近世代數(shù)初步(第二版)課后習(xí)題答案(石生明)03.pdf

第三章 有限域及其應(yīng)用 暢 有限域中的元素的數(shù)目 pn元域的存在及唯一性 它的結(jié)構(gòu) Zp上的 n 維向量空間 是 xp n x 的全部根 它的全部非零元組成乘法循環(huán)群 它的 子域 暢 有限域上不可約多項(xiàng)式的性質(zhì) Fq上全部 n 次不可約多項(xiàng)式皆為 xq n x 的因子 不可約多項(xiàng)式 f x cx 的周期性 本原多項(xiàng)式及用于糾錯(cuò)碼 暢 移位寄存器序列 線性遞歸序列 序列的數(shù)學(xué)刻畫 引入 F 上向量空間 V F a a a a ai F 及 V F 上左移變換 L La a a a 對(duì) F 上遞歸關(guān)系 an k cn a n k cn a n k c ak k 倡 引入 F 上多項(xiàng)式 f x xn cn xn c 則 V F 中向量 a 滿足 倡 即 a是滿足 倡 的線性遞歸序列 的充分必要條 件是 f L a 0 優(yōu)美的理論結(jié)果 0 a 的周期等于 f x 的周期 這時(shí) f x 必須是不可約 多項(xiàng)式且 f x x m 序列及其優(yōu)美性質(zhì) 參看習(xí)題 暢 內(nèi)容是總導(dǎo)引中第一點(diǎn)思想的又一體現(xiàn) 讀者自己察看一下 中 共組織了兩個(gè)運(yùn)算系統(tǒng) 一個(gè)是 F 上的無限序列作成的線性空間 V F 一個(gè) 是引入左移變換 L 組成了 V F 上線性變換的多項(xiàng)式環(huán) 正是有這兩個(gè)運(yùn)算 系統(tǒng)才能將線性遞歸序列的周期性與 F 上多項(xiàng)式的理論聯(lián)系起來 暢 及 內(nèi)容是有限域及其上的多項(xiàng)式理論的一個(gè)簡(jiǎn)短而較全面的介 紹 這在一般近世代數(shù)教材中少見 而 內(nèi)容在這些教材中從未出現(xiàn)過 其中 的應(yīng)用使我們看到這些內(nèi)容與當(dāng)代信息技術(shù)有密切聯(lián)系 實(shí)際上它們對(duì)今后更 86 大范圍的應(yīng)用來說也是基本的 暢 內(nèi)容是理論與實(shí)踐相互促進(jìn)的范例 正是分析移位寄存器序列性質(zhì) 的需要產(chǎn)生了理論的研究 理論的建立和優(yōu)美的結(jié)果又解決了實(shí)踐中的問題 這 充分顯示了理論的力量 讀者試作出一個(gè)具體線性遞歸序列來驗(yàn)證一下 中關(guān)于周期性的結(jié)果 1 有限域的基本構(gòu)造 倡 暢 驗(yàn)證 x 及 x x 皆為Z x 上不可約多項(xiàng)式 寫出下列兩域 Z x x 及 Z x x x 的加法表和乘法表 找出這兩個(gè)域之間的同構(gòu)對(duì)應(yīng) 倡 暢 作出Z x Z x 中所有的二次 三次 及兩個(gè)四次不可約多項(xiàng)式 作出 個(gè)元的域 倡 暢 f x f x 都是Zp x 上 m 次不可約多項(xiàng)式 則 Zp x f x 碖 Zp x f x 暢 作出一個(gè) 個(gè)元的域 并在其中找出一個(gè) 個(gè)元的子域 倡 暢 設(shè) d m 證明 pd pm xp d x xp m x 倡 暢 設(shè) Fpn Zp 問 是乘法群 F倡pn Fpn 的生成元嗎 暢 x 及 x x 在Z 上皆無根 故它們?cè)赯 x 中不可約 Z x x 及 Z x x x 都是域 我們略去它們的加法表和乘法表 只證明它們同構(gòu) Z x x Z 珔 x 其中 珔 x x x 珔 x 滿足Z 上 x 而 96 Z x x x Z 珕 x 其中 珕 x x x x 珕 x 滿足Z 上 x x 我們要找出Z 珕 x 中的 元素 滿足方程 x 實(shí)際上由 珕 x 珕 x 珕 x 珕 x 珕 x 珕 x 珕 x 在Z 中 取 珕 x 就適合 由此 Z Z 再由Z 徹 Z 珕 x 及 Z 珕 x Z 知Z Z 珕 x 現(xiàn)作映 射 Z x 枴 Z Z 珕 x Z x x x p x p 這是滿同態(tài) 且 Ker x 由同態(tài)基本定理得同構(gòu) Z x x Z p 珔 x p 其中 