同濟高等數(shù)學(第六版)第三章PPT D3習題課.ppt

二 導數(shù)應用 習題課 一 微分中值定理及其應用 中值定理及導數(shù)的應用 第三章 一 微分中值定理及其應用 1 微分中值定理及其相互關系 羅爾定理 柯西中值定理 2 微分中值定理的主要應用 1 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài) 2 證明恒等式或不等式 3 證明有關中值問題的結論 3 有關中值問題的解題方法 利用逆向思維 設輔助函數(shù) 一般解題方法 證明含一個中值的等式或根的存在 2 若結論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) 3 若結論中含兩個或兩個以上的中值 可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) 多用羅爾定理 可考慮用 柯西中值定理 必須多次應用 中值定理 4 若已知條件中含高階導數(shù) 多考慮用泰勒公式 5 若結論為不等式 要注意適當放大或縮小的技巧 有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 例1 設函數(shù) 在 內(nèi)可導 且 證明 在 內(nèi)有界 證 取點 再取異于 的點 對 為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理 得 定數(shù) 可見對任意 即得所證 例2 設 在 內(nèi)可導 且 證明至少存在一點 使 上連續(xù) 在 證 問題轉(zhuǎn)化為證 設輔助函數(shù) 顯然 在 0 1 上滿足羅爾定理條件 故至 使 即有 少存在一點 例3 且 試證存在 證 欲證 因f x 在 a b 上滿足拉氏中值定理條件 故有 將 代入 化簡得 故有 即要證 例4 設實數(shù) 滿足下述等式 證明方程 在 0 1 內(nèi)至少有一 個實根 證 令 則可設 且 由羅爾定理知存在一點 使 即 例5 設函數(shù)f x 在 0 3 上連續(xù) 在 0 3 內(nèi)可導 且 分析 所給條件可寫為 2003考研 試證必存在 想到找一點c 使 證 因f x 在 0 3 上連續(xù) 所以在 0 2 上連續(xù) 且在 0 2 上有最大值M與最小值m 故 由介值定理 至少存在一點 由羅爾定理知 必存在 例6 設函數(shù) 在 上二階可導 且 證明 證 由泰勒公式得 兩式相減得 二 導數(shù)應用 1 研究函數(shù)的性態(tài) 增減 極值 凹凸 拐點 漸近線 曲率 2 解決最值問題 目標函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題 3 其他應用 求不定式極限 幾何應用 相關變化率 證明不等式 研究方程實根等 4 補充定理 見下頁 設函數(shù) 在 上具有n階導數(shù) 且 則當 時 證 令 則 利用 在 處的n 1階泰勒公式得 因此 時 定理 的連續(xù)性及導函數(shù) 例7 填空題 1 設函數(shù) 其導數(shù)圖形如圖所示 單調(diào)減區(qū)間為 極小值點為 極大值點為 提示 的正負作f x 的示意圖 單調(diào)增區(qū)間為 在區(qū)間上是凸弧 拐點為 提示 的正負作f x 的示意圖 形在區(qū)間上是凹弧 則函數(shù)f x 的圖 2 設函數(shù) 的圖形如圖所示 例8 證明 在 上單調(diào)增加 證 令 在 x x 1 上利用拉氏中值定理 故當x 0時 從而 在 上單調(diào)增 得 例9 設 在 上可導 且 證明f x 至多只有一個零點 證 設 則 故 在 上連續(xù)單調(diào)遞增 從而至多只有 一個零點 又因 因此 也至多只有一個零點 思考 若題中 改為 其它不變時 如何設輔助函數(shù) 例10 求數(shù)列 的最大項 證 設 用對數(shù)求導法得 令 得 因為 在 只有唯一的極大點 因此在 處 也取最大值 又因 中的最大項 極大值 列表判別 例11 證明 證 設 則 故 時 單調(diào)增加 從而 即 思考 證明 時 如何設輔助 函數(shù)更好 提示 例12 設 在 上 存在 且單調(diào) 遞減 有 證 設 則 所以當 令 得 即所證不等式成立 證明對一切 例13 證 只要證 利用一階泰勒公式 得 故原不等式成立 例14 證明當x 0時 證 令 則 法1 由 在 處的二階泰勒公式 得 故所證不等式成立 與1之間 法2 列表判別 即 例15 求 解法1利用中值定理求極限 原式 解法2利用泰勒公式 令 則 原式 解法3利用羅必塔法則 原式 P1825 7 8 10 2 3 11 1 17 20 作業(yè) 備用題 1 設函數(shù) 上具有二階導數(shù) 且滿足 證 故序列 發(fā)散 2007考研 保號性定理 2 設 在區(qū)間 上連續(xù) 且 試證存在 使 證 不防設 必有 使 故 保號性定理 必有 使 故 又在 上 連續(xù) 由零點定理知 存在 使 3 已知函數(shù) 內(nèi)可導 且 證 1 令 故存在 使 即 2005考研 內(nèi)可導 且 2 根據(jù)拉各朗日中值定理 存在 使 3 已知函數(shù) 階導數(shù) 且存在相等的最大值 并滿足 4 設函數(shù) 證 據(jù)泰