第二十八章銳角三角函數(shù) 教案全章.doc

【銳角三角函數(shù)全章教案】銳角三角函數(shù)（第一課時）教學三維目標：一.知識目標：初步了解正弦、余弦、正切概念；能較正確地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；熟記功30、45、60角的三角函數(shù)，并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù)。二.能力目標：逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析，概括的思維能力。三.情感目標：提高學生對幾何圖形美的認識。教材分析：1教學重點: 正弦，余弦，正切概念2教學難點:用含有幾個字母的符號組siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切教學程序：一探究活動1課本引入問題，再結(jié)合特殊角30、45、60的直角三角形探究直角三角形的邊角關系。2歸納三角函數(shù)定義。 siaA=,cosA=,tanA=3例1.求如圖所示的RtABC中的siaA,cosA,tanA的值。 4.學生練習P21練習1，2，3二探究活動二1.讓學生畫304560的直角三角形,分別求sia 30cos45 tan60歸納結(jié)果304560siaAcosAtanA2. 求下列各式的值（1）sia 30+cos30（2）sia 45-cos30(3)+ta60-tan30ABC三拓展提高P82例4.（略）1. 如圖在ABC中,A=30,tanB=,AC=2,求AB四小結(jié)五作業(yè)課本p8586 2,3,6,7,8,10解直角三角形應用（一）一教學三維目標(一)知識目標使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形(二)能力訓練點通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力(三)情感目標滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣二、教學重點、難點和疑點1重點：直角三角形的解法2難點：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用3疑點：學生可能不理解在已知的兩個元素中，為什么至少有一個是邊三、教學過程(一)知識回顧1在三角形中共有幾個元素？2直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B這五個元素間有哪些等量關系呢？(1)邊角之間關系 sinA= cosA= tanA=(2)三邊之間關系a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)銳角之間關系A+B=90以上三點正是解直角三角形的依據(jù)，通過復習，使學生便于應用（二）探究活動1我們已掌握RtABC的邊角關系、三邊關系、角角關系，利用這些關系，在知道其中的兩個元素(至少有一個是邊)后，就可求出其余的元素這樣的導語既可以使學生大概了解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢？激發(fā)了學生的學習熱情2教師在學生思考后，繼續(xù)引導“為什么兩個已知元素中至少有一條邊？”讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師請學生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的兩個已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形)3例題評析例 1在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b= a=，解這個三角形例2在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b= 20 =35，解這個三角形（精確到0.1）解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有示范作用因此，此題在處理時，首先，應讓學生獨立完成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演完成之后引導學生小結(jié)“已知一邊一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后選取恰當?shù)暮瘮?shù)關系式求另兩邊計算時，利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡便的話，最好用題中原始數(shù)據(jù)計算，這樣誤差小些，也比較可靠，防止第一步錯導致一錯到底例 3在RtABC中，a=104.0，b=20.49，解這個三角形(三) 鞏固練習在ABC中，C為直角，AC=6，的平分線AD=4，解此直角三角形。 解直角三角形是解實際應用題的基礎，因此必須使學生熟練掌握為此，教材配備了練習針對各種條件，使學生熟練解直角三角形，并培養(yǎng)學生運算能力 (四)總結(jié)與擴展請學生小結(jié)：1在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至少有一個是邊)，就可以求出另三個元素 2解決問題要結(jié)合圖形。四、布置作業(yè)p96 第1，2題解直三角形應用（二）一教學三維目標(一)、知識目標使學生了解仰角、俯角的概念，使學生根據(jù)直角三角形的知識解決實際問題(二)、能力目標逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力二、教學重點、難點和疑點1重點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題2難點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題三、教學過程（一）回憶知識1解直角三角形指什么？