2019-2020學年湖湘教育三新探索協作體高二上學期12月聯考數學試題（解析版）

2019-2020學年湖南省湖湘教育三新探索協作體高二上學期12月聯考數學試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】求出集合，然后利用交集和并集的定義判斷各選項中集合運算的正誤.【詳解】解不等式，得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查集合交集和并集的計算，同時也考查了指數不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.2已知函數，若，則（ ）ABCD【答案】B【解析】先計算出，然后得出，即可求出實數的值.【詳解】，則，得，解得.故選：B.【點睛】本題考查分段函數值的計算以及對數方程的求解，解題時要結合自變量的取值選擇合適的解析式計算，考查計算能力，屬于基礎題.3已知曲線在處的切線的傾斜角為，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得出，利用導數運算可求出實數的值.【詳解】，又，故，得故選：B.【點睛】本題考查了導數的幾何意義，涉及了直線的傾斜角與斜率，考查計算能力，屬于基礎題.4一只小蟲在邊長為的正方形內部爬行，到各頂點的距離不小于時為安全區(qū)域，則小蟲在安全區(qū)域內爬行的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全區(qū)域，將安全區(qū)域的面積與正方形的面積相除可得出所求事件的概率.【詳解】如下圖所示，由于小蟲到每個頂點的距離不小于為安全區(qū)域，則安全區(qū)域為以正方形每個頂點為圓心半徑為的扇形弧以及扇形以外的部分，為圖中陰影部分，其面積，故概率.故選：A.【點睛】本題為平面區(qū)域型幾何概率問題，確定事件所圍成的區(qū)域是解題的關鍵，考查數形結合思想與計算能力，屬于中等題.5在等差數列中，為前項和，且，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由等差中項的性質得出，可得出的值，然后利用等差數列的求和公式以及等差中項的性質可計算出的值.【詳解】，因此，.故選：C【點睛】本題考查等差數列求和，充分利用等差中項的性質計算可將問題簡化，考查計算能力，屬于中等題.6已知曲線，若想要由得到，下列說法正確的是（ ）A把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位B把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位C把曲線上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位D把曲線上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位【答案】D【解析】將曲線的解析式化為，然后利用三角函數圖象變換規(guī)律可得出結論.【詳解】曲線化為，將曲線上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得到函數的圖象，再將所得函數圖象上每點向右平移個單位，可得到函數的圖象，即曲線.故選：D.【點睛】本題考查三角函數圖象變換，在變換時要保證兩個函數名稱要一致，結合三角函數圖象變換原則來解決問題，考查推理能力，屬于中等題.7如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂高于水面，水面寬為，當水面寬為時，水位下降了（ ）ABCD【答案】D【解析】以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的對稱軸為軸建立平面直角坐標系，并設拱橋所在拋物線為，根據題意得出點在拋物線上，可求出的值，并設拱頂高于水面，可知點在拋物線上，代入拋物線方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【詳解】建系如圖，設拱橋所在拋物線為，點在拋物線上，得，拋物線方程為，當水面寬為時，設拱頂高于水面，由點在拋物線上，得，故水面下降了.故選：D.【點睛】本題考查拋物線方程的應用，建立平面直角坐標，將問題轉化為拋物線方程來求解是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.8已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意得知為等腰直角三角形，可得出點到漸近線的距離為，再利用點到直線的距離公式得出，從而可求出雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的焦距為，離心率為，由題意，圓為，與漸近線交于、兩點，由知，故圓心到漸近線距離為，即，解得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，分析三角形的幾何性質是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.9已知圓，點在直線上運動，過點向圓作切線，切點分別為、，則四邊形面積的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得出四邊形的面積為，由勾股定理知，當取最小值時，切線長取最小值，利用圓心到直線的距離作為的最小值，并利用勾股定理求出的最小值，從而可得出四邊形的面積的最小值.