422(2),故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2).習(xí)題2(2)2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?(2)n-1X1X22+X32+Xn2;解答：因為XiN(0,1),i=2nXi22(n-1),所以n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1).習(xí)題2(3)2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡單隨機樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?(3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2.解答：因為i=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3),所以：(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3).習(xí)題3設(shè)X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體XN(0,22)的簡單隨機樣本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,則a=?,b=?時，統(tǒng)計量Y服從2分布，其自由度是多少？解答：解法一Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),則Y=Y12+Y22,為使Y2(2),必有Y1N(0,1),Y2N(0,1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)=a(4+44)=20a=1,D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4)=b(49+164)=100b=1,分別得a=120,b=1100.這時Y2(2),自由度為n=2.解法二 因XiN(0,22)且相互獨立，知X1-2X2=X1+(-2)X2N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100),故X1-2X220N(0,1),3X3-4X4100N(0,1),為使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2),必有X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1),與上面兩個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量比較即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.習(xí)題4設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(0,32).X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分別取自總體X和Y的簡單隨機樣本，試證統(tǒng)計量T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92服從自由度為9的t分布.解答：首先將Xi,Yi分別除以3,使之化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài).令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9,則XiN(0,1),YiN(0,1);再令X=X1+X2+X9,則XN(0,9),X3N(0,1),Y2=Y12+Y22+Y92,Y22(9).因此T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9),注意到X,Y2相互獨立.習(xí)題5設(shè)總體XN(0,4),而X1,X2,X15為取自該總體的樣本，問隨機變量Y=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)服從什么分布？參數(shù)為多少？解答：因為Xi2N(0,1),故Xi242(1),i=1,2,15,而X1,X2,X15獨立，故X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5),所以X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y習(xí)題6證明：若隨機變量X服從F(n1,n2)的分布，則(1)Y=1X服從F(n2,n1)分布；(2)并由此證明F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).解答：(1)因隨機變量X服從F(n1,n2),故可設(shè)X=U/n1V/n2,其中U服從2(n1),V服從2(n2),且U與V相互獨立，設(shè)1X=V/n2U/n1,由F分布之定義知Y=1x=V/n2U/n1,服從F(n2,n1).(2)由上側(cè)分位數(shù)和定義知PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-,即PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY1F1-(n1,n2)=1-,故PY1F1-(n1,n2)=,而PYF(n2,n1)=.又Y為連續(xù)型隨機變量，故PY1F1-(n1,n2)=,從而F(n2,n1)=1F1-(n1,n2),即F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).習(xí)題7查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)：u0.4,u0.2,u0.1與u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.