中考與圓有關(guān)的綜合題(含答案).doc

2011全國中考真題解析-與圓有關(guān)的綜合題一、選擇題1.已知ACBC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列選項中O的半徑為的是()A.B. C.D.考點:三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;解一元一次方程;正方形的判定與性質(zhì);切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).專題:計算題.分析:連接OE、OD,根據(jù)AC、BC分別切圓O于E、D,得到OEC=ODC=C=90,證出正方形OECD,設(shè)圓O的半徑是r,證ODBAEO,得出,代入即可求出r=;設(shè)圓的半徑是x,圓切AC于E,切BC于D,且AB于F,同樣得到正方形OECD,根據(jù)ax+bx=c,求出x即可;設(shè)圓切AB于F,圓的半徑是y,連接OF,則BCAOFA得出,代入求出y即可.解答:解:C、連接OE、OD,AC、BC分別切圓O于E、D,OEC=ODC=C=90,OE=OD,四邊形OECD是正方形,OE=EC=CD=OD,設(shè)圓O的半徑是r,OEBC,AOE=B,AEO=ODB,ODBAEO,解得:r=,故本選項正確;A、設(shè)圓的半徑是x,圓切AC于E,切BC于D,且AB于F,如圖(1)同樣得到正方形OECD,AE=AF,BD=BF,則ax+bx=c,求出x=,故本選項錯誤;B、設(shè)圓切AB于F,圓的半徑是y,連接OF,如圖(2),則BCAOFA, , ,解得:y=,故本選項錯誤;D、求不出圓的半徑等于,故本選項錯誤;故選C.點評:本題主要考查對正方形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,解一元一次方程等知識點的理解和掌握,能根據(jù)這些性質(zhì)求出圓的半徑是解此題的關(guān)鍵.2.如圖,ABC的外接圓上,AB,BC,CA三弧的度數(shù)比為12:13:11.自BC上取一點D,過D分別作直線AC,直線AB的并行線,且交于E,F兩點,則EDF的度數(shù)為()A、55B、60 C、65D、70考點:圓心角、弧、弦的關(guān)系;平行線的性質(zhì).專題:探究型.分析:先根據(jù)AB,BC,CA三弧的度數(shù)比為12:13:11求出、的度數(shù),再根據(jù)其度數(shù)即可求出ACB及ABC的度數(shù),由平行線的性質(zhì)即可求出FED及EFD的度數(shù),由三角形內(nèi)角和定理即可求出EDF的度數(shù).解答:解:AB,BC,CA三弧的度數(shù)比為12:13:11,=360=120,=360=110,ACB=120=60,ABC=110=55,ACED,ABDF,FED=ABC=55,EFD=ACB=60,EDF=1806055=65.故選C.點評:本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系及平行線的性質(zhì),能根據(jù)AB,BC,CA三弧的度數(shù)比為12:13:11求出ABC及ACB的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.3.如圖中,CA,CD分別切圓O1于A,D兩點,CB、CE分別切圓O2于B,E兩點.若1=60,2=65,判斷AB、CD、CE的長度,下列關(guān)系何者正確()A、ABCECEB、AB=CECD C、ABCDCED、AB=CD=CE考點:切線長定理;三角形三邊關(guān)系;三角形內(nèi)角和定理.專題:計算題.分析:根據(jù)1=60,2=65,利用三角形內(nèi)角和定理求出ABC的度數(shù),然后可得ABBCAC,由切線長定理得AC=CD,BC=CE,利用等量代換求得ABCECD即可.解答:解:1=60,2=65,ABC=18012=1806065=55,2ABC1,ABBCAC,CA,CD分別切圓O1于A,D兩點,CB、CE分別切圓O2于B,E兩點,AC=CD,BC=CE,ABCECD.故選A.點評:此題主要考查切線長定理和三角形三邊關(guān)系,三角形內(nèi)角和定理等知識點,解答此題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理求出ABC的度數(shù).4.如圖,BD為圓O的直徑,直線ED為圓O的切線,A.C兩點在圓上,AC平分BAD且交BD于F點.若ADE19,則AFB的度數(shù)為何?()A.97 B.104 C.116D.142考點:弦切角定理;圓周角定理.分析:先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出角BAD的度數(shù),根據(jù)角平分線的定義得出角BAF的的度數(shù),再根據(jù)弦切角等于它所夾弧對的圓周角,得出角ABD的度數(shù),最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出角AFB的度數(shù).解答:解:BD是圓O的直徑,BAD90,又AC平分BAD,BAFDAF45,直線ED為圓O的切線,ADEABD19,AFB180BAFABD1804519116.