【詳解】如圖，四邊形的面積為，故當最小時，有最小值，記圓心到直線距離，則，又，故選：C.【點睛】本題考查與圓的切線相關的四邊形面積的計算，涉及切線長的計算，考查數形結合思想與計算能力，屬于中等題.10若兩個正實數、滿足，對這樣的、，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】將代數式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值為，由題意得出，解此不等式即可.【詳解】由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，則的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查基本不等式恒成立問題，考查了基本不等式中“”的妙用，同時也涉及了一元二次不等式的求解，考查運算求解能力，屬于中等題.11已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，是上一點，連接交拋物線于點，若，則的面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】由可計算出點的坐標，再利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】如下圖，設點的坐標為，拋物線的準線方程為，可設點，拋物線的焦點為，且拋物線的準線與軸交于點，即，解得，因此，的面積為.故選：A.【點睛】本題考查拋物線中三角形面積計算，同時也考查了利用向量共線求點的坐標，考查計算能力，屬于中等題.12已知函數，函數是偶函數，且，當時，若函數恰好有個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】作出函數與函數的圖象，可知兩函數在區(qū)間上有且只有一個交點，則兩函數在上有個交點，結合圖象得出，可得出關于實數的不等式組，解出即可.【詳解】如下圖所示，當時，函數與有1個交點，故時與有且僅有個交點，必有且.因此，實數的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數，一般轉化為兩函數的交點個數，結合圖象找出一些關鍵點列不等式組求解，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.二、填空題13已知函數，則_【答案】【解析】對函數求導，然后令，可解出的值.【詳解】由 令有.故答案為：e【點睛】本題考查導數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.14已知數列滿足，為數列的前項和，則_【答案】【解析】記，利用求出，然后利用等比數列的求和公式可求出的值.【詳解】記，則兩式相減得，由也適合上式，有，故.故答案為：.【點睛】本題考查利用作差法求數列通項，同時也考查了等比數列求和，考查計算能力，屬于中等題.15一個幾何體的三視圖如圖，網格中每個正方形的邊長為，若這個幾何體的頂點都在球的表面上，則球的表面積為_【答案】【解析】作出正四棱錐的實物圖，找出球心的位置，并設其外接球的半徑為，根據勾股定理列關于的等式，求出的值，再利用球體的表面積公式可計算出該幾何體外接球的表面積.【詳解】幾何體的直觀圖是正四棱錐（如圖所示），且高和底面邊長為，設該正四棱錐的外接球球心為，則球心在上（為底面正方形的中心，正四棱錐的頂點），在中，由勾股定理得，即，解得，故四棱錐外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查球體表面積的計算，同時也考查了利用三視圖還原幾何體，以及正四棱錐的外接球，找出球心的位置，并利用幾何特征建立等式是解題的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.16光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如圖，橢圓與雙曲線（，）有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經過次反射后，首次回到左焦點所經過的路徑長為_【答案】【解析】根據題意，可知光線從左焦點出發(fā)經過橢圓反射回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過另一個焦點，從而可計算光線經過次反射后首次回到左焦點所經過的路徑長.【詳解】由已知，如圖光線從出發(fā)，若先經過雙曲線上一點反射，則反射光線相當于光線從設出經過點再到達橢圓上一點反射回到；同理，若先出發(fā)經過橢圓上一點反射，則光線沿著直線方向到達雙曲線上一點反射后回到，則可知，光線從出發(fā)，無論經由那條路線，經過兩次反射后必然返回，則討論光線反射兩次后返回的過程如圖，所以光線經過次反射后回到左焦點所經過的路徑長為故答案為：【點睛】本題考查以新定義為素材，考查橢圓、雙曲線的定義，考查光線的反射問題，理解定義是解題的關鍵，考查推理能力，屬于難題.