滬科版八年級數(shù)學(xué)上第14章全等三角形單元測試含答案解析.doc

第14章 全等三角形一、選擇題（共9小題）1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點，A的坐標(biāo)為（1，），則點C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）3在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線（箭頭表示行進的方向），則路程最長的行進路線圖是（）ABCD4如圖，坐標(biāo)平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點的坐標(biāo)為（3，1），B、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D55平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）A110B125C130D1556如圖，在ABC和BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點C設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）Ay=By=Cy=Dy=8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD29如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A a2B a2C a2D a2二、解答題（共21小題）10已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊DCE和等邊DCF（點E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF（1）如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；（3）若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）11如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=90（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；（2）求證：ABFDEC；（3）求證：四邊形BCEF是矩形12如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50，求EBC的度數(shù)？13如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點D，過點D作DEAB于點E（1）求證：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的長14如圖，點D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE15已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD16如圖，把一個直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60，使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)17如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE19如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE20（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應(yīng)用題把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學(xué)生？21（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AOD=120，求AC的長22如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小23如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN24【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若，則ABCDEF25問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時兩艦艇之間的距離26如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF（1）證明：CBFCDF；（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；（3）請你添加一個條件，使得EFD=BAD，并予以證明27如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF求證：AE=CF28（1）如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長CD到點G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長29如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作ADAB交BE的延長線于點D，CG平分ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE30如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC不動，ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點，連接AF（1）如圖，當(dāng)BAE=90時，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)BAE90時，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖說明理由第14章 全等三角形參考答案與試題解析一、選擇題（共9小題）1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】求出FBD=CAD，AD=BD，證DBFDAC，推出BF=AC，代入求出即可【解答】解：F是高AD和BE的交點，ADC=ADB=AEF=90，CAD+AFE=90，DBF+BFD=90，AFE=BFD，CAD=FBD，ADB=90，ABC=45，BAD=45=ABD，AD=BD，在DBF和DAC中DBFDAC（ASA），BF=AC=8cm，故選C【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出DBFDAC2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點，A的坐標(biāo)為（1，），則點C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題【分析】過點A作ADx軸于D，過點C作CEx軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出OAD=COE，再利用“角角邊”證明AOD和OCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點C在第二象限寫出坐標(biāo)即可【解答】解：如圖，過點A作ADx軸于D，過點C作CEx軸于E，四邊形OABC是正方形，OA=OC，AOC=90，COE+AOD=90，又OAD+AOD=90，OAD=COE，在AOD和OCE中，AODOCE（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，點C在第二象限，點C的坐標(biāo)為（，1）故選：A【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點3在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線（箭頭表示行進的方向），則路程最長的行進路線圖是（）ABCD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】分別構(gòu)造出平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)進行比較，即可判斷【解答】解：A、延長AC、BE交于S，CAB=EDB=45，ASED，則SCDE同理SECD，四邊形SCDE是平行四邊形，SE=CD，DE=CS，即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延長AF、BH交于S1，作FKGH與BH的延長線交于點K，SAB=S1AB=45，SBA=S1BA=70，AB=AB，SABS1AB，AS=AS1，BS=BS1，F(xiàn)GH=1807043=67=GHB，F(xiàn)GKH，F(xiàn)KGH，四邊形FGHK是平行四邊形，F(xiàn)K=GH，F(xiàn)G=KH，AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，F(xiàn)S1+S1KFK，AS+BSAF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB，C、D、同理可證得AI+IK+KM+MBAS2+BS2AN+NQ+QP+PB綜上所述，D選項的所走的線路最長故選：D【點評】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等4如圖，坐標(biāo)平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點的坐標(biāo)為（3，1），B、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D5【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P由AB=BC，ABCDEF，就可以得出AKCCHADPF，就可以得出結(jié)論【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、PDPF=AKC=CHA=90AB=BC，BAC=BCA在AKC和CHA中，AKCCHA（ASA），KC=HAB、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，且A點的坐標(biāo)為（3，1），AH=4KC=4ABCDEF，BAC=EDF，AC=DF在AKC和DPF中，AKCDPF（AAS），KC=PF=4故選：C【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)的運用，垂直的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵5平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）A110B125C130D155【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】易證ACDBCE，由全等三角形的性質(zhì)可知：A=B，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為360，即可求出BPD的度數(shù)【解答】解：在ACD和BCE中，ACDBCE（SSS），A=B，BCE=ACD，BCA=ECD，ACE=55，BCD=155，BCA+ECD=100，BCA=ECD=50，ACE=55，ACD=105A+D=75，B+D=75，BCD=155，BPD=36075155=130，故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用整體的數(shù)學(xué)思想求出B+D=756如圖，在ABC和BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得ACB與DBE的關(guān)系，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案【解答】解：在ABC和DEB中，ABCDEB （SSS），ACB=DBEAFB是BFC的外角，ACB+DBE=AFB，ACB=AFB，故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點C設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）Ay=By=Cy=Dy=【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】作FGBC于G，依據(jù)已知條件求得DBEEGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得【解答】解：作FGBC于G，DEB+FEC=90，DEB+BDE=90；BDE=FEG，在DBE與EGF中DBEEGF，EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，EG=DB=2BE=2x，GC=y3x，F(xiàn)GBC，ABBC，F(xiàn)GAB，CG：BC=FG：AB，即=，y=故選：A【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，輔助線的做法是解題的關(guān)鍵8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD2【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理【專題】計算題；壓軸題【分析】連接AC，通過三角形全等，求得BAC=30，從而求得BC的長，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點作MECN于E，則MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NE=x，表示出CE，根據(jù)勾股定理即可求得ME，然后求得tanMCN【解答】解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC與RtADC中，RtABCRtADC（HL）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN是等邊三角形，MN=AM=AN=2，過M點作MECN于E，設(shè)NE=x，則CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故選：A【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵9如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A a2B a2C a2D a2【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】過E作EPBC于點P，EQCD于點Q，EPMEQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解【解答】解：過E作EPBC于點P，EQCD于點Q，四邊形ABCD是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分線，EPC=EQC=90，EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，正方形ABCD的邊長為a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面積=aa=a2，四邊形EMCN的面積=a2，故選：D【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出EPMEQN二、解答題（共21小題）10（2013阜新）已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊DCE和等邊DCF（點E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF（1）如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；（3）若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【分析】（1）AE+BF=AB，可證明CBFCAD和CDBCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論；（2）BFAE=AB，由CBFCAD和CBDCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論；（3）AEBF=AB，由CBFCAD和CBDCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結(jié)論【解答】解：（1）AE+BF=AB，如圖1，ABC和DCF是等邊三角形，CA=CB，CD=CF，ACB=DCF=60ACD=BCF，在ACD和BCF中ACDBCF（SAS）AD=BF同理：CBDCAE（SAS）BD=AEAE+BF=BD+AD=AB；（2）BFAE=AB，如圖2，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB；（3）AEBF=AB，如圖3，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，靈活運用類比思想，在變化中發(fā)現(xiàn)不變是解決問題的關(guān)鍵11如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=90（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；（2）求證：ABFDEC；（3）求證：四邊形BCEF是矩形【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定【分析】（1）解直角三角形即可求出答案；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出A=D，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF=CE，AFB=DCE，求出BFC=ECF，推出BFEC，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BCEF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可【解答】（1）解：CEF=90cosECF=ECF=30，CF=8CF=CFcos30=8=4；（2）證明：ABDE，A=D，在ABF和DEC中ABFDEC （SAS）；（3）證明：由（2）可知：ABFDEC，BF=CE，AFB=DCE，AFB+BFC=180，DCE+ECF=180，BFC=ECF，BFEC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEF=90，四邊形BCEF是矩形【點評】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合運用性質(zhì)定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中12如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50，求EBC的度數(shù)？【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出ABE和DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB=EC，推出EBC=ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出AEB=2EBC，代入求出即可【解答】（1）證明：在ABE和DCE中ABEDCE（AAS）；（2）解：ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=25【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力13如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點D，過點D作DEAB于點E（1）求證：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的長【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出DEB=90，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可【解答】（1）證明：AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=ED，DEA=C=90，在RtACD和RtAED中RtACDRtAED（HL）；（2）解：DC=DE=1，DEAB，DEB=90，B=30，BD=2DE=2【點評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等14如圖，點D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【專題】證明題【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到B=C，然后證明ABDACE即可證得結(jié)論【解答】證明：AB=AC，B=C，在ABD與ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等邊對