習(xí)題8查表求2分布的上側(cè)分位數(shù)：0.952(5),0.052(5),0.992(10)與0.012(10).解答：1.145,11.071,2.558,23.209.習(xí)題9查表求F分布的上側(cè)分位數(shù)：F0.95(4,6),F0.975(3,7)與F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.習(xí)題10查表求t分布的下側(cè)分位數(shù)：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)與t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3 抽樣分布習(xí)題1已知離散型均勻總體X,其分布律為X246pi1/31/31/3取大小為n=54的樣本，求：(1)樣本平均數(shù)X落于4.1到4.4之間的概率；(2)樣本均值X超過4.5的概率.解答：=E(X)=13(2+4+6)=4,2=E(X2)-E(X)2=13(22+42+66)-42=83,所以X=4,X2=2n=8/354=481,X=29.令Z=X-42/9,則n充分大時，Z近似N(0,1).(1)P4.1X4.4=P4.1-42/9Z4.5=PZ4.5-42/9=1-PZ2.251-(2.25)=1-0.9878=0.0122.習(xí)題2設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(10,32),X1,X2,X6是它的一組樣本，設(shè)X=16i=16Xi.(1)寫出X所服從的分布；(2)求X11的概率.解答：(1)XN(10,326),即XN(10,32).(2)PX11=1-PX11=1-(11-1032)1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061.習(xí)題3設(shè)X1,X2,Xn是總體X的樣本，X=1ni=1nXi,分別按總體服從下列指定分布求E(X),D(X).(1)X服從0-1分布b(1,p);(2)*X服從二項分布b(m,p);(3)X服從泊松分布P(); (4)X服從均勻分布Ua,b;(5)X服從指數(shù)分布e().解答：(1)由題意，X的分布律為：PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p,D(X)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p).(2)由題意，X的分布律為：PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m).同(1)可得E(X)=mp,D(X)=1nmp(1-p).(3)由題意，X的分布律為：PX=k=kk!e-(0,k=0,1,2,).E(X)=,D(X)=.同(1)可得E(X)=,D(X)=1n.(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212n.(5)由E(X)=1,D(X)=12,同(1)可得D(X)=1,D(X)=1n2.習(xí)題4 某廠生產(chǎn)的攪拌機平均壽命為5年，標(biāo)準(zhǔn)差為1年，假設(shè)這些攪拌機的壽命近似服從正態(tài)分布，求：（1）容量為9的隨機樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率；（2）容量為9的隨機樣本平均壽命小于6年的概率。解答：（1）由題意知XN(5,1n),n=9，則標(biāo)準(zhǔn)化變量Z=X-51/9=X-51/3N(0,1).而 P4.4X5.2=P4.4-51/3X-51/35.2-51/3=P-1.8Z0.6(0.6)-(-1.8)=0.7257-0.0359=0.6898（2）PX6=PX-51/36-51/3=PZ1.解答：XN(0,1616)，YN(1,925)，X-YN(-1,1+925)，即X-YN(-1,3425)標(biāo)準(zhǔn)化變量X-Y，令Z=X-Y34/5N(0,1)，所以PX-Y1=1-PX-Y1=1-P-1X-Y1=1-P0X-Y+134/5234/51-(1.715)+(0)=1-0.9569+0.5=0.5431習(xí)題6假設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(20,32),樣本X1,X25來自總體X,計算Pi=116Xi-i=1725Xi182.解答：令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi,由于X1,X25相互獨立同正態(tài)分布N(20,32),因此有Y1與Y2相互獨立，且Y1N(320,122),Y2N(180,92),Y1-Y2N(140,152),Pi=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182, =PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997.習(xí)題7從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對值大于2的概率為0.01,試求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：設(shè)總體XN(,2),樣本均值為X,則有X-/n=X-/4N(0,1).因為PX-2=PX-/48=2PZ8=21-(8)=0.01,所以(8)=0.995.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得8=2.575,從而=82.575=3.11.習(xí)題8設(shè)在總體N(,2)中抽取一容量為16的樣本，這里,2均為未知.(1)求PS2/22.041,其中S2為樣本方差；(2)求D(S2).解答：(1)因為是正態(tài)總體，根據(jù)正態(tài)總體下的統(tǒng)計量分布可知(n-1)S222(n-1).