故選C.點評:此題考查圓周角定理以及弦切角定理的靈活運用,是一道在圓中求角度數(shù)的綜合題.5.如圖平面上有兩個全等的正十邊形ABCDEFGHIJ、ABCDEFGHIJ,其中A點與A點重合,C點與C點重合.求BAJ的度數(shù)為何?()A、96B、108 C、118D、126考點:正多邊形和圓;多邊形內(nèi)角與外角;菱形的性質(zhì).專題:計算題.分析:利用正多邊形的性質(zhì)可以得到四邊形ABCB為菱形,計算其內(nèi)角后,用多邊形的內(nèi)角減去即可得到答案.解答:解題技巧:(1)正n邊形每一個內(nèi)角度數(shù)=,(2)菱形的鄰角互補解析兩個圖形為全等的正十邊形,ABCB為菱形,又ABC=ABC=144BAB=180144=36,BAJ=BAJBAB=14436=108.故選B.點評:本題考查了正多邊形與圓的計算,解題的關(guān)鍵是利用正多邊形的性質(zhì)判定菱形.6.(2011山東濱州,8,3分)如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD的頂點A、C分別在y軸、x軸上,以AB為弦的M與x軸相切.若點A的坐標為(0,8),則圓心M的坐標為( )A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5)【考點】垂徑定理;坐標與圖形性質(zhì);勾股定理;正方形的性質(zhì).【專題】證明題.【分析】過點M作MDAB于D,連接AM.設(shè)M的半徑為R,因為四邊形OABC為正方形,頂點A,C在坐標軸上,以邊AB為弦的M與x軸相切,若點A的坐標為(0,8),所以DA= AB=4,DM=8-R,AM=R,又因ADM是直角三角形,利用勾股定理即可得到關(guān)于R的方程,解之即可.【解答】解:過點M作MDAB于D,交OC于點E.連接AM,設(shè)M的半徑為R.以邊AB為弦的M與x軸相切,ABOC,DECO,DE是M直徑的一部分;四邊形OABC為正方形,頂點A,C在坐標軸上,點A的坐標為(0,8),OA=AB=CB=OC=8,DM=8-R;AD=BD=4(垂徑定理);在RtADM中,根據(jù)勾股定理可得AM2=DM2+AD2,R2=(8-R)2+42,R=5.M(-4,5).故選D.【點評】本題考查了垂徑定理、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì).解題時,需仔細分析題意及圖形,利用勾股定理來解決問題.7.如圖,直線與x軸、y軸分別相交于A,B兩點,圓心P的坐標為(1,0),圓P與y軸相切于點O.若將圓P沿x軸向左移動,當(dāng)圓P與該直線相交時,橫坐標為整數(shù)的點P的個數(shù)是()A、2 B、3 C、4 D、5考點:直線與圓的位置關(guān)系;一次函數(shù)綜合題.分析:根據(jù)直線與坐標軸的交點,得出A,B的坐標,再利用三角形相似得出圓與直線相切時的坐標,進而得出相交時的坐標.解答:解:直線與x軸、y軸分別相交于A,B兩點,圓心P的坐標為(1,0),A點的坐標為:0= x+ ,x=-3,A(-3,0),B點的坐標為:(0,),AB=2 ,將圓P沿x軸向左移動,當(dāng)圓P與該直線相切與C 1時,P1C1=1,根據(jù)AP1C1ABO,AP1=2,P1的坐標為:(-1,0),將圓P沿x軸向左移動,當(dāng)圓P與該直線相切與C 2時,P2C2=1,根據(jù)AP2C2ABO,AP2=2,P2的坐標為:(-5,0),從-1到-5,整數(shù)點有-2,-3,-4,故橫坐標為整數(shù)的點P的個數(shù)是3個.故選B.點評:此題主要考查了直線與坐標軸的求法,以及相似三角形的判定,題目綜合性較強,注意特殊點的求法是解決問題的關(guān)鍵.8.如圖,A、B、C、D是O上的四個點,AB=AC,AD交BC于點E,AE=3,ED=4,則AB的長為 ( ) A .3 B .2 C. D .3第8題圖 考點:圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì).分析:根據(jù)圓周角定理可得ACB=ABC=D,再利用三角形相似ABDAEB,即可得出答案.解答:解:AB=AC,ACB=ABC=D,BAD=BAD,ABDAEB,AB2=37=21,AB=.故選C.點評:此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意得出ABDAEB是解決問題的關(guān)鍵.二、填空題1.如圖,將正六邊形ABCDEF放在直角坐標系中,中心與坐標原點重合,若A點的坐標為(-1,0),則點C的坐標為(1,- ).考點:正多邊形和圓;坐標與圖形性質(zhì).專題:計算題.分析:先連接OE,由于正六邊形是軸對稱圖形,并設(shè)EF交Y軸于G,那么GOE=30;在RtGOE中,則GE=1,OG= .E的坐標為(1,),和E關(guān)于Y軸對稱的F點的坐標就是(-1,),其他坐標類似可求出.解答:解:連接OE,由正六邊形是軸對稱圖形知:在RtOEG中,GOE=30,OE=2.GE=1,OG= . A(-2,0)B(-1,- )C(1,- )D(2,0)E(1,)F(-1,).故答案為:(1,- )點評:本題利用了正六邊形的對稱性,直角三角形30的角所對的邊等于斜邊的一半,勾股定理等知識.3.