三、解答題17已知命題方程表示雙曲線，命題，（1）寫出命題的否定“”；（2）若命題“”為假命題，“”為假命題，求實數的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）根據全稱命題的否定可得出命題；（2）先求出命題為真命題時實數的取值范圍，并求出命題為真命題時實數的取值范圍，由題意可知命題為假命題，命題為真命題，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，（或寫為：，）；（2）若命題為真命題，由或.若命題為真命題，則，.若，化為成立.若，則有，.“”為假命題，“”為假命題 假真，.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查全稱命題否定的改寫，同時也考查了利用復合命題的真假求參數，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.18的內角、的對邊分別為、，已知（1）求；（2）若等差數列的公差不為0，且，、成等比數列，求數列前項和【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用邊角互化思想結合余弦定理求出的值，再由，可得出角的值；（2）設等差數列的公差為，則，求出，由題意列出關于的方程，求出的值，利用等差數列的通項公式，然后利用裂項求和法可求出數列前項和【詳解】（1）由正弦定理有：，由余弦定理，又 ，；（2）設等差數列的公差為，則，由（1），又，從而.【點睛】本題考查利用余弦定理求角，同時也考查了裂項求和法，涉及正弦定理邊角互化思想的應用以及等差數列中基本量的計算，考查計算能力，屬于中等題.19雙十一購物狂歡節(jié)，源于淘寶商城（天貓）年月日舉辦的網絡促銷活動，目前已成為中國電子商務行業(yè)的年度盛事，某商家為了解“雙十一”這一天網購者在其網店一次性購物情況，從這一天交易成功的所有訂單里隨機抽取了份，按購物金額（單位：元）進行統計，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值做代表計算）（1）求的值；（2）試估計購物金額的平均數；（3）若該商家制訂了兩種不同的促銷方案：方案一：全場商品打八折；方案二：全場商品優(yōu)惠如下表：購物金額范圍商家優(yōu)惠（元）如果你是購物者，你認為哪種方案優(yōu)惠力度更大？【答案】（1）；（2）元；（3）方案一的優(yōu)惠力度更大.【解析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以矩形的面積，相加即可得出購物金額的平均數；（3）計算出兩種方案的優(yōu)惠金額，從而得出方案一的優(yōu)惠力度更大.【詳解】（1）各小組的頻率依次為、.由，有；（2）購物金額的平均數為（元）；（3）選擇方案一：優(yōu)惠力度為元選擇方案二：優(yōu)惠力度為（元）.故方案一的優(yōu)惠力度更大【點睛】本題考查頻率分布直方圖中矩形高的計算，同時也考查了頻率直方圖中平均數的計算以及方案的選擇，考查數據處理的能力，屬于中等題.20在三棱錐中，是正三角形，面面，、分別是、的中點（1）證明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接、，由等腰三角形三線合一的性質得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；（2）利用面面垂直的性質定理證明出平面，以為坐標原點，分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量法計算出二面角的余弦值【詳解】（1）取的中點，連接、，且又，面，又面，；（2）由面面，平面平面，平面，可得面.故以為坐標原點，分別以、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系：則， ，.，設為平面EFC的一個法向量由，取，則， .又為面的一個法向量，由如圖知二面角的余弦值為.【點睛】本題考查利用線面垂直的性質證明線線垂直，同時也考查了利用空間向量法計算二面角的余弦值，考查推理論證能力與計算能力，屬于中等題.21如圖，要在河岸的一側修建一條休閑式人行道，進行圖紙設計時，建立了圖中所示坐標系，其中，在軸上，且，道路的前一部分為曲線段，該曲線段為二次函數在時的圖像，最高點為，道路中間部分為直線段，且，道路的后一段是以為圓心的一段圓弧（1）求的值；（2）求的大??；（3）若要在扇形區(qū)域內建一個“矩形草坪”，在圓弧上運動，、在上，記，則當為何值時，“矩形草坪”面積最大【答案】（1）；（2）；（3）當時，矩形草坪面積最大.【解析】（1）將點的坐標代入函數的解析式，可得出實數的值；（2）在函數的解析式中令，可求出點的坐標，由此得出，可求出，計算出，由此可得出；（3）可得出，從而得出“矩形草坪”的面積關于的表達式，利用三角恒等變換思想將關于的表達式化簡為，結合角的范圍，可計算出的最大值以及對應的值.【詳解】（1）由圖可知函數的圖象過點，；（2）由（1）知，當時，又在中，；（3）由（2）可知 易