三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)座 一筆畫(huà)(二).doc

三年級(jí)一筆畫(huà)(二)利用一筆畫(huà)原理，我們可以解決許多有趣的實(shí)際問(wèn)題。例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門(mén)？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。如果能，應(yīng)從哪開(kāi)始走？分析與解：我們將每個(gè)展室看成一個(gè)點(diǎn)，室外看成點(diǎn)E，將每扇門(mén)看成一條線段，兩個(gè)展室間有門(mén)相通表示兩個(gè)點(diǎn)間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復(fù)地穿過(guò)每扇門(mén)的問(wèn)題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫(huà)問(wèn)題。下圖中只有A，D兩個(gè)奇點(diǎn)，是一筆畫(huà)，所以答案是肯定的，應(yīng)該從A或D展室開(kāi)始走。例1的關(guān)鍵是如何把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題變?yōu)榕袛嗍欠褚还P畫(huà)問(wèn)題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)做的那樣。例2 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析與解：圖中共有8個(gè)奇點(diǎn)，必須在8個(gè)奇點(diǎn)間添加4條線，才能消除所有奇點(diǎn)，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫(huà)。在距離最近的兩個(gè)奇點(diǎn)間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。例3下圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米。小明沿線段從A點(diǎn)到B點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？分析與解：這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫(huà)的方法，實(shí)際上可以用一筆畫(huà)原理求解。首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4條線段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A，B都是偶點(diǎn)，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點(diǎn)。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下圖。或例2與例3的圖中各有8個(gè)奇點(diǎn)，都是通過(guò)減少奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，將多筆畫(huà)變成一筆畫(huà)的問(wèn)題，但它們采用的方法卻完全不同。因?yàn)槔?中只要求走遍所有的線段，沒(méi)有要求不能重復(fù)，所以通過(guò)添加線段的方法(實(shí)際是重復(fù)走添加線段的這段路)，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫(huà)變成一筆畫(huà)。而在例3中，要求不能走重復(fù)的路，所以不能添加線段，只能通過(guò)減少線段的方法，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫(huà)變成一筆畫(huà)。區(qū)別就在于能否重復(fù)走！能“重復(fù)”就“添線”，不能“重復(fù)”就“減線”。例4在六面體的頂點(diǎn)B和E處各有一只螞蟻(見(jiàn)下圖)，它們比賽看誰(shuí)能爬過(guò)所有的棱線，最終到達(dá)終點(diǎn)D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？分析與解：許多同學(xué)看不出這是一筆畫(huà)問(wèn)題，但利用一筆畫(huà)的知識(shí)，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過(guò)所有的棱，沒(méi)要求不能重復(fù)?？墒莾芍晃浵伵浪傧嗤?，如果一只不重復(fù)地爬遍所有的棱，而另一只必須重復(fù)爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達(dá)D點(diǎn)，因而獲勝。問(wèn)題變?yōu)閺腂到D與