(2011廣西百色,20,3分)如圖,點C是O優(yōu)弧ACB上的中點,弦AB=6cm,E為OC上任意一點,動點F從點A出發(fā),以每秒1cm的速度沿AB方向向點B勻速運動,若y=AE2EF2,則y與動點F的運動時間x(0x6)秒的函數(shù)關(guān)系式為_ _.考點:垂徑定理;勾股定理.分析:首先延長CO交AB于G,根據(jù)垂徑定理的知識,可得COAB,并可求得AG的值,由勾股定理可得AE2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2,即可求得y=AG2FG2,即可求得函數(shù)關(guān)系式.解答:解:延長CO交AB于G,點C是O優(yōu)弧ACB上的中點,COAB,AG=AB=6=3(cm),AE2=AG2+EG2,EF2=FG2+EG2,當(dāng)0x3時,AF=xcm,FG=(3x)cm,y=AE2EF2=AG2+EG2FG2EG2=AG2FG2=9(3x)2=6xx2;當(dāng)3x6時,AF=xcm,FG=(x3)cm,y=AE2EF2=AG2+EG2FG2EG2=AG2FG2=9(x3)2=6xx2.故答案為:y=6xx2.點評:此題考查了垂徑定理與勾股定理的應(yīng)用.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想的應(yīng)用.4.(2011廣西防城港 18,3分)如圖,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑的半圓O與弦AC交于點D,OEAC,并交OC于點E.則下列四個結(jié)論:點D為AC的中點;SOOESAOC;四邊形ODEO是菱形.其中正確的結(jié)論是 .(把所有正確的結(jié)論的序號都填上)考點:圓周角定理;平行線的性質(zhì);菱形的判定;圓心角、弧、弦的關(guān)系專題:圓的綜合題分析:(1)如圖,連接OD,則由AO是O的直徑,得ADO90,即OD弦AC,故由垂徑定理可知點D為弦AC的中點,從而正確.(2)由OEAC,得O OEOAC,從而,從而SOOESAOC,故錯誤.(3)如圖,連接OD、OD,由OAOC,ODAC,得AOC2AOD;又A OD 2AOD,故A OD AOCn;又OA2OA,由弧長公式可知:,故.因此正確.(4)易知OEAD,OEAD,故四邊形ODEO是平行四邊形,但ADA O,從而四邊形ODEO不是菱形,故錯誤.解答:點評:此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理等知識點的靈活運用,此題步驟繁瑣,但相對而言,難易程度適中,很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目.5. 如圖,點E(0,4),O(0,0),C(5,0)在A上,BE是A上的一條弦.則tanOBE=.考點:圓周角定理;坐標與圖形性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義.分析:根據(jù)同弧所對的圓周角相等,可證ECO=OBE.由銳角三角函數(shù)可求tanECO=,即tanOBE=.解答:解:連接EC.根據(jù)圓周角定理ECO=OBE.在RtEOC中,OE=4,OC=5,則tanECO=.故tanOBE=.點評:本題重點考查了同弧所對的圓周角相等及解直角三角形的知識.注意銳角三角函數(shù)的概念:在直角三角形中,正弦等于對比斜;余弦等于鄰比斜;正切等于對比鄰.6.如圖,點0為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心,AOC108,點D在AB延長線上,BDBC,則D.考點:圓周角定理;三角形的外角性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).專題:計算題.分析:根據(jù)圓周角定理,可得出ABC的度數(shù),再根據(jù)BDBC,即可得出答案.解答:解:AOC108,ABC54,BDBC,DBCDABC27,故答案為27.點評:本題考查了圓周角定理.三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),是基礎(chǔ)知識比較簡單.7. 2011黑龍江省黑河, 8,3分)如圖,A、B、C、D是O上的四個點,AB=AC,AD交BC于點E,AE=3,ED=4,則AB的長為.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理;相交弦定理.【專題】計算題.【分析】可證明ABEADB,則=,則AB2=ADAE,由AE=3,ED=4,即可求得AB.【解答】解:AB=AC,ABE=ADB,ABEADB,則=即AB2=ADAE,AE=3,ED=4,AB=.【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理以及相交線定理,是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.8.如圖,一個半徑為的圓經(jīng)過一個半徑為4的圓的圓心,則圖中陰影部分的面積為 .考點:相交兩圓的性質(zhì);扇形面積的計算.專題:計算題;數(shù)形結(jié)合.