2解直角三角形主要依據(jù)什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2(2)銳角之間的關系：A+B=90(3)邊角之間的關系：tanA=（二）新授概念1仰角、俯角當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角教學時，可以讓學生仰視燈或俯視桌面以體會仰角與俯角的意義2例1如圖(6-16)，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角=1631，求飛機A到控制點B距離(精確到1米)解：在RtABC中sinB= AB=4221(米)答：飛機A到控制點B的距離約為4221米例2.2003年10月15日“神州”5號載人航天飛船發(fā)射成功。當飛船完成變軌后，就在離地形表面350km的圓形軌道上運行。如圖，當飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上能直接看到地球上最遠的點在什么位置？這樣的最遠點與P點的距離是多少？（地球半徑約為6400km，結(jié)果精確到0.1km）分析：從飛船上能看到的地球上最遠的點，應是視線與地球相切時的切點。將問題放到直角三角形FOQ中解決。FOPQ解決此問題的關鍵是在于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用解直角三角形知識來解決，在此之前，學生曾經(jīng)接觸到通過把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后，用數(shù)學方法來解決問題的方法，但不太熟練因此，解決此題的關鍵是轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化過程中著重請學生畫幾何圖形，并說出題目中每句話對應圖中哪個角或邊(包括已知什么和求什么)，會利用平行線的內(nèi)錯角相等的性質(zhì)由已知的俯角得出RtABC中的ABC，進而利用解直角三角形的知識就可以解此題了例1小結(jié)：本章引言中的例子和例1正好屬于應用同一關系式sinA=來解決的兩個實際問題即已知和斜邊，求的對邊；以及已知和對邊，求斜邊（三）鞏固練習1熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）2如圖6-17，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測得其俯角=8014已知觀察所A的標高(當水位為0m時的高度)為43.74m，當時水位為+2.63m，求觀察所A到船只B的水平距離BC(精確到1m)教師在學生充分地思考后，應引導學生分析：（1）誰能將實物圖形抽象為幾何圖形？請一名同學上黑板畫出來（2）請學生結(jié)合圖形獨立完成。3 如圖6-19，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD此題在例1的基礎上，又加深了一步，須由A作一條平行于CD的直線交BD于E，構(gòu)造出RtABE，然后進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD設置此題，既使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的練習：為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角ACD=52，已知人的高度為1.72米，求樹高(精確到0.01米)要求學生根據(jù)題意能畫圖，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用解直角三角形的知識來解決它(四)總結(jié)與擴展請學生總結(jié)：本節(jié)課通過兩個例題的講解，要求同學們會將某些實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題去解決；今后，我們要善于用數(shù)學知識解決實際問題四、布置作業(yè)1課本p96 第 3，.4，.6題 解直三角形應用（三）（一）教學三維目標(一)知識目標使學生會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決(二)能力目標逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力(三)情感目標滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識二、教學重點、難點1重點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關系，從而利用所學知識把實際問題解決2難點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關系，從而利用所學知識把實際問題解決三、教學過程1導入新課上節(jié)課我們解決的實際問題是應用正弦及余弦解直角三角形，在實際問題中有時還經(jīng)常應用正切和余切來解直角三角形，從而使問題得到解決2例題分析例1如圖6-21，廠房屋頂人字架(等腰三角形)的跨度為10米，A-26，求中柱BC(C為底邊中點)和上弦AB的長(精確到0.01米)分析：上圖是本題的示意圖，同學們對照圖形，根據(jù)題意思考題目中的每句話對應圖中的哪個角或邊，本題已知什么，求什么？由題意知，ABC為直角三角形，ACB=90，A=26，AC=5米，可利用解RtABC的方法求出BC和AB學生在把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后，大部分學生可自行完成例題小結(jié)：求出中柱BC的長為2.44米后，我們也可以利用正弦計算上弦AB的長。如果在引導學生討論后小結(jié)，效果會更好，不僅使學生掌握選何關系式，更重要的是知道為什么選這個關系式，以培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及計算能力，形成良好的學習習慣另外，本題是把解等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想例2如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南東34方向上的B處。這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(精確到0.01海里)？