2003年高考數(shù)學(xué)試題及答案(北京理).doc

絕密啟用前2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。第卷（選擇題 共50分）注意事項：1答第卷前，考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺、圓臺的側(cè)面積公式 其中、分別表示上、下底面周長，表示斜高或母線長. 球體的體積公式：，其中R表示球的半徑.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1設(shè)集合等于（ ）ABCD2設(shè)，則（ ）Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y23“”是“”的（ ）A必要非充分條件B充分非必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件4已知，是平面，m，n是直線.下列命題中不正確的是（ ） A若mn，m，則nB若m，=n，則mnC若m，m，則D若m，則5極坐標(biāo)方程表示的曲線是（ ）A圓B橢圓C拋物線D雙曲線6若且的最小值是（ ）A2B3C4D57如果圓臺的母線與底面成60角，那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為（ ）ABCD8從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ）A24種B18種C12種D6種9若數(shù)列的通項公式是，則 等于（ ）ABCD10某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令 其中i=1，2，k，且j=1，2，k，則同時同意第1，2號同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（ ）ABCD第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11函數(shù)中， 是偶函數(shù).12以雙曲線右頂點為頂點，左焦點為焦點的拋物線的方程是 13如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是 .14將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為 .三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）已知函數(shù) （）求的最小正周期； （）若，求的最大值、最小值.16（本小題滿分13分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項公式； （）令求數(shù)列前n項和的公式.17（本小題滿分15分） 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC. （）求證：直線BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大?。?（）求三棱錐C1ABB1的體積.18（本小題滿分15分） 如圖，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（0，r）（ （）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率； （）直線交橢圓于兩點直線交橢圓于兩點求證：； （）對于（）中的C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q. 求證：|OP|=|OQ|. （證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）19（本小題滿分14分） 有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=a，BC=2b.今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標(biāo)系如圖） （）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小， 點P應(yīng)位于何處？ （）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小， 點P應(yīng)位于何處？20（本小題滿分14分） 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： （i） （ii）對任意的 （）證明：對任意的 （）證明：對任意的 （）在區(qū)間1，1上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.絕密啟用前2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算. 每小題5分，滿分50分.1A 2D 3A 4B 5D 6B 7C 8C 9C 10C二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分,滿分16分.11 12 13 14三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15本小題主要考查三角函數(shù)的倍角、和角公式，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查運算能力，滿分13分. （）解：因為所以的最小正周期（）解：因為所以 當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，取得最小值1. 所以在上的最大值為1，最小值為16本小題主要考查等差、等比數(shù)列等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的能力.滿分13分. （）解：設(shè)數(shù)列公差為，則 又所以（）解：令則由得 當(dāng)時，式減去式，得 所以當(dāng)時, 綜上可得當(dāng)時, 當(dāng)時，17本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，正棱柱的性質(zhì)，棱錐的體積等基本知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力. 滿分15分. （）證明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四邊形BDB1C1是平行四邊形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直線BC1/平面AB1D.（）解：過B作BEAD于E，連結(jié)EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中點， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小為60 （）解法一：過A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱錐C1ABB1的體積為 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱錐C1ABB1的體積為18本小主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力.滿分15分. （）解：橢圓方程為焦點坐標(biāo)為 離心率（）證明：將直線CD的方程代入橢圓方程，得整理得根據(jù)韋達定理，得 所以 將直線GH的方程代入橢圓方程，同理可得，由，得所以結(jié)論成立.（）證明：設(shè)點P（p,0），點Q（q,0），由C、P、H共線， 得解得， 由D、Q、G共線，同理可得 變形得 即 所以19本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分. （）解：由題設(shè)可知，記設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為 所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標(biāo)是（）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得記于是 當(dāng)即時，在上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 由此可知,當(dāng)時,函數(shù)取得最小值. 當(dāng)即時,函數(shù)在上,當(dāng)時,取得最小值,而上為減函數(shù),且 可見, 當(dāng)時, 函數(shù)取得最小值. 答當(dāng)時,點P的坐標(biāo)為當(dāng)時,點P的坐標(biāo)為(0,0),其中 解法二:P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 由解得 記于是 當(dāng)?shù)膱D象如圖，因此，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值. 當(dāng)即的圖象如圖，因此，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.答：當(dāng)時，點P的坐標(biāo)為當(dāng)，點P的坐標(biāo)為（0，0），其中解法三：因為在ABC中，AB=AC=所以ABC的外心M在射線AO上，其坐標(biāo)為， 且AM=BM=CM. 當(dāng)P在射線MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，若（如圖1），則點M在線段AO上，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小. 若(如圖2),則點M在線段AO外,這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C或P2A， 且P1COC，P2AOC，所以點P與BC邊中點O重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小為.答：當(dāng)時，點P的位置在ABC的外心；當(dāng)時，點P的位置在原點O.20本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.滿分1