分析:連接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,由勾股定理得逆定理得O2O1A=O2O1B=90,則點A、O1、B在同一條直線上,則AB是圓O1的直徑,從的得出陰影部分的面積S陰影=S1S弓形AO1B=S1(S扇形AO2BSAO2B).解答:解:連接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,O1O2=O1A=2,O2A=4,O1O22+O1A2=O2A2,O2O1A=90,同理O2O1B=90,點A、O1、B在同一條直線上,并且AO2B=90,AB是圓O1的直徑,S陰影=S1S弓形AO1B=S1(S扇形AO2BSAO2B)=(2)242+44=8故答案為8.點評:本題考查了扇形面積的計算、勾股定理和相交兩圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積的計算方法.9.如圖,O的直徑CD過弦EF的中點G,EOD=40,則FCD的度數(shù)為20.考點:圓周角定理;垂徑定理.專題:幾何圖形問題.分析:根據(jù)垂徑定理得出弧DE等于弧DF,再利用圓周角定理得出FCD=20.解答:解:O的直徑CD過弦EF的中點G,DCF=EOD,EOD=40,FCD=20,故答案為:20.點評:此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定理的推論,靈活應(yīng)用相關(guān)定理是解決問題的關(guān)鍵.102.【考點】兩點間的距離. 【分析】根據(jù)AB=12,AC=8,求出BC的長,再根據(jù)點D是線段BC的中點,得出CD=BD即可得出答案.【解答】解:AB=12,AC=8,BC=4,點C是線段AB上的點,點D是線段BC的中點,CD=BD=2,故答案為:2.【點評】此題主要考查了兩點距離求法,根據(jù)已知求出BC=4是解決問題的關(guān)鍵.16、如圖,ABC內(nèi)接于O,已知A=55,則BOC= 110.【考點】圓周角定理.【分析】直接利用圓周角定理同弧所對的圓周角是圓心角的一半,直接得出答案.【解答】解:ABC內(nèi)接于O,已知A=55,BOC=110,故答案為:110.【點評】此題主要考查了圓周角定理,熟練應(yīng)用圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵. 三、解答題1.如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm.P為BC的中點,動點Q從點P出發(fā),沿射線PC方向以2cm/s的速度運動,以P為圓心,PQ長為半徑作圓.設(shè)點Q運動的時間為t s.(1)當(dāng)t=1.2時,判斷直線AB與P的位置關(guān)系,并說明理由;(2)已知O為ABC的外接圓.若P與O相切,求t的值.考點:圓與圓的位置關(guān)系;勾股定理;直線與圓的位置關(guān)系;相似三角形的判定與性質(zhì).專題:幾何綜合題;動點型.分析:(1)根據(jù)已知求出AB=10cm,進而得出PBDABC,利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心P到直線AB的距離等于P的半徑,即可得出直線AB與P相切;(2)根據(jù)BO=AB=5cm,得出P與O只能內(nèi)切,進而求出P與O相切時,t的值.解答:解:(1)直線AB與P相切,如圖,過P作PDAB,垂足為D,在RtABC中,ACB=90,AB=6cm,BC=8cm,AB=10cm,P為BC中點,PB=4cm,PDB=ACB=90,PBD=ABC,PBDABC,即,PD=2.4(cm),當(dāng)t=1.2時,PQ=2t=2.4(cm),PD=PQ,即圓心P到直線AB的距離等于P的半徑,直線AB與P相切;(2)ACB=90,AB為ABC的外接圓的直徑,BO=AB=5cm,連接OP,P為BC中點,PO=AC=3cm,點P在O內(nèi)部,P與O只能內(nèi)切,52t=3,或2t5=3,t=1或4,P與O相切時,t的值為1或4.點評:此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,正確判定直線與圓的位置關(guān)系是重點知識同學(xué)們應(yīng)重點復(fù)習(xí).2.如圖,已知AB是O的弦,OB=2,B=30,C是弦AB上的任意一點(不與點A、B重合),連接CO并延長CO交O于點D,連接AD.(1)弦長等于_(結(jié)果保留根號);(2)當(dāng)D=20時,求BOD的度數(shù);(3)當(dāng)AC的長度為多少時,以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似?請寫出解答過程.考點:圓周角定理;垂徑定理;相似三角形的判定與性質(zhì);解直角三角形.專題:幾何綜合題;數(shù)形結(jié)合.分析:(1)過點O作OEAB于E,由垂徑定理即可求得AB的長;(2)連接OA,由OA=OB,OA=OD,可得BAO=B,DAO=D,則可求得DAB的度數(shù),又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半,即可求得DOB的度數(shù);(3)由BCO=A+D,可得要使DAC與BOC相似,只能DCA=BCO=90,然后由相似三角形的性質(zhì)即可求得答案.