《高考調(diào)研》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十二章《概率和統(tǒng)計(jì)》課件125 選修2.ppt

1 期望的概念及性質(zhì) 1 若離散型隨機(jī)變量 的概率分布為p xi pi i 1 2 的數(shù)學(xué)期望e 2 若 a b 其中a b是常數(shù)e a b 3 若 b n p 則e x1p1 x2p2 xnpn ae b np 2 方差的概念 1 方差 把d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 叫做隨機(jī)變量 的 標(biāo)準(zhǔn)差是 2 若 b n p 那么d 3 方差的性質(zhì) 1 c為常數(shù) d c 2 a b為常數(shù) 則d a b 3 e 2 e 2 方差 np 1 p 0 a2d d 1 2010 新課標(biāo)全國(guó)卷 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0 9 現(xiàn)播種了1000粒 對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子 每粒需再補(bǔ)種2粒 補(bǔ)種的種子數(shù)記為x 則x的數(shù)學(xué)期望為 a 100b 200c 300d 400答案b解析記 不發(fā)芽的種子數(shù)為 則 b 1000 0 1 所以e 1000 0 1 100 而x 2 故ex e 2 2e 200 故選b 2 2010 濟(jì)南 已知5件產(chǎn)品中有3件正品 2件次品 從中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行檢驗(yàn) 設(shè)其中有 件正品 則隨機(jī)變量 的期望為 a 1 2b 2c 1d 1 4答案a 3 2011 東北四市聯(lián)考 在相同條件下對(duì)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員甲 乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試 測(cè)得他們的最大速度 單位 m s 的數(shù)據(jù)如下 試問(wèn) 選 填甲或乙 參加某項(xiàng)重大比賽更合適 答案乙 點(diǎn)評(píng)均值 方差是統(tǒng)計(jì)學(xué)的兩個(gè)基本概念 高考常以小題形式出現(xiàn) 牢記并熟練運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵 4 2010 湖北卷 理 某射手射擊所得球數(shù) 的分布列如下 已知 的期望e 8 9 則y的值為 答案0 4 5 09 廣東 已知離散型隨機(jī)變量x的分布列如下表 若ex 0 dx 1 則a b 題型一期望 方差例1 2010 重慶卷 理 在甲 乙等6個(gè)單位參加的一次 唱讀講傳 演出活動(dòng)中 每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起 若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序 序號(hào)為1 2 6 求 1 甲 乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率 2 甲 乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù) 的分布列與期望 探究1求離散型隨機(jī)變量的期望 一般分為兩個(gè)步驟 1 列出離散型隨機(jī)變量的分布列 2 利用公式e x1p1 x2p2 xnpn 求出期望 思考題1 2011 鄭州 從某批產(chǎn)品中 有放回地抽取產(chǎn)品2次 每次隨機(jī)抽取1件 假設(shè)事件a 取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品 的概率p a 0 96 求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p 若該批產(chǎn)品共100件 從中一次性任意抽取2件 用 表示取出的2件產(chǎn)品中的二等品的件數(shù) 求 的分布列及期望 解析 記a0表示事件 取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品 a1表示事件 取出的2件產(chǎn)品中恰有1件是二等品 則a0 a1互斥 且a a0 a1 故p a p a0 a1 p a0 p a1 1 p 2 c21p 1 p 1 p2 由題意 知1 p2 0 96 又p 0 故p 0 2 例2每人在一輪投籃練習(xí)中最多可投籃4次 現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí) 否則一直試投到4次為止 已知一選手的投籃命中率為0 7 求一輪練習(xí)中該選手的實(shí)際投籃次數(shù) 的分布列 并求出 的期望e 與方差d 保留3位有效數(shù)字 解析 的取值為1 2 3 4 若 1 表示第一次即投中 故p 1 0 7 若 2 表示第一次未投中 第二次投中 故p 2 1 0 7 0 7 0 21 若 3 表示第一 二次未投中 第三次投中 故p 3 1 0 7 2 0 7 若 4 表示前三次未投中 故p 4 1 0 7 3 0 027 因此 的分布列為 e 1 0 7 2 0 21 3 0 063 4 0 027 1 417 d 1 1 417 2 0 7 2 1 417 2 0 21 3 1 417 2 0 063 4 1 417 2 0 027 0 513 探究2理解題意的關(guān)鍵是 投籃規(guī)則的確定 重點(diǎn)突出 一旦命中即停止該輪練習(xí) 只要前三次未中必投第4次 第4次中與不中即停止 思考題2一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成 每一個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng) 其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確 每個(gè)選擇正確答案得4分 不作出選擇或選錯(cuò)的不得分 滿(mǎn)分100分 某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0 8 求此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差 解析 選項(xiàng)的題數(shù) 滿(mǎn)足二項(xiàng)分布即 b 25 0 8 e 25 0 8 20d 25 0 8 0 2 4 此學(xué)生的成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量設(shè)為 則 4 e 4e 80d 16d 64 此學(xué)生成績(jī)的期望為80 方差為64 題型二期望 方差的性質(zhì) 探究3 是隨機(jī)變量 則 f 一般仍是隨機(jī)變量 在求 的期望和方差時(shí) 熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì) 