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高三數(shù)學微專題四三角形中的三角向量問題(含向量)一、 基礎(chǔ)回顧 1在ABC中,M是BC的中點,AM3,BC10,則_2在邊長為1的正三角形ABC中,設(shè)2,3,則_.3在ABC中,a,b,c為內(nèi)角A,B,C的對邊,向量m(1,)與n(cos A,sin A)平行,且acos Bbcos Acsin C,則角B_.4在ABC中,C,AC1,BC2,則f()|2(1)|的最小值是_二、 典型例題 例1如圖,在OAB中,已知P為線段AB上的一點,xy.(1)若,求x,y的值;(2)若3,|4,|2,且與的夾角為60時,求的值例2如圖所示,已知ABC的面積為14 cm2,D,E分別是AB,BC上的點,且2,, 求APC的面積例3.的三個內(nèi)角依次成等差數(shù)列 ()若,試判斷的形狀; ()若為鈍角三角形,且,試求代數(shù)式的取值范圍例4已知點A,B,C是直線l上不同的三點,點O是l外一點,向量,滿足(ln xy)0,記yf(x)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式;(2)若對任意的x1,2,不等式|aln x|ln(f(x)0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍三、 同步練習1設(shè)O是ABC內(nèi)部的一點,P是平面內(nèi)任意一點,且222,則ABC和BOC的面積之比為 2在四邊形ABCD中,(1,1),則四邊形ABCD的面積為_3在ABC中,已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,S為ABC的面積,若向量p(4,a2b2c2),q(1,S)滿足pq,則C_.4設(shè)兩個向量a(2,2cos2 )和b,其中,m,為實數(shù)若a2b,則的取值范圍是_5 在ABC中,M是BC的中點,|1,2,則()_.6ABC的外接圓的圓心為O,AB2,AC3,BC,則_.7在ABC中,已知BC2,1,則ABC的面積SABC最大值是_8. 給出下列三個命題(1)若00恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解析(1)由題意,得(ln xy),且A,B,C三點共線,所以(ln xy)1,所以yf(x)ln xx2(x0)(2)因為f(x)x,所以|aln x|ln,即aln xln恒成立因為ln xlnlnln在1,2上取最小值ln 2,ln xlnln(x21)在1,2上取最大值ln 5,所以a的取值范圍是(,ln 2)(ln 5,)三、 同步練習 1設(shè)O是ABC內(nèi)部的一點,P是平面內(nèi)任意一點,且222,則ABC和BOC的面積之比為 51 2在四邊形ABCD中,(1,1),則四邊形ABCD的面積為_3在ABC中,已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,S為ABC的面積,若向量p(4,a2b2c2),q(1,S)滿足pq,則C_.4設(shè)兩個向量a(2,2cos2 )和b,其中,m,為實數(shù)若a2b,則的取值范圍是_6,1_解析由a2b,得由2mcos22sin 2(sin 1)2,得22m2,又2m2,則24(m1)2m2,解得m2,而2,故61.5在ABC中,M是BC的中點,|1,2,則()_.解析因為M是BC的中點,所以2,又2,|1,所以()24|2|2.6ABC的外接圓的圓心為O,AB2,AC3,BC,則_.7在ABC中,已知BC2,1,則ABC的面積SABC最大值是_解析以線段BC所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(1,0),C(1,0)設(shè)A(x,y)則(1x,y),(1x,y),于是(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由條件1知x2y22,這表明點A在以原點為圓心,為半徑的圓上當OABC時,ABC面積最大,即SABC28 給出下列三個命題(1)若0tanAtanB1,則ABC一定是鈍角三角形;(2)若lgcosA=lgsinClgsinB=lg2, 則ABC是等腰直角三角形;(3)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1,則ABC一定是等邊三角形以上正確命題的序號是: 9已知ABC所在平面上的動點M滿足222,則M點的軌跡過ABC的_外_心解析如圖,設(shè)N是BC的中點,則由2()()2,得()0,即0,所以,所以M點的軌跡過ABC的外心10已知中,邊上的高與邊的長相等,則的最大值為 11ABC 內(nèi)接于以O(shè)為圓心,1為半徑的圓,且(1)求數(shù)量積;(2)求ABC的面積解析(1)兩邊平方,得,同理可得,(2)由,可得,由,得,同理求得其他三角形面積,所以12設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx. (1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期. (2)設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角,若cosB=,f()=,且C為銳角,求sinA.解析(1)f(x)= 函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. (2)f()=, C為銳角,,sinA =cosB=. 13在ABC中,A,B,C所對邊分別為a,b,c,已知向量m(1,2sin A),n(sin A,1cos A),且滿足mn,bca.(1)求A的大小;(2)求sin的值解析(1) A.(2)bca,由正弦定理,得sin Bsin Csin A.因為BC,所以sin Bsin.所以cos Bsin B,即sin.14已知平面上一定點C(2,0)和直線l:x8,P為該平面上一動點,作PQl,垂足為Q,且()()0.(1)求動點P的軌跡方程;(2)若EF為圓N:x2(y1)21的任一條直徑,求的最值解析(1)設(shè)P(x,y),則Q(8,y)由()()0,得|PC|2|PQ|20,即(x2)2y2(x8)20,化簡得1.所以點P在橢圓上,其方程為1. (2)因()()()()()2221,

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