中考數(shù)學(xué)專題：最短距離問題.doc

最短距離問題分析 洪湖市峰口鎮(zhèn)二中 劉萬兵最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題，它主要考察學(xué)生對平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容綜合運(yùn)用，無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論（如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）。利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。一、“最值”問題大都?xì)w于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。 ABPl幾何模型：條件：如圖，、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最?。ú槐刈C明）ABECBD圖1模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱連結(jié)交于，則的最小值是_；OABC圖2P（2）如圖2，的半徑為2，點(diǎn)在上，是上一動點(diǎn)，求的最小值；解：（1）的最小值是 （2）的最小值是【典型例題分析】ADEPBC1.如圖所示，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） A B C3 DBOAxy2如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y 軸交于點(diǎn)B(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBAB；(3)當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)令x=0，得y=2， B(0，2) A(-2，3)(2)證明：.當(dāng)點(diǎn)P是AB的延長線與x軸交點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB；.當(dāng)點(diǎn)P在x軸上又異于AB的延長線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，BOAxyPH在點(diǎn)P、A、B構(gòu)成的三角形中，PA-PBAB. 綜合上述：PA-PBAB.(3)作直線AB交x軸于點(diǎn)P由(2)可知：當(dāng)PA-PB最大時(shí)，點(diǎn)P是所求的點(diǎn)作AHOP于H BOOP BOP=AHP，且BPO=APH BOPAHP 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 OP=4， P(4，0)標(biāo)為 的周長即是 第4題4.一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動點(diǎn)，求PCPD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入ykxb并計(jì)算得k2，b4解析式為：y2x4；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為C，連結(jié)PC、DC，則PCPCPCPDPCPDCD，即C、P、D共線時(shí)，PCPD的最小值是CD連結(jié)CD，在RtDCC中，CD2；易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)(亦可作RtAOB關(guān)于y軸對稱的)5.已知：拋物線的對稱軸為與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最小請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)ACxyBO5題圖ACxyBO解：（1）此拋物線的解析式為（2）連結(jié)、.因?yàn)榈拈L度一定，所以周長最小，就是使最小.點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).（第24題圖）OACxyBEPD設(shè)直線的表達(dá)式為則解得此直線的表達(dá)式為把代入得點(diǎn)的坐標(biāo)為6.如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)DOxyBEPAC（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知DOxyBEPCP解得， 拋物線的解析式為 （2）設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0），則，解得 OA1，OB3又tanOCBOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知ACBD，BCAD 四邊形ADBC是平行四邊形 又ACB90四邊形ADBC是矩形 （3）延長BC至N，使假設(shè)存在一點(diǎn)F，使FBD的周長最小即最小DB固定長只要FD+FB最小又CABN FD+FBFD+FN當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小 又C為BN的中點(diǎn)， （即F為AC的中點(diǎn)） 又A（1，0），C（0，） 點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，） 存在這樣的點(diǎn)F（，），使得FBD的周長最小 AFEM7.如圖（1），拋物線和軸的交點(diǎn)為為的中點(diǎn)，若有一動點(diǎn)，自點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動到軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），再沿直線運(yùn)動到該拋物線對稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），最后又沿直線運(yùn)動到點(diǎn)，求使點(diǎn)運(yùn)動的總路程最短的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長。解：如圖（1），由題意可得（0，3），拋物線的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為（6，3）。連結(jié)。根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，的長就是所求點(diǎn)運(yùn)動中最短總路程的長，在直線的方程為（過程略）。AFEMB33設(shè)與的交點(diǎn)為則為在軸上所求的點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)為所求的F點(diǎn)。