解答:解:過點O作OEAB于E,則AE=BE= AB,OEB=90,OB=2,B=30,BE=OBcosB=2 = ,AB=;故答案為:;(2)連接OA,OA=OB,OA=OD,BAO=B,DAO=D,DAB=BAO+DAO=B+D,又B=30,D=20,DAB=50,BOD=2DAB=100;(3)BCO=A+D,BCOA,BCOD,要使DAC與BOC相似,只能DCA=BCO=90,此時BOC=60,BOD=120,DAC=60,DACBOC,BCO=90,即OCAB,AC= AB= .點評:此題考查了垂徑定理,圓周角的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.題目綜合性較強,解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.如圖,以點O為圓心的兩個同心圓中,矩形ABCD的邊BC為大圓的弦,邊AD與小圓相切于點M,OM的延長線與BC相交于點N.(1)點N是線段BC的中點嗎?為什么?(2)若圓環(huán)的寬度(兩圓半徑之差)為6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圓的半徑.考點:垂徑定理;勾股定理;矩形的性質(zhì).專題:幾何綜合題;探究型.分析:(1)由AD是小圓的切線可知OMAD,再由四邊形ABCD是矩形可知,ADBC,AB=CD,故ONBC,由垂徑定理即可得出結(jié)論;(2)延長ON交大圓于點E,由于圓環(huán)的寬度(兩圓半徑之差)為6cm,AB=5cm可知ME=6cm,在RtOBE中,利用勾股定理即可求出OM的長.解答:解:(1)AD是小圓的切線,M為切點,OMAD,四邊形ABCD是矩形,ADBC,AB=CD,ONBC,BE=BC=5cm,N是BC的中點;(2)延長ON交大圓于點E,圓環(huán)的寬度(兩圓半徑之差)為6cm,AB=5cm,ME=6cm,在RtOBE中,設(shè)OM=rOB2=BC2+(OM+MN)2,即(r+6)2=52+(r+5)2,解得r=7cm,故小圓半徑為7cm.點評:本題考查的是垂徑定理,涉及到切線的性質(zhì)及勾股定理、矩形的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.5.如圖,在ABC中,C=90,以AB上一點O為圓心,OA長為半徑的圓與BC相切于點D,分別交AC、AB于點E、F.(1)若AC=6,AB=10,求O的半徑;(2)連接OE、ED、DF、EF.若四邊形BDEF是平行四邊形,試判斷四邊形OFDE的形狀,并說明理由.考點:切線的性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì);圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì).專題:計算題.分析:(1)連接OD,設(shè)O的半徑為r,可證出BODBAC,則,從而求得r;(2)由四邊形BDEF是平行四邊形,得DEF=B,再由圓周角定理可得,B=DOB,則ODE是等邊三角形,先得出四邊形OFDE是平行四邊形.再根據(jù)OE=OF,則平行四邊形OFDE是菱形.解答:解:(1)連接OD.設(shè)O的半徑為r.BC切O于點D,ODBC.C=90,ODAC,OBDABC.,即10r=6(10r).解得r=,O的半徑為.(2)四邊形OFDE是菱形.四邊形BDEF是平行四邊形,DEF=B.DEF=DOB,B=DOB.ODB=90,DOB+B=90,DOB=60.DEAB,ODE=60.OD=OE,OD=DE.OD=OF,DE=OF.四邊形OFDE是平行四邊形.OE=OF,平行四邊形OFDE是菱形.點評:本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),是一個綜合題,難度中等.6.(2011江蘇揚州,26,10分)已知,如圖,在RtABC中,C=90,BAC的角平分線AD交BC邊于D.(1)以AB邊上一點O為圓心,過A,D兩點作O(不寫作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若(1)中的O與AB邊的另一個交點為E,AB=6,BD=2,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號和)考點:切線的判定與性質(zhì);勾股定理;扇形面積的計算;作圖復(fù)雜作圖;相似三角形的判定與性質(zhì).分析:(1)根據(jù)題意得:O點應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點;由BAC的角平分線AD交BC邊于D,與圓的性質(zhì)可證得ACOD,又由C=90,則問題得證;(2)過點D作DMAB于M,由角平分線的性質(zhì)可證得DM=CD,又由BDMBAC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可證得CD:AC=:3,可得DOB=60,則問題得解.