2019-2020學(xué)年濟南市章丘區(qū)章丘市第四中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年山東省濟南市章丘區(qū)章丘市第四中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1命題“”的否定是（ ）ABC不存在D【答案】B【解析】先將命題“”的任意與存在互換，再將結(jié)論否定即可解.【詳解】的否定為，的否定為，命題“”的否定是.故選：B.【點睛】考查全稱命題的否定，對全稱命題的否定除了要對結(jié)論進行否定外，還要對全稱量詞作相應(yīng)變化.2在等差數(shù)列中,，則（ ）A5B8C10D14【答案】B【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，所以，所以，故選B.【考點】等差數(shù)列通項公式.3橢圓的一個焦點是，那么（ ）AB-1C1D【答案】C【解析】先將橢圓方程，化為橢圓標準方程，再根據(jù)即可解出k值.【詳解】由，得，則有.故選：C.【點睛】考查橢圓的標準方程以及焦點公式.橢圓標準方程 焦點，,則有.題目較為簡單.4已知，則的最大值是（ ）A5B4C3D2【答案】D【解析】利用均值不等式即可解,注意何時取等號.【詳解】由題意得：，解得.當，即時不等式取等號. 的最大值為2.故選：D.【點睛】考查均值不等式的應(yīng)用. ,當時區(qū)取等號.運用均值不等式要注意均為正數(shù).5設(shè)數(shù)列滿足且，則數(shù)列前10項和為（ ）ABCD【答案】D【解析】由可求出數(shù)列的通項公式，則可得數(shù)列的通項公式，再用裂項相消求得數(shù)列數(shù)列的前n項和的公式，則數(shù)列前10項和可解.【詳解】數(shù)列滿足，且，當時，當時，也成立.則， 數(shù)列前10項和.故選：D.【點睛】考查數(shù)列的通項公式以及利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.其中將拆為為解題關(guān)鍵.6雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為ABCD【答案】A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.7關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】先將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)可解.【詳解】由不等式在區(qū)間上有解，得在區(qū)間有解.令， 則有，a的取值范圍為.故選：B.【點睛】考查利用雙勾函數(shù)求參數(shù)的范圍，其中將不等式轉(zhuǎn)化為為解題關(guān)鍵.8設(shè)斜率為的直線過拋物線的焦點，與交于兩點，且，則（ ）AB1C2D4【答案】C【解析】先由題意，得直線方程為：，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長，列出等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為斜率為的直線過拋物線的焦點，所以直線方程為，設(shè)，由得，整理得：，所以，因此，又，所以，解得.故選C【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，根據(jù)弦長求參數(shù)的問題，熟記拋物線方程以及拋物線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.9在等比數(shù)列中，則的值為（ ）A3B6C9D27【答案】A【解析】由可求得的值，再將化為的形式，又由等比數(shù)列的性質(zhì)， ，則的值可求.【詳解】又，式 ，得，.，.故選：A.【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)，若，則.10已知 是橢圓與雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且| PF2 | PF1 |，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（ ）A4B6CD8【答案】D【解析】由題意可得，再設(shè)橢圓和雙曲線得方程，再利用橢圓和雙曲線的定義和離心率可得的表達式，化簡后再用均值不等式即可求解.【詳解】由題意得：，設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，又.，則 ，當且僅當，即時等號成立.則的最小值為8.故答案為：8.【點睛】考查橢圓和雙曲的定義,焦半徑公式以及離心率，其中將化為為解題關(guān)鍵，注意取等號.二、多選題11下列敘述中不正確的是（ ）A“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件B若，則“”的充要條件是“”C“”是“”的充分不必要條件D若,則“”的充要條件是“”【答案】AB【解析】對A，B，C，D四個選項條件和結(jié)論進行推導(dǎo)，判斷是否正確.【詳解】A.令，方程有一個正根和一個負根，則，則有，“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，錯誤. B.當時，若“”成立，而，充分性不成立,錯誤. C.,“”是“”的充分不必要條件，正確D.可以推出，而也可以推出，正確. 故選：AB.【點睛】考查命題的充要條件，充分不必要條件，必要不充分條件.運用了二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的性質(zhì).12已知分別是雙曲線的左右焦點，點是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）A雙曲線的漸近線方程為B以為直徑的圓的方程為C到雙曲線的一條漸近線的距離為1D的面積為1【答案】ACD【解析】求出雙曲線C漸近線方程，焦點，的面積即可判斷.【詳解】A.代入雙曲線漸近線方程得,正確.B.由題意得，則以為直徑的圓的方程不是，錯誤.C.，漸近線方程為，距離為1，正確.D. 由題意得,設(shè)，根據(jù)，解得，則的面積為1.正確.故選：ACD.【點睛】考查雙曲線的漸近線方程，焦點，以及雙曲線上的幾何性質(zhì).題目涉及知識點較為廣泛.13設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABC的最大值為D的最大值為【答案】AD【解析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】, 與題設(shè)矛盾.符合題意.與題設(shè)矛盾. 與題設(shè)矛盾. 得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念. 補充：等比數(shù)列的通項公式：.三、填空題14函數(shù)，若不等式的解集為，那么_.【答案】【解析】先討論當時，不等式的解集，再討論當時，分類討論當，時，不等式的解集，再討論當時，不等式的解集.再綜合得出a和b的值即可解.【詳解】當時，不符合題意;當時，則由，得，,分類討論如下： （i）當時，不等式的解集為：，不合題意.（ii）當時，不等式的解集為：，不合題意.（iii）當時，不等式的解集為：，不合題意.當時，由得，已知解集為時，不等式為， 又，即.綜上：.故答案為：.【點睛】考查已知解集求含參不等式的參數(shù)值.運用了分類討論的思想求解.