不等式證明(陳老師)_.doc

不等式證明一、不等式證明的方法與技巧不等式證明的基礎(chǔ)是對(duì)于任意實(shí)數(shù),.常用方法有:比較法(作差比較、作商比較) 、分析法、綜合法、放縮法、反證法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法等等,證明方法因題而異,一題可以多種方法,能夠顯示選手的思維能力.例1 設(shè),是正實(shí)數(shù),求證:.分析與解 設(shè),中最大,若,則不等式顯然成立.若,則可以應(yīng)用二元均值不等式同理 ,.以上三式相乘,即證.例2 已知,且.求證:.證明 .例3 設(shè)，為正實(shí)數(shù)，且，證明:. 證明 因及,所以 .因此 ,同理 , ,以上三式相加即證.例4 若,且,求證: .證明 任取,令,由 得 從而有 ,又 ,所以 .例5 設(shè)是正實(shí)數(shù),并且,證明:.分析與解 注意條件不等式的證明,充分利用abc=1,觀察不等式左邊各式特征,找到一個(gè)放縮式,由有 ,所以 .以下略.例6 設(shè)是三角形三邊,求證:.證法一 作差變形,因式分解,注意到,.證法二 欲證不等式等價(jià)于 .這里分別為題設(shè)三角形三邊 所對(duì)應(yīng)的內(nèi)角,應(yīng)用三角變換,則可證.證法三 由, ,于是 ,即有 ,也即 ,化歸為解法二的最后不等式.例7 ABC的三邊 滿足條件,證明:.證明 因?yàn)?所以,欲證的不等式等價(jià)于 .構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù) .一方面 ,所以 ；另一方面 因是三角形的三條邊長，所以， 均為正數(shù),利用平均不等式,有 ,所以 ,即 .本題我們巧妙地構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù),通過從兩個(gè)方面來考察，使問題得到了證明.構(gòu)造輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法,主要是通過構(gòu)造函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化、進(jìn)而對(duì)所作函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究,從而達(dá)到目的.二、平均值不等式, ,則 .不等式中等號(hào)成立成立的條件是.例8 以知,且,求證:.證明 應(yīng)用 . 略.例9 已知 ,且,求證: .證明 由已知,得 ，令,則 ,由 , ,得 , 從而 ,得 .例10 已知,且,求證: .分析與解 時(shí),不等式中等號(hào)成立.此時(shí) ,由二元均值不等式可得 ， ,，以上三式相加,整理可得,而 ,所以.例11 已知 ,求證:.分析與解 只須證 .,應(yīng)用均值不等式即可證.例12 ,證明:.分析與解 由二項(xiàng)式定理知,又 ,應(yīng)用即可證.例13 若,證明:（1） ；（2） .分析與解 ,以下略.三、柯西不等式 設(shè),則,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，（為常數(shù),）時(shí)成立.例14 設(shè)且 ,試證:.證法一 應(yīng)用柯西不等式推論由,得 ,從而原不等式等價(jià)于 ,.證法二 （平均值不等式）由,有 ,得 .同理 ,三式相加得 .例15 已知,且,求證:.證明 先變形,所以不等式等價(jià)于 .由柯西不等式推論有,又由柯西不等式有，,故原不等式成立.例16 設(shè)n是大于1的自然數(shù),求證:.證明 當(dāng)n=2時(shí),有,當(dāng)n=3時(shí),有,所以下面證明中可設(shè)n4.聯(lián)想到柯西不等式.于是若能證得 即可，而式等價(jià)于 ,因?yàn)閚4，故,所以成立,n=2,3時(shí)已檢驗(yàn)原不等式成立.所以對(duì)的自然數(shù)有 .例17 設(shè)為正實(shí)數(shù),證明:.證明 由柯西不等式知,而對(duì) ,均有 .于是.所以,由知 .例18 已知正實(shí)數(shù)滿足,證明:.證明 設(shè) .由條件式,有,于是 .利用柯西不等式有 .因?yàn)榈谝粋€(gè)不等式等號(hào)成立的條件是,第二個(gè)不等式等號(hào)成立的條件是,所以兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立，故.例19 設(shè),證明:.證明 ,所以,原不等式成立.此題推廣 設(shè) ,且 ),則.說明:柯西不等式的靈活應(yīng)用,不僅在于如何找出兩組符合條件的數(shù)組,它們能符合公式中的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、系數(shù)和元素等對(duì)應(yīng)的特征,更重要的是對(duì)于它的幾種常見的變形的理解,以及它與其他不等式的結(jié)論的聯(lián)合應(yīng)用.四、綜合例子例20 設(shè),且,證明:.證明 . 又 .所以 .原不等式得證.例21 已知是正實(shí)數(shù),求證:.證明 由 ,則,原不等式等價(jià)于 .為證明不等式，應(yīng)用柯西不等式推論.例22 設(shè)且 ,證明: .證明 注意到 ，如果能證明不等式 成立，就可得到待證的不等式.令，且使，則不等式變?yōu)?,去分母，展開并化簡，得 ,應(yīng)用A-G不等式即可證.例23 設(shè)為三角形的三邊長,證明:.證明 設(shè)，則 ，于是，所求證的不等式左邊等價(jià)于 ,由柯西不等式推論得，.例24 已知正實(shí)數(shù)滿足,證明:.證法一 結(jié)論不等式等價(jià)于.整理， 得.由均值不等式,得， ， .以上四式相加,得.于是， 只須證明,不妨設(shè),則由排序不等式即可證出,其中等號(hào)成立,當(dāng)且僅當(dāng).證法二 根據(jù)冪平均不等式得則 由均值不等式得 由柯西不等式 得 .結(jié)合 結(jié)合,即得所證不等式.證法三 顯然,下面證明 .經(jīng)整理，知上式等價(jià)于 .而 ,所以上式成立.于是.結(jié)論得證.例25 m個(gè)互不相同的正偶數(shù)和n個(gè)互不相同的正奇數(shù)的總和為1987,對(duì)于所有的這樣的m與n,問3m+4n的最大值是多少?證明你的結(jié)論.分析 先根據(jù)題設(shè)條件求得3m+4n的一個(gè)上界,然后舉例說明此上界可以達(dá)到,從