解答:解:(1)如圖:連接OD,OA=OD,OAD=ADO,BAC的角平分線AD交BC邊于D,CAD=OAD,CAD=ADO,ACOD,C=90,ODB=90,ODBC,即直線BC與O的切線,直線BC與O的位置關(guān)系為相切;(2)過點D作DMAB于M,DMB=C=90,B=B,BDMBAC,AD是CAB的平分線,CD=DM,CAD=30,DAB=30,B=30,DOB=60,OD=2,S扇形ODE=,SODB=ODBD=22=2線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為:SODBS扇形ODE=2.點評:此題考查了切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識.此題綜合性很強,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7.如圖,已知O的半徑為2,弦BC的長為,點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(B,C兩點除外).(1)求BAC的度數(shù);(2)求ABC面積的最大值.(參考數(shù)據(jù):sin60=,cos30=,tan30=.)考點:垂徑定理;圓周角定理;解直角三角形.專題:幾何綜合題.分析:(1)連接OB、OC,作OEBC于點E,由垂徑定理可得出BE=EC=,在RtOBE中利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出BOE的度數(shù),再由圓周角定理即可求解;(2)因為ABC的邊BC的長不變,所以當(dāng)BC邊上的高最大時,ABC的面積最大,此時點A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點處,過OEBC與點E,延長EO交O于點A,則A為優(yōu)弧BC的中點,連接AB,AC,則AB=AC,由圓周角定理可求出BAE的度數(shù),在RtABE中,利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出AE的長,由三角形的面積公式即可解答.解答:解:(1)解法一:連接OB,OC,過O作OEBC于點E.OEBC,BC=,.在RtOBE中,OB=2,BOE=60,BOC=120,.解法二:連接BO并延長,交O于點D,連接CD.BD是直徑,BD=4,DCB=90.在RtDBC中,BDC=60,BAC=BDC=60.(2)解法一:因為ABC的邊BC的長不變,所以當(dāng)BC邊上的高最大時,ABC的面積最大,此時點A落在優(yōu)弧BC的中點處.(5分)過O作OEBC于E,延長EO交O于點A,則A為優(yōu)弧BC的中點.連接AB,AC,則AB=AC,.在RtABE中,SABC=.答:ABC面積的最大值是.解法二:因為ABC的邊BC的長不變,所以當(dāng)BC邊上的高最大時,ABC的面積最大,此時點A落在優(yōu)弧BC的中點處.(5分)過O作OEBC于E,延長EO交O于點A,則A為優(yōu)弧BC的中點.連接AB,AC,則AB=AC.BAC=60,ABC是等邊三角形.在RtABE中,SABC=.答:ABC面積的最大值是.點評:本題考查的是垂徑定理、圓圓周角定理及解直角三角形,能根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.8.如圖所示.P是O外一點.PA是O的切線.A是切點.B是O上一點.且PAPB,連接AO、BO、AB,并延長BO與切線PA相交于點Q.(1)求證:PB是O的切線;(2)求證: AQPQ OQBQ; (3)設(shè)AOQ.若cos.OQ 15.求AB的長 考點:直線與圓的位置關(guān)系,切線,切線長,相似,解直角三角形,綜合題.專題:圓、相似分析:(1)要證PB是O的切線,只要證明PBO90即可,根據(jù)已知條件可考慮連接PO,通過證明APOBPO來說明PBOPAO90.(2)要證明AQPQ OQBQ,只需證明即可,為此需要證明QPBQOA.(3)根據(jù)已知條件解RtAOQ可得AQ與OA的長,則BQ的長可求,利用(2)中證得的QPBQOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得PB的長,利用勾股定理可得PO的長,在RtAOB中,利用面積等積式可求得AB的一半的長,則AB的長可知.解答:(1)證明:如圖所示,連結(jié)OP,交AB于點C.PAPB,AOBO,POPOAPOBPO.PBOPAO90又PA是O的切線PAOA,即PAO90.PBOPAO90.PB是O的切線.(2)證明:OAQPBQ90,Q為公共角,QPBQOA.,即AQPQ OQBQ.(3)在RtAOQ中,.,BQBOOQAOOQ121527.由(2)知QPBQOA,即,解得PB36.PA、PB都是O的切線,PAPB,APCBPC,PCAB,即OCAB.AB2BC,.,.點評:(1)要證明一條直線是圓的切線,如果在已知條件中已知直線和圓已有一個公共點,那么常連接這個公共點和圓心(本題中OB已連接),再說明這條半徑和直線垂直,簡稱“連半徑證垂直”.(2)等積式的證明經(jīng)常需轉(zhuǎn)化成比例式來證明,而證明比例式成立的首選方法是利用相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)建立比例式.(3)在直角三角形中,經(jīng)常利用面積等積式來求有關(guān)線段的長.