這里n=16,于是PS2/22.041=P(15S22152.041) =1-P15S2230.615(查2分布表可得) =1-0.01=0.99.(2)因為(n-1)S222(n-1),又知D(n-1)S22)=2(n-1),所以D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154(因為n=16).習(xí)題9設(shè)總體XN(,16),X1,X2,X10為取自該總體的樣本，已知PS2a=0.1,求常數(shù)a.解答：因為(n-1)S222(n-1),n=10,=4,所以PS2a=P9S216916a=0.1.查自由度為9的2分布表得，916a=14.684,所以a26.105.習(xí)題10設(shè)X1,X2,Xn和Y1,Y2,Yn分別取自正態(tài)總體XN(1,2)和YN(2,2)且相互獨立，問以下統(tǒng)計量服從什么分布？(1)(n-1)(S12+S22)2;(2)n(X-Y)-(2-2)2S12+S22.解答：(1)由(n-1)S1222(n-1),(n-1)S2222(n-1),由2(n)的可加性(n-1)(S12+S22)2(2(n-1).(2)X-YN(1-2,22n),標(biāo)準(zhǔn)化后(X-Y)-(1-2)2nN(0,1),故有(X-Y)-(1-2)222n2(1),又由(n-1)(S12+S22)22(2n-2),注意F分布定義(X-Y)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X-Y)-(1-2)2S1習(xí)題11分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個樣本，求第一個樣本方差不小于第二個樣本方差的兩倍的概率.解答：用S12和S22分別表示兩個樣本方差，由定理知F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9).又設(shè)事件A=S122S22,下面求PS122S22,因PS122S22=PS12S222=PS12/20S22/3523520=PF3.5.查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上分布點F(n1=7,n2=9)有如下數(shù)值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而F0.05(7,9)=3.293.5F0.025(7,9)=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之間，故0.025PS122S220.05.總習(xí)題解答習(xí)題1設(shè)總體X服從泊松分布.一個容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,計算樣本均值，樣本方差和經(jīng)驗分布函數(shù).解答：樣本的頻率分布為x=4,s2=3.6.經(jīng)驗分布函數(shù)為F10(x)=0,x11/10,1x22/10,2x34/10,3x47/10,4x58/10,5x69/10,6x00,x0(未知),樣本X1,X2,Xn是n件某種電器的使用壽命，抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值.樣本X1,X2,Xn相互獨立，來自同一總體X,所以樣本的聯(lián)合密度為f(x1,x2,xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn00,其它.習(xí)題3設(shè)總體X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，求：(1)來自X的簡單隨機樣本X1,X2,Xn的密度f(x1,x2,xn);(2)Y=maxX1,X2,Xn的密度fY(x); Z=minX1,X2,Xn的密度fZ(x).解答：(1)X的密度為f(x)=1b-a,x(a,b)0,其它, 由于X1,X2,Xn獨立且與X同分布，所以有f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它.(2)由題設(shè)X在a,b上服從均勻分布，其分布函數(shù)為F(x)=0,xb,由Y=maxX1,X2,Xn及Z=minX1,X2,Xn分布函數(shù)的定義FY(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b,fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b.習(xí)題4在天平上重復(fù)稱一重量為a的物品，假設(shè)各次稱量的結(jié)果相互獨立，且服從正態(tài)分布N(a,0.2).若以X表示n次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，求使PX-a0.10.95成立的稱量次數(shù)n的最小值.解答：因為X=1ni=1nXiN(a,(0.2)2n),所以X-a0.2/nN(0,1),故PX-a0.1=PX-a0.2/n0.3.解答：因為X1,X2,X10和Y1,Y2,Y15獨立同分布，所以XN(20,310),YN(20,0.2),于是X-YN(0,0.5).PX-Y0.3=PX-Y/0.50.3/0.5=1-PX-Y/0.50.3/0.5=21-(0.3/0.5)=21-0.6628=0.6744(查正態(tài)分布表).習(xí)題6設(shè)總體XN(,2),假如要以0.9606的概率保證偏差X-0.1,試問：當(dāng)2=0.25時，樣本容量n應(yīng)取多大？解答：PX-0.1=0.9606,即PX-0.1=PX-0.25/n0.10.25/n=2(0.1n0.25)-1=0.9606,(0.1n0.25)=0.9803n5=2.06n106.PX-0.1=0.9606,即PX-0.1=PX-0.25/n)=PX1-X22/nn2=2(-n2)=21-(n2)0.975,查正態(tài)分布表n21.96,所以n7.68,即取n=8.