等角得到B=C15已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】首先根據(jù)ABCD，可得B=C，A=D，結(jié)合OA=OD，可知證明出AOBDOC，即可得到AB=CD【解答】證明：ABCD，B=C，A=D，在AOB和DOC中，AOBDOC（AAS），AB=CD【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定定理以及平行線的性質(zhì)，此題基礎(chǔ)題，比較簡單16（2013大慶）如圖，把一個直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60，使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）在CBF和DBG中，利用SAS即可證得兩個三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理，即可證得DHF=CBF=60，從而求解【解答】（1）證明：在CBF和DBG中，CBFDBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，又BCF中，CBF=180BCFCFB，DHF中，DHF=180BDGDFH，DHF=CBF=60，F(xiàn)HG=180DHF=18060=120【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵17如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】求出BC=EF，根據(jù)平行線性質(zhì)求出B=E，ACB=DFE，根據(jù)ASA推出ABCDEF即可【解答】證明：FB=CE，F(xiàn)B+FC=CE+FC，BC=EF，ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AC=DF【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】證明題【分析】求出AD=AE，AB=AC，DAB=EAC，根據(jù)SAS證出ADBAEC即可【解答】證明：ABC和ADE都是等腰直角三角形AD=AE，AB=AC，又EAC=90+CAD，DAB=90+CAD，DAB=EAC，在ADB和AEC中ADBAEC（SAS），BD=CE【點評】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出ADBAEC19如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題【分析】首先得出BC=EF，利用平行線的性質(zhì)B=DEF，再利用AAS得出ABCDEF，即可得出答案【解答】證明：BE=CF，BC=EFABDE，B=DEF在ABC與DEF中，ABCDEF（AAS），AB=DE【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵20（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應(yīng)用題把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學(xué)生？【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）求出CAB=DAB，根據(jù)SAS推出ABCABD即可；（2）設(shè)這個班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得出方程3x+20=4x25，求出即可【解答】（1）證明：AB平分CAD，CAB=DAB，在ABC和ABD中ABCABD（SAS），BC=BD（2）解：設(shè)這個班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x25，解得：x=45，答：這個班有45名學(xué)生【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，一元一次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和列方程的能力21（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AOD=120，求AC的長【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得B=DCE，再利用SAS定理證明ABCDCE可得A=D；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AO=BO=CO=DO，再證明AOB是等邊三角形，可得AO=AB=4，進而得到AC=2AO=8【解答】（1）證明：ABDC，B=DCE，在ABC和DCE中，ABCDCE（SAS），A=D；（2）解：四邊形ABCD是矩形，AO=BO=CO=DO，AOD=120，AOB=60，AOB是等邊三角形，AO=AB=4，AC=2AO=8【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具22如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55，求EGC的大小【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】（1）利用AEBCFB來求證AE=CF（2）利用角的關(guān)系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得結(jié)果【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC，BEBF，F(xiàn)BE=90，ABE+EBC=90，CBF+EBC=90，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）解：BEBF，F(xiàn)BE=90，又BE=BF，BEF=EFB=45，四邊形ABCD是正方形，ABC=90，又ABE=55，EBG=9055=35，EGC=EBG+BEF=45+35=80【點評】本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質(zhì)及等腰三角形，解題的關(guān)鍵是求得AEBCFB，找出相等的線段23如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于點E在ABC外有一點F，使FAAE，F(xiàn)CBC（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME求證：MEBC；DE=DN【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】證明題；幾何綜合題【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出B=ACB=45，再求出ACF=45，從而得到B=ACF，根據(jù)同角的余角相等求出BAE=CAF，然后利用“角邊角”證明ABE和ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）過點E作EHAB于H，求出BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；求出CAE=CEA=67.5，根據(jù)等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明RtACM和RtECM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得ACM=ECM=22.5，從而求出DAE=ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明ADE和CDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可【解答】證明：（1）BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，F(xiàn)CBC，BCF=90，ACF=9045=45，B=ACF，BAC=90，F(xiàn)AAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如圖，過點E作EHAB于H，則BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC；由題意得，CAE=45+45=67.5，CEA=1804567.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=45=22.5，又DAE=45=22.5，DAE=ECM，BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角24【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)HL，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若BA，則ABCDEF【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖【專題】壓軸題；探究型【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點C作CGAB交AB的延長線于G，過點F作FHDE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出CBG=FEH，再利用“角角邊”證明CBG和FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明RtACG和RtDFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得A=D，然后利用“角角邊”證明ABC和DEF全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到DEF與ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，B不小于A即可【解答】（1）解：HL；（2）證明：如圖，過點C作CGAB交AB的延長線于G，過點F作FHDE交DE的延長線于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是鈍角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如圖，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，則ABCDEF故答案為：（1）HL；（4）BA【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細25問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