PAB6534引導學生根據(jù)示意圖，說明本題已知什么，求什么，利用哪個三角形來求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一種解較為簡便？3鞏固練習為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，求樹高(精確到0.01米)首先請學生結(jié)合題意畫幾何圖形，并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題RtACD中，D=Rt，ACD=52，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？(三)總結(jié)與擴展請學生總結(jié)：通過學習兩個例題，初步學會把一些實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過解直角三角形來解決，具體說，本節(jié)課通過讓學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用正切或余切解直角三角形，從而把問題解決本課涉及到一種重要教學思想：轉(zhuǎn)化思想四、布置作業(yè)1某一時刻，太陽光線與地平面的夾角為78，此時測得煙囪的影長為5米，求煙囪的高(精確到0.1米)2如圖6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D測得塔頂A和塔基B的仰面分別為50和45，求塔高3在寬為30米的街道東西兩旁各有一樓房，從東樓底望西樓頂仰角為45，從西樓頂望東樓頂，俯角為10，求西樓高(精確到0.1米) 解直三角形應用（四）一教學三維目標(一)知識目標致使學生懂得什么是橫斷面圖，能把一些較復雜的圖形轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題(二)能力目標逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力(三)情感目標培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識；滲透轉(zhuǎn)化思想；滲透數(shù)學來源于實踐又作用于實踐的觀點二、教學重點、難點1重點：把等腰梯形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；2難點：如何添作適當?shù)妮o助線三、教學過程1出示已準備的泥燕尾槽，讓學生有感視印象，將其橫向垂直于燕尾槽的平面切割，得橫截面，請學生通過觀察，認識到這是一個等腰梯形，并結(jié)合圖形，向?qū)W生介紹一些專用術(shù)語，使學生知道，圖中燕尾角對應哪一個角，外口、內(nèi)口和深度對應哪一條線段這一介紹，使學生對本節(jié)課內(nèi)容很感興趣，激發(fā)了學生的學習熱情2例題例 燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，圖6-26是一燕尾槽的橫斷面，其中燕尾角B是55，外口寬AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口寬BC(精確到1mm)分析：(1)引導學生將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，B=55，求下底BC(2)讓學生展開討論，因為上節(jié)課通過做等腰三角形的高把其分割為直角三角形，從而利用解直角三角形的知識來求解學生對這一轉(zhuǎn)化有所了解因此，學生經(jīng)互相討論，完全可以解決這一問題例題小結(jié)：遇到有關等腰梯形的問題，應考慮如何添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的組合圖形，從而把求等腰梯形的下底的問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題3鞏固練習如圖6-27，在離地面高度5米處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60角，求拉線AC的長以及拉線下端點A與桿底D的距離AD(精確到0.01米)分析：(1)請學生審題：因為電線桿與地面應是垂直的，那么圖6-27中ACD是直角三角形其中CD=5m，CAD=60，求AD、AC的長(2)學生運用已有知識獨立解決此題教師巡視之后講評(三)小結(jié)請學生作小結(jié)，教師補充本節(jié)課教學內(nèi)容仍是解直角三角形，但問題已是處理一些實際應用題，在這些問題中，有較多的專業(yè)術(shù)語，關鍵是要分清每一術(shù)語是指哪個元素，再看是否放在同一直角三角形中，這時要靈活，必要時還要作輔助線，再把問題放在直角三角形中解決在用三角函數(shù)時，要正確判斷邊角關系四、布置作業(yè)1如圖6-28，在等腰梯形ABCD中，DCAB， DEAB于E， AB=8, DE=4, cosA=, 求CD的長.2教材課本習題P96第6，7，8題解直三角形應用（五）一教學三維目標(一)知識目標明鞏固直角三角形中銳角的三角函數(shù)，學會解關于坡度角和有關角度的問題(二)能力目標逐步培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法(三)德育目標培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識；滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點二、教學重點、難點和疑點1重點：能熟練運用有關三角函數(shù)知識2難點：解決實際問題3疑點：株距指相鄰兩樹間的水平距離，學生往往理解為相鄰兩樹間的距離而造成錯誤三、教學過程1探究活動一教師出示投影片，出示例題例1 如圖6-29，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測得斜坡的傾斜角是24，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)分析：1例題中出現(xiàn)許多術(shù)語株距，傾斜角，這些概念學生未接觸過，比較生疏，而株距概念又是學生易記錯之處，因此教師最好準備教具：用木板釘成一斜坡，再在斜坡上釘幾個鐵釘，利用這種直觀教具更容易說明術(shù)語，符合學生的思維特點2引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題畫出圖形(上圖6-29(2)已知：RtABC中，C=90，AC=5.5，A=24，求AB3學生運用解直角三角形知識完全可以獨立解決例1教師可請一名同學上黑板做，其余同學在練習本上做，教師巡視 答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米教師引導學生評價黑板上的解題過程，做到全體學生都掌握2探究活動二例2 如圖6-30，沿AC方向開山修渠，為了加快施工速度，要從小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取ABD=140，BD=52cm，D=50，那么開挖點E離D多遠(精確到0.1m)，正好能使A、C、E成一條直線？