另外,本題前兩問比較簡單,易于尋找解題思路,而第(3)問綜合性巧強,用到的知識較多,所要求的線段的長較多,許多同學(xué)會不能順利做解.11.如圖,已知,以為直徑,為圓心的半圓交于點,點為弧CF的中點,連接交于點,為ABC的角平分線,且,垂足為點.(1)求證:是半圓的切線;(2)若,求的長.BDAOAHACAEAMAFAA 考點:切線的判定與性質(zhì);勾股定理;圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì). 專題:綜合題. 分析:(1)連接EC,AD為ABC的角平分線,得12,又ADBE,可證34,由對頂角相等得45,即35,由E為弧CF的中點,得67,由BC為直徑得E90,即5690,由ADCE可證26,從而有3790,證明結(jié)論;(2)在RtABC中,由勾股定理可求AC5,由34得AMAB3,則CMACAM2,由(1)可證CMEBCE,利用相似比可得EB2EC,在RtBCE中,根據(jù)BE2CE2BC2,得BE2( )242,可求BE. 解答:(1)證明:連接EC, ADBE于H,12, 34 453, 又E為弧CF中點, 67,BC是直徑, E90, 5690, 又AHME90, ADCE, 261, 3790, 又BC是直徑, AB是半圓O的切線; (2),.由(1)知,.在中,于,平分,.由,得., 點評:本題考查了切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,勾股定理的運用.關(guān)鍵是由已知條件推出相等角,構(gòu)造互余關(guān)系的角推出切線,利用相等角推出相似三角形,由相似比得出邊長的關(guān)系,由勾股定理求解.12.已知AB與O相切于點C,OA=OB,OA、OB與O分別交于點D、E.(I)如圖,若O的直徑為8,AB=10,求OA的長(結(jié)果保留根號);(II)如圖,連接CD、CE,若四邊形ODCE為菱形,求的值.考點:切線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性質(zhì).專題:幾何圖形問題.分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得出OCAB,再由勾股定理求得OA即可;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì),求得OD=CD,則ODC為等邊三角形,可得出A=30,即可求得的值.解答:解:(1)如圖,連接OC,則OC=4,AB與O相切于點C,OCAB,在OAB中,由AO=OB,AB=10m,得AC=AB=5.在RtAOC中,由勾股定理得OA=(2)如圖,連接OC,則OC=OD,四邊形ODCE為菱形,OD=CD,ODC為等邊三角形,有AOC=60.由(1)知,OCA=90,A=30,OC=OA,=.點評:本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理以及直角三角形、菱形的性質(zhì),是一道綜合題,要熟練掌握.13.如圖,BD是O的直徑,A、C是O上的兩點,且ABAC,AD與BC的延長線交于點E.(1)求證:ABDAEB;(2)若AD1,DE3,求BD的長.考點:相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;圓周角定理.專題:幾何證明和計算題分析:(1)結(jié)合已知條件就可以推出ABCADB,再加上公共角就可以推出結(jié)論;(2)由(1)的結(jié)論就可以推出AB的長度,規(guī)矩勾股定理即可推出BD的長度.解答:(1)證明:ABAC,弧AB弧AC .ABCADB.(2分)又BAEDAB,ABDAEB.(4分)(2)解:ABDAEB,.AD1,DE3,AE4.AB2ADAE144.AB2.(6分)BD是O的直徑,DAB90.在RtABD中,BD2AB2AD222125,BD.(8分)點評:本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理,解題的關(guān)鍵在于找到ABCADB,求證三角形相似.14. 如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,CD為BCA的外角的平分線,F為 AD弧上一點,BC=AF,延長DF與BA的延長線交于E.(1)求證:ABD為等腰三角形.(2)求證:ACAF=DFFE.考點:圓周角定理;全等三角形的判定與性質(zhì);圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).專題:證明題.分析:(1)CD為BCA的外角的平分線得到MCD=ACD,求出MCD=DAB推出DBA=DAB即可;(2)由BC=AF推出CD=DF和CDB=ADF,證CDAFDB,得到AC=BF,根據(jù)C D F B四點共圓和A F D B四點共圓,推出FAE=BDF和EFA=DFB,證DBFAEF,得到 AFDF= EFBF即可推出答案.解答:(1)證明:CD為BCA的外角的平分線,MCD=ACD,A、B、C、D四點共圓,MCD=DAB,DCA=DBA,DBA=DAB,BD=AD,ABD是等腰三角形.