北師大版選修45 一般形式的柯西不等式 學(xué)案.doc

二一般形式的柯西不等式1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式(重點)2會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題(重點、難點)基礎(chǔ)初探教材整理1三維形式的柯西不等式閱讀教材p37p38“探究”以上部分，完成下列問題設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3r，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b30或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2,3)時，等號成立我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式已知x，y，zr且xyz1，則x2y2z2的最小值是()a1b.c.d2【解析】根據(jù)柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2.【答案】b教材整理2一般形式的柯西不等式閱讀教材p38p40，完成下列問題設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()a1 b2c3d.4【解析】(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當(dāng)且僅當(dāng)1時取等號，a1x1a2x2anxn的最大值是1.【答案】a質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式求最值已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值【精彩點撥】由于2，可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起 ，利用柯西不等式求解【自主解答】a，b，c(0，)，(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2，a2b3c18，當(dāng)且僅當(dāng)abc3時等號成立，綜上，當(dāng)abc3時，a2b3c取得最小值18.利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時，要注意等號成立的條件再練一題1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1，x2y2z2，(*)當(dāng)且僅當(dāng)x時，等號成立，x，y，z時，(*)取等號因此，x2y2z2的最小值為.運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值【自主解答】x0，y0，z0.且xyzxyz.1.又，當(dāng)且僅當(dāng)xyz，即xyz時等號成立的最大值為.故恒成立時，應(yīng)有.因此的取值范圍是.應(yīng)用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理再練一題2已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：32750052】【解】由abcd3，得bcd3a，由a22b23c26d25，得2b23c26d25a2，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由條件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以實數(shù)a的取值范圍是1,2探究共研型利用柯西不等式證明不等式探究在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1,2,3，n)，可以嗎？【提示】不可以若bi0而ai0，則k不存在已知a，b，cr，求證：9.【精彩點撥】對應(yīng)三維形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得證【自主解答】a，b，cr，由柯西不等式，知(111)29，9.1當(dāng)ai，bi是正數(shù)時，柯西不等式變形為(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù)，創(chuàng)造使用柯西不等式的條件在運用柯西不等式時，要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組再練一題3已知函數(shù)f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cr，且m，求證：a2b3c9.【解】(1)因為f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1.又a，b，cr，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.構(gòu)建體系一般形式的柯西不等式1設(shè)a(2,1,2)，|b|6，則ab的最小值為()a18b6c18d.12【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，當(dāng)a，b反向時，ab最小，最小值為18.【答案】c2若aaa1，bbb4，則a1b1a2b2anbn的取值范圍是()a(，2) b2,2c(，2d.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2，n)時，右邊等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2，n)時，左邊等號成立，故選b.【答案】b3(2014陜西高考)設(shè)a，b，m，nr，且a2b25，manb5，則 的最小值為_【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.【答案】4設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：32750053】【解析】由a，b，c為正數(shù)，(abc)()2()2()22121，當(dāng)且僅當(dāng)k(k0)時等號成立故(abc)的最小值是121.【答案】1215已知實數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)x2yz，即x，y，z時等號成立故x24y2z2的最小值為.我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評（十）(建議用時：45分鐘) 業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)a，b，cr，且abc1，則的最大值是()a1b.c3d.9【解析】由柯西不等式得()2()2()2(121212)()2，()2313，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立的最大值為.故選b.【答案】b2設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且abc9，則的最小值為() 【導(dǎo)學(xué)號：32750054】a4 b3c6d.2【解析】(abc)()2()2()2218.2.【答案】d3設(shè)a1，a2，an為實數(shù)，p，q，則p與q的大小關(guān)系為()apq bpqcpqd.不確定【解析】由柯西不等式知a1a2an，a1a2an，即得，pq.【答案】b4若實數(shù)xyz1，則f2x2y23z2的最小值為()a1b6 c11d.【解析】(2x2y23z2)xy1z(xyz)21，2x2y23z2，即f，當(dāng)且僅當(dāng)2xy3z時，取等號【答案】d5已知x，y，z均大于0，且xyz1，則的最小值為()a24b30c36d48【解析】(xyz)236，36.【答案】c二、填空題6已知a，b，cr，且2a2bc8，則(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是_【解析】由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.【答案】7已知a，b，cr，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b1，c時取等號【答案】128設(shè)x，y，zr，若(x1)2(y2)2z24，則3xy2z的取值范圍是_又3xy2z取最小值時，x的值為_【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，23xy2z52，即523xy2z52.若3xy2z52，又t，3(3t1)(t2)2(2t)52，t，x1.【答案】52，521三、解答題9已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1.(1)求證：；(2)求4x4y4z2的最小值【解】(1)證明：(y2zz2xx2y)1，即31，.(2)由基本不等式，得4x4y4z23，因為xyz1，所以xyz21zz22，故4x4y4z233，當(dāng)且僅當(dāng)xy，z時等號成立，所以4x4y4z2的最小值為3.10已知f(x)ax2bxc的所有系數(shù)均為正數(shù)，且abc1，求證：對于任何正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1x21時，必有f(x1)f(x2)1.【證明】由于f(x)ax2bxc，且a，b，c大于0，f(x1)f(x2)(axbx1c)(axbx2c)(x1x2c)2(ax1x2bc)2f()2f(1)2.又f(1)abc，且abc1，f(x1)f(x2)1.能力提升1若2ab0，則a的最小值為()a1 b3c8d.12【解析】2ab0，2ab0，a33.當(dāng)且僅當(dāng)2abb，即ab2時等號成立，當(dāng)ab2時，a有最小值3.【答案】b2設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則()a. b.c. d.【解析】由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此有.【答案】c3已知a，b，cr，且abc6，則的最大值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：32750055】