其中將化為形式為解題的突破口，題目較難.15已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列前15項和為的值為_【答案】.【解析】分析：,利用裂項相消法即可得結(jié)果詳解：因為數(shù)列的通項公式為，所以，故答案為.點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.16設(shè)分別是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若線段的中點在軸上，則=_.【答案】【解析】先設(shè)P點，中點，再求焦點,再根據(jù)線段的中點在軸上，求出P點坐標，再利用焦半徑公式即可得的長,則可解.【詳解】設(shè)，中點. 由題意得，由線段的中點在軸上，則有，代入中得P點坐標為或根據(jù)焦半徑公式可得，.故答案為：.【點睛】考查橢圓的焦半徑公式, 解題關(guān)鍵要求出P點坐標.17兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖2中的實心點個數(shù)1，5，12，22，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列，則；對，【答案】【解析】試題分析：因為，所以以上n個式子相加，得?！究键c】數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列通項公式的求法。點評：做這類題目最重要的就是尋找規(guī)律。此題通過尋找前一項與后一項差的規(guī)律，進而求出數(shù)列的通項公式。四、解答題18已知集合，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1), 則 (2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且 由，得，解得 經(jīng)檢驗，當時，成立，故實數(shù)的取值范圍是 點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19設(shè)橢圓的短軸長為4，離心率為.（1）直線 與橢圓有公共點時，求實數(shù)m 的取值范圍；（2）設(shè)點是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程.【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由短軸長為4可求出b的值，再由離心率為，可求出橢圓方程，再將直線方程代入橢圓方程中，解即可.（2）先設(shè)，先討論直線l斜率不存在的情況，再討論直線l斜率存在，設(shè)直線方程為，再聯(lián)立橢圓方程，兩式相減可求出直線l得斜率即可解.【詳解】（1）由題意所以,即橢圓方程為, ,即.（2）設(shè)當斜率不存在時,，弦的中點不符合題意，舍去.當斜率存在時，設(shè)直線l方程為.由點是直線被橢圓所截得的線段的中點，則有，.兩式相減得，直線的方程為，所以直線的方程為.【點睛】考查橢圓方程的解析式，利用直線和橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，以及給出定點求相交直線方程的解析式.解題（2）的關(guān)鍵利用中點，得.20設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求它的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由且可推出等于一個常數(shù)，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，再求出的值，即可推出數(shù)列的通項公式. （2）由（1）可知數(shù)列的通項公式，則可求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時, ， ,當時, , 所以數(shù)列是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列. .（2）， ， ，兩式作差得：，化簡 ，所以.【點睛】考查等比數(shù)列的定義，通項公式，和利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.其中利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和為難點，需多加練習(xí).21某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費用萬元，滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件，該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【答案】（1）；（2）廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【解析】（1）由不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，可求k的值，再求出每件產(chǎn)品銷售價格的代數(shù)式，則利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數(shù)可求.（2）由（1）得，再根據(jù)均值不等式可解.注意取等號.【詳解】（1）由題意知,當時,所以, 每件產(chǎn)品的銷售價格為元.所以2020年的利潤；(2)由(1)知,當且僅當,即時取等號, 該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【點睛】考查均值不等式的應(yīng)用以及給定值求函數(shù)的參數(shù)及解析式.題目較易，考查的均值不等式，要注意取等號.22設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，.且構(gòu)成等比數(shù)列.（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）；(3).【解析】（1）令，則由可推出，則可推出.（2）由，可得，聯(lián)立可得，再根據(jù)構(gòu)成等比數(shù)列，可推出可數(shù)列的通項公式.（3）先求出數(shù)列的通項公式，再用列項相消法即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時, ；(2) 當時, ，又各項為正，所以 ，因為構(gòu)成等比數(shù)列,所以 ，,由,所以 ，,所以數(shù)列是為首項，2為公差的等差數(shù)列.；(3) ， ， .【點睛】考查利用等差數(shù)列的通項公式，對數(shù)列前n項和的理解，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.其中將拆為 ，為解題關(guān)鍵.23已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知、（）是橢圓上的兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.求四邊形APBQ的面積的最大值；求證：.【答案】（1）；（2）；證明見解析.【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程，再根據(jù)拋物線的焦點坐標，和橢圓離心率，則可求出橢圓C的方程的解析式.（2）先求出m的值，