可以避免再求 的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算 3 設(shè)x為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù) y為成績(jī) 則x b 50 0 7 y 3x ex 50 0 7 35 dx 50 0 7 0 3 10 5 故ey e 3x 3ex 105 dy d 3x 9dx 94 5 題型三期望 方差的應(yīng)用例4因冰雪災(zāi)害 某柑橘基地果林嚴(yán)重受損 為此有關(guān)專(zhuān)家提出兩種拯救果樹(shù)的方案 每種方案都需分兩年實(shí)施 若實(shí)施方案一 預(yù)計(jì)第一年可以使柑橘產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1 0倍 0 9倍 0 8倍的概率分別是0 3 0 3 0 4 第二年可以使柑橘產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1 25倍 1 0倍的概率分別是0 5 0 5 若實(shí)施方案二 預(yù)計(jì)第一年可以使柑橘產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1 2倍 1 0倍 0 8倍的概率分別是0 2 0 3 0 5 第二年可以使柑橘產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1 2倍 1 0倍的概率分別是0 4 0 6 實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立 令 i i 1 2 表示方案i實(shí)施兩年后柑橘產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù) 1 寫(xiě)出 1 2的分布列 2 實(shí)施哪種方案 兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大 3 不管哪種方案 如果實(shí)施兩年后柑橘產(chǎn)量達(dá)不到 恰好達(dá)到 超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量 預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元 15萬(wàn)元 20萬(wàn)元 問(wèn)實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大 解析 1 1的所有取值為0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 2的所有取值為0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 1 2的分布列分別為 2 令a b分別表示實(shí)施方案一 方案二兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件 p a 0 15 0 15 0 3 p b 0 24 0 08 0 32 可見(jiàn) 實(shí)施方案二兩年后柑橘產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大 3 令 i表示方案i的預(yù)計(jì)利潤(rùn) 則 所以e 1 14 75 e 2 14 1可見(jiàn) 方案一的預(yù)計(jì)利潤(rùn)更大 探究4從近年來(lái)全國(guó)各地有關(guān)概率的高考試題來(lái)看 命題的背景通常與實(shí)際生活密切相關(guān) 因此考生在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)關(guān)心身邊所發(fā)生的一些事件 這些事件極有可能成為高考概率問(wèn)題的命題背景 思考題4某鮮花店每天以每束2 5元的價(jià)格購(gòu)入新鮮玫瑰花 并以每束5元的價(jià)格銷(xiāo)售 店主根據(jù)以往的銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)得到每天能以此價(jià)格售出的玫瑰花數(shù) 的分布列如下表所示 若某天所購(gòu)入的玫瑰花未售完 則當(dāng)天未售出的玫瑰花將以每束1 5元的價(jià)格降價(jià)處理完畢 1 若某天店主購(gòu)入玫瑰花40束 試求該天從玫瑰花銷(xiāo)售中所獲利潤(rùn)的期望 2 每天玫瑰花的進(jìn)貨量x 30 x 50 單位 束 為多少時(shí) 店主有望從玫瑰花銷(xiāo)售中獲取最大利潤(rùn) 則當(dāng)30 x 50時(shí) e 遞增 所以當(dāng)x 50時(shí) e 的最大值為90 即店主有望從玫瑰花銷(xiāo)售中獲取最大利潤(rùn)90元 1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是對(duì)隨機(jī)變量的簡(jiǎn)明的描寫(xiě) 期望表示在隨機(jī)試驗(yàn)中隨機(jī)變量取得的平均值 方差表示隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望值的集中與離散程度 即取值的穩(wěn)定性 把握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的含義 是處理有關(guān)應(yīng)用題的重要環(huán)節(jié) 2 期望與方差的常用性質(zhì) 掌握下述有關(guān)性質(zhì) 會(huì)給解題帶來(lái)方便 1 e a b ae b e e e d a b a2d 2 若 b n p 則e np d np 1 p 答案a 2 某人從家乘車(chē)到單位 途中有3個(gè)交通崗?fù)?假設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的 且概率都是0 4 則此人上班途中遇紅燈的次數(shù)的期望為 a 0 4b 1 2c 0 43d 0 6答案b解析 途中遇紅燈的次數(shù)x服從二項(xiàng)分布 即x b 3 0 4 ex 3 0 4 1 2 答案c 4 09 浙江 在1 2 3 9這9個(gè)自然數(shù)中 任取3個(gè)數(shù) 1 求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率 2 記 為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù) 例如 若取出的數(shù)為1 2 3 則有兩組相鄰的數(shù)1 2和2 3 此時(shí) 的值是2 求隨機(jī)變量 的分布列及其數(shù)學(xué)期望e 5 2010 湖南卷 理 下圖是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量 單位 噸 的頻率分布直方圖 1 求直方圖中x的值 2 若將頻率視為概率 從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民 看作有放回的抽樣 求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望 解析 1 依題意及