(2)證明:BC=AF,弧BC=弧AF,AD=BD,弧AD=弧BD,弧CD=弧DF,CD=DF,弧BC=弧DF,CDB=ADF,CDA=FDB,AD=BD,CD=DF,CDAFDB,AC=BF,C D F B四點共圓,A F D B四點共圓,FAE=BDF,MCD=DFB,EFA=DBA=DCA,MCD=DCA,EFA=DFB,DBFAEF, AFDF= EFBF,AFBF=DFEF,ACAF=DFFE.點評:本題主要考查對圓內(nèi)接四邊形,全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,圓周角定理等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是證此題的關(guān)鍵.15.1+OBC=90,2+OCB=90,又OC=OB,OBC=OCB,1=2,(2分)AOBBDC;(3分)(2)解:過點O作OFBC于點F,則四邊形OABF是矩形(4分)BF=OA=1,由垂徑定理,得BC=2BF=2,(5分)在RtAOB中,OA=1,OB=xAB=,(6分)由(1)得AOBBDC=,即=,y=;(7分)當(dāng)BE與小圓相切時,OEBE,OE=1,OC=x,EC=x1,BE=AB=,(8分)在RtBCE中,根據(jù)勾股定理得:EC2+BE2=BC2,即(x1)2+()2=22,(9分)解得:x1=2,x2=1(舍去),(10分)當(dāng)BE與小圓相切時,x=2.(11分)點評:此題考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理及垂徑定理.遇到切線,連接圓心與切點,是常常連接的輔助線,借助圖形,由切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理解決問題.熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.16.(2011菏澤)如圖,BD為O的直徑,AB=AC,AD交BC于點E,AE=2,ED=4,(1)求證:ABEADB;(2)求AB的長;(3)延長DB到F,使得BF=BO,連接FA,試判斷直線FA與O的位置關(guān)系,并說明理由.考點:相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;圓周角定理;切線的判定.專題:計算題;證明題.分析:(1)根據(jù)AB=AC,可得ABC=C,利用等量代換可得ABC=D然后即可證明ABEADB.(2)根據(jù)ABEADB,利用其對應(yīng)邊成比例,將已知數(shù)值代入即可求得AB的長.(3)連接OA,根據(jù)BD為O的直徑可得BAD=90,利用勾股定理求得BD,然后再求證OAF=90即可.解答:解:(1)證明:AB=AC,ABC=C,C=D,ABC=D,又BAE=EAB,ABEADB,(2)ABEADB,AB2=ADAE=(AE+ED)AE=(2+4)2=12,AB=.(3)直線FA與O相切,理由如下:連接OA,BD為O的直徑,BAD=90,BF=BO=,AB=,BF=BO=AB,OAF=90,直線FA與O相切.點評:此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,切線的判定等知識點,有一定的拔高難度,屬于難題.17.如圖,直線PM切O于點M,直線PO交O于A、B兩點,弦ACPM,連接OM、BC.求證:(1)ABCPOM;(2).【考點】切線的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).【分析】(1)M切O于點M,所以PMO=90,又因為弦AB是直徑,所以ACB=PMO=90,再有條件弦ACPM,可證得CAB=P,進而可證得ABCPOM;(2)有(1)可得 ,又因為AB=2OA,OA=OM;所以2OA2=OPBC.【解答】證明:(1)直線PM切O于點M,PMO=90,弦AB是直徑,ACB=90,ACB=PMO,ACPM,CAB=P,ABCPOM;(2)ABCPOM,又AB=2OA,OA=OM,2OA2=OPBC.【點評】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑;經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點;經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心和相似和圓有關(guān)的知識,具有一定的綜合性.19.如圖,已知點A、B、C、D均在已知圓上,ADBC,BD平分ABC,BAD=120,四邊形ABCD的周長為15.(1)求此圓的半徑;(2)求圖中陰影部分的面積.考點:扇形面積的計算;圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理.專題:幾何圖形問題.分析:(1)根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形,且AB=AD=DC,DBC=90,在直角BDC中,BC是圓的直徑,BC=2DC,根據(jù)四邊形ABCD的周長為15,即可求得BC,即可得到圓的半徑;(2)根據(jù)S陰影=S扇形AOD-SAOD即可求解.解答:解:(1)ADBC,BAD=120.ABC=60.又BD平分ABC,ABD=DBC=ADB=30