這是實際施工中經(jīng)常遇到的問題應首先引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題由題目的已知條件，D=50，ABD=140，BD=520米，求DE為多少時，A、C、E在一條直線上。學生觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，E=90，這樣此題就轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題了，全班學生應該能獨立準確地完成解：要使A、C、E在同一直線上，則ABD是BDE的一個外角BED=ABD-D=90DE=BDcosD=5200.6428=334.256334.3(m)答：開挖點E離D334.3米，正好能使A、C、E成一直線，提到角度問題，初一教材曾提到過方向角，但應用較少因此本節(jié)課很有必要補充一道涉及方向角的實際應用問題，出示投影片練習P95 練習1，2。補充題：正午10點整，一漁輪在小島O的北偏東30方向，距離等于10海里的A處，正以每小時10海里的速度向南偏東60方向航行那么漁輪到達小島O的正東方向是什么時間？(精確到1分)學生雖然在初一接觸過方向角，但應用很少，所以學生在解決這個問題時，可能出現(xiàn)不會畫圖，無法將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的情況因此教師在學生獨自嘗試之后應加以引導：(1)確定小島O點；(2)畫出10時船的位置A；(3)小船在A點向南偏東60航行，到達O的正東方向位置在哪？設為B；(4)結(jié)合圖形引導學生加以分析，可以解決這一問題此題的解答過程非常簡單，對于程度較好的班級可以口答，以節(jié)省時間補充一道有關方向角的應用問題，達到熟練程度對于程度一般的班級可以不必再補充，只需理解前三例即可補充題：如圖6-32，海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，魚船跟蹤魚群由西向東航行，在點B處測得海島A位于北偏東60，航行12海里到達點C處，又測得海島A位于北偏東30，如果魚船不改變航向繼續(xù)向東航行有沒有觸礁的危險？如果時間允許，教師可組織學生探討此題，以加深對方向角的運用同時，學生對這種問題也非常感興趣，教師可通過此題創(chuàng)設良好的課堂氣氛，激發(fā)學生的學習興趣若時間不夠，此題可作為思考題請學生課后思考(三)小結(jié)與擴展教師請學生總結(jié)：在這類實際應用題中，都是直接或間接地把問題放在直角三角形中，雖然有一些專業(yè)術(shù)語，但要明確各術(shù)語指的什么元素，要善于發(fā)現(xiàn)直角三角形，用三角函數(shù)等知識解決問題利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學問題的答案；（4）得到實際問題的答案。四、布置作業(yè)課本習題P97 9，10解直三角形應用一、(一)知識教學點鞏固用三角函數(shù)有關知識解決問題，學會解決坡度問題(二)能力目標逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法(三)德育目標培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，滲透理論聯(lián)系實際的觀點二、教學重點、難點和疑點1重點：解決有關坡度的實際問題2難點：理解坡度的有關術(shù)語3疑點：對于坡度i表示成1m的形式學生易疏忽，教學中應著重強調(diào)，引起學生的重視三、教學過程1創(chuàng)設情境，導入新課例 同學們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖6-33水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)同學們因為你稱他們?yōu)楣こ處煻湴?，滿腔熱情，但一見問題又手足失措，因為連題中的術(shù)語坡度、坡角等他們都不清楚這時，教師應根據(jù)學生想學的心情，及時點撥通過前面例題的教學，學生已基本了解解實際應用題的方法，會將實際問題抽象為幾何問題加以解決但此題中提到的坡度與坡角的概念對學生來說比較生疏，同時這兩個概念在實際生產(chǎn)、生活中又有十分重要的應用，因此本節(jié)課關鍵是使學生理解坡度與坡角的意義介紹概念坡度與坡角結(jié)合圖6-34，教師講述坡度概念，并板書：坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即， 把坡面與水平面的夾角叫做坡角引導學生結(jié)合圖形思考，坡度i與坡角之間具有什么關系？ 答：itan這一關系在實際問題中經(jīng)常用到，教師不妨設置練習，加以鞏固練習(1)一段坡面的坡角為60，則坡度i=_；_，坡角_度為了加深對坡度與坡角的理解，培養(yǎng)學生空間想象力，教師還可以提問：(1)坡面鉛直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平寬度有什么關系？舉例說明(2)坡面水平寬度一定，鉛直高度與坡度有何關系，舉例說明答：(1)如圖，鉛直高度AB一定，水平寬度BC增加，將變小，坡度減小，因為 tan，AB不變，tan隨BC增大而減小(2)與(1)相反，水平寬度BC不變，將隨鉛直高度增大而增大，tan 也隨之增大，因為tan=不變時，tan隨AB的增大而增大2講授新課引導學生分析例題，圖中ABCD是梯形，若BEAD，CFAD，梯形就被分割成RtABE，矩形BEFC和RtCF