構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.doc

構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文摘要： 現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要求大力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要使學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維。其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無(wú)一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)證明中的構(gòu)造法一般可分為兩類，一類為直接性構(gòu)造法，一類為間接性構(gòu)造法。關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；構(gòu)造；幾何變換現(xiàn)代數(shù)學(xué)素質(zhì)教育要求大力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要使學(xué)生掌握滲透于數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，使他們能用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題。解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問(wèn)題用常規(guī)的思維方式來(lái)尋求解題途徑卻比較困難，甚至無(wú)從著手。在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考從而找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。本文將對(duì)構(gòu)造法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單探討,通過(guò)示例，不斷加深對(duì)構(gòu)造法的理解。1 構(gòu)造法的應(yīng)用用構(gòu)造法解題時(shí)，被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對(duì)應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實(shí)現(xiàn)是非常靈活的，沒(méi)有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問(wèn)題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。下面按構(gòu)造對(duì)象的不同將構(gòu)造方法分成五類分別予以舉例說(shuō)明。1.1 構(gòu)造輔助數(shù)與式在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用矛盾的對(duì)立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)或式，來(lái)架設(shè)解題的通道。例1 當(dāng)時(shí)，求的值. 解：由條件得 所以 構(gòu)造的因式 y= =1例2 正數(shù)滿足，求證：分析：條件式中次數(shù)是3次，而結(jié)論式中是1次，所以需要降冪。又結(jié)論式是不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。于是考慮構(gòu)造均值不等式。 解：由均值不等式得： （1） （2） 由（1）+（2）變形整理得：1.2 構(gòu)造函數(shù)在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問(wèn)題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過(guò)程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。例3 證明：如果，那么證明：構(gòu)造函數(shù) 易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增 + =lg1 = 0 即： 又是增函數(shù) 即例4 求函數(shù)的最大值分析：由根號(hào)下的式子看出且 故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造 所以 當(dāng)即時(shí)，1.3 構(gòu)造方程方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法。構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點(diǎn)，運(yùn)用方程觀點(diǎn)解題可歸結(jié)為3個(gè)步驟：A . 將所面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題；B. 解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判別式與韋達(dá)定理），得出相應(yīng)結(jié)論；C. 將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問(wèn)題的結(jié)論。例5 設(shè)且, , 求的范圍解：由得 (1) 將(1)的兩邊平方并將代入得 (2) 由(1)(2)可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根 于是 解得: 即: 對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，就需根據(jù)條件進(jìn)行框架的設(shè)計(jì)。為了運(yùn)用判別式證明不等式，就需構(gòu)思一個(gè)“一元二次方程” 框架。例6 已知，求證：分析：設(shè)法構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使以其系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)的面目出現(xiàn)，再由得到不等式. 設(shè)， 易證，再求得則就是方程的兩個(gè)實(shí)根,由2.4 構(gòu)造數(shù)列在處理與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題目所提供的特征，通過(guò)替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個(gè)與欲解（證）問(wèn)題有關(guān)的數(shù)列（數(shù)組），并對(duì)該數(shù)列（數(shù)組）的特征進(jìn)行分析，?？色@得解題的途徑。如果從分析問(wèn)題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問(wèn)題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)解。例7 已知數(shù)列, , 求.分析：我們希望化為 即 -2A+B=1 解：由已知 設(shè)則 即是公比為2的等比數(shù)列且 則 對(duì)于某些關(guān)于自然數(shù)的不等式問(wèn)題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時(shí)也可構(gòu)造有關(guān)的數(shù)列模型，利用其單調(diào)性解決例8 求證：(其中nN+)分析：構(gòu)造數(shù)列模型=，則有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列又因，故 (其中n N+)，即原不等式得證評(píng)注 欲證含有與自然數(shù)n有關(guān)的和的不等式f(n)g(n)，可以構(gòu)造數(shù)列模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且另外，本題也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但用構(gòu)造數(shù)列模型證明簡(jiǎn)潔2.5 構(gòu)造幾何圖形（體）如果問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過(guò)構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實(shí)現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問(wèn)題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡(jiǎn)單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過(guò)建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。例9 求函數(shù)的值域解析：其幾何意義是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（，0）到兩定點(diǎn)M（2，3）和 N（5，-1）的距離之和（如圖1）為求其值域只要求其最值即可， 易知當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線（即P在線段MN上）時(shí)， 取得最小值， ，無(wú)最大值，故得函數(shù)的值域?yàn)?例10 求函數(shù)的最值分析：從幾何意義上考慮把原解析式看作是動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)Q(3，0)連線的斜率，為此構(gòu)造一個(gè)單位圓。探究單位圓上動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)Q(3，0)直線的斜率問(wèn)題。如圖2，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)處于極端狀態(tài)，即為切點(diǎn)時(shí)直線斜率分別為最大最小，設(shè)切點(diǎn)分別為R、M，易知： 即：最小值為，最大值為.綜上可知，構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點(diǎn)，“構(gòu)造”不是“胡思亂想”，不是憑空“臆造”，而是要以所掌握的知識(shí)為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以觀察為先導(dǎo)，以分析為武器，通過(guò)仔細(xì)地觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。最后還應(yīng)指出，構(gòu)造法并非是上述題型的唯一解法，并且構(gòu)造法也不只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種構(gòu)造法，也可以用其它方法來(lái)解，應(yīng)注意在學(xué)習(xí)研究的過(guò)程中注意對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性的構(gòu)造解決問(wèn)題的有力條件，巧妙地解決問(wèn)題，從而獲得學(xué)習(xí)的愉悅感和成功的體驗(yàn)。參考文獻(xiàn)：1.李明振 .數(shù)學(xué)方法與解題研究（第二版）M.上海：