淺談“數(shù)形結(jié)合”在與圓有關(guān)問題中的應(yīng)用.doc

參評(píng)科目 數(shù)學(xué)淺談“數(shù)形結(jié)合”在與圓有關(guān)問題中的應(yīng)用洞口縣第二中學(xué) 嚴(yán)立芳數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。顯然數(shù)形結(jié)合，不是兩者簡(jiǎn)單的堆砌，而是有機(jī)的結(jié)合，“數(shù)”具有精確性定特征，它可以闡明“形”的某些屬性，并且可以通過運(yùn)算法則、公式進(jìn)行運(yùn)算，比較具體（雖然有時(shí)卻比較繁復(fù)），“形”具有幾何的直觀性，它也可以表示數(shù)之間的某些關(guān)系，“形”可以通過邏輯推理得到一些結(jié)果，其推理過程較簡(jiǎn)捷（但可能有時(shí)比較抽象）。但兩者結(jié)合，各取所長(zhǎng)，往往威力巨大，因此華羅庚教授說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”因此數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的解題思想，用這種思想指導(dǎo)，一些幾何問題可以用代數(shù)方法來處理，一些代數(shù)問題又可以用幾何圖形幫助解決。筆者淺談“數(shù)形結(jié)合”在與圓有關(guān)問題中的應(yīng)用。一 直線與圓的交點(diǎn)問題例1 設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。oo圖-1（例1）分析：（如圖-1）集合表示的圖形是：半圓，不含端點(diǎn)；集合表示的圖形是：斜率為1的一組平行直線，在軸上的截距為。，表示直線與半圓沒有公共點(diǎn)。如圖，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)。由圖-1可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是。變式1、若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；變式2、若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；變式3、若集合中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。鞏固練習(xí)1已知集合，若含有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。提示：集合表示的圖形是：半圓，包括端點(diǎn)；集合表示的圖形是：過定點(diǎn)的直線系，且斜率為。含有兩個(gè)元素，表示直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)。如圖-2，直線的斜率為 ；由圖-2可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為。圖-2（練習(xí)1）圖-3（練習(xí)2）2、曲線與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。提示：由得：，它的圖形是半圓，包括端點(diǎn)（如圖-3）；直線恒過定點(diǎn)，且斜率為。由圓心到切線的距離為1，可求得切線的斜率為，又直線的斜率為1，圖-4（例2）由圖-3可知：當(dāng)直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為。二 函數(shù)值域問題例2、 求函數(shù)的值域。分析：的形式類似于斜率公式，則表示過兩點(diǎn)的直線斜率。由于點(diǎn)在單位圓上（如圖-4）。由圓心到兩切線的距離為1，可求得切線的斜率分別為和0，所以，函數(shù)的值域?yàn)?。鞏固練?xí)3、若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為 。提示：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上移動(dòng)，求直線的斜率的取值范圍。由圖-5可知，直線的斜率的取值范圍為。圖-5（練習(xí)3）圖-6（例3）三 不等式問題例3、 不等式的解集為 。分析：令，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的上半圓，包括端點(diǎn)；令 ，它表示斜率為2，且軸上的截距為在的直線。由圖-6可知：不等式的解集為 。鞏固練習(xí)4、已知實(shí)數(shù)滿足，欲使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。圖-7（練習(xí)4）提示：恒成立，即恒成立，則小于或等于的最小值。于是問題轉(zhuǎn)化為：在圓上找一點(diǎn)，使有最小值。如圖-7，當(dāng)直線平行于且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，此切線與軸交于點(diǎn)，此時(shí)取最小值。所以，即 。 故的取值范圍為。歸納總結(jié) “數(shù)形結(jié)合”思想是一種重要的解題思想，以上問題是借助于“圓”的幾何直觀性，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而得到既快又準(zhǔn)的解答?？傊?，要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧，教師講題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況，多角度的觀察和理解問題，揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系，利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，從而來解決問題。教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，通過多渠道來溝通知識(shí)間的聯(lián)系