習(xí)題8設(shè)總體Xf(x)=x,x0.02.解答：=E(X)=-11xxdx=0,2=D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12.(1)X=1ni=1nXi(n=50)E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X)=2n=12n=1100;(2)E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X)2=1n-1Ei=1n(Xi-X)2=1n-1E(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X)=1n-1(n12-n12n)=12;(3)PX0.02=1-PX0.02=1-PX-D(X)0.02-D(X)=1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414.習(xí)題9從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0.02,求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：由于XN(,2n),故有0.02=PX-4=PX-/n4/n2(1-(4/n)2(1-(12.65),(12.65)=0.99,即有12.65=u0.01=2.33,解得5.43.習(xí)題10設(shè)X1,Xn是取自總體X的樣本，X,S2分別為樣本均值與樣本方差，假定=E(X),2=D(X)均存在，試求E(X),D(X),E(S2).解答：E(X)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nE(X)=,D(X)=1n2i=1nD(Xi)=1n2i=1nD(X)=2n,E(S2)=E(1n-1(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nE(Xi2)-nE(X2)=1n-1(i=1nE(X2)-nE(X2)=1n-1(i=1n(2+2)-n(2+(2n)=2.注：本題證明了對于任何存在均值與方差2的總體分布，均有E(X)=,E(S2)=2.習(xí)題11設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(,2)(0),從總體中抽取簡單隨機樣本X1,X2n(n2),其樣本均值為X=12ni=12nXi,求統(tǒng)計量Y=i=1n(Xi+Xn+i-2X)2的數(shù)學(xué)期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互獨立，同分布N(2,22),則它們可認(rèn)為是取自同一正態(tài)總體N(2,22)的樣本，其樣本均值為1ni=1n(Xi+Xn+i)=1ni=12nXi=2X.如果記Zi=Xi+Xn+i,i=1,n,即Zi(i=1,n)是取自N(2,22)的樣本，且Yn-1=1n-1i=1n(Xi+Xn+i-2X)2=S2(Z),則有E(S2(Z)=1n-1E(Y)=22,所以E(Y)=2(n-1)2.習(xí)題12設(shè)有k個正態(tài)總體XiN(i,2),從第i個總體中抽取容量為ni的樣本Xi1,Xi2,Xini,且各組樣本間相互獨立，記Xi=1nj=1niXij(i=1,2,k),n=n1+n2+nk,求W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2的分布.解答：因為j=1ni(Xij-Xi)22=(ni-1)Si222(ni-1),且(ni-1)Si22(i=1,2,k)相互獨立，故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2=i=1k(ni-1)Si222(i=1k(ni-1),而i=1k(ni-1)=i=1kni-k=n-k,故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)22(n-k).習(xí)題13已知Xt(n),求證X2F(1,n).解答：設(shè)X=U/Yn,其中UN(0,1),Y2(n).且U與Y相互獨立，于是，U22(1),且U2與Y也相互獨立，所以X2=U2/(Yn).根據(jù)F變量的構(gòu)成模式知，X2應(yīng)服從F(1,n)分布.習(xí)題14設(shè)X1,X2,X9是取自正態(tài)總體XN(,2)的樣本，且Y1=16(X1+X2+X6),Y2=13(X7+X8+X9),S2=12i=79(Xi-Y2)2,求證Z=2(Y1-Y2)St(2).解答：易知Y1=16(X1+X2+X6)N(,26),Y2=13(X7+X8+X9)N(,23),且Y1與Y2獨立，故Y1-Y2N(0,22),又2S22=i=79(Xi-Y2)2/22(2),Y1-Y2與2S22獨立，從而(Y1-Y2)/22S22/2=2(Y1-Y2)S=Zt(2).習(xí)題15設(shè)X1,Xn,Xn+1是取自正態(tài)總體XN(,2)的樣本，Xn=1ni=1nXi,Sn=1n-1i=1n(Xi-Xn)2,試確定統(tǒng)計量nn+1Xn+1-XnSn的分布.解答：將統(tǒng)計量改寫成下列形式：nn+1Xn+1-XnSn=(Xn+1-Xn)/1+1n(n-1)Sn22/(n-1)(*)由于Xn+1與Xi(i=1,n)相互獨立，Xn=1ni=1nXiN(,2n),Xn+1N(,2),所以Xn+1-XnN(0,(1+1n)2),從而(Xn+1-Xn)/(1+1n)N(0,1),注意到Xn與Sn2相互獨立，Xn+1也與Sn2相互獨立，且(n-1)Sn222(n-1),故由(*)式即得nn+1Xn+1-XnSnt(n-1).習(xí)題16假設(shè)X1,X2,X9是來自總體XN(0,22)的簡單隨機樣本，求系數(shù)a,b,c,使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服從2分布，并求其自由度.解答：由于X1,X2,X9相互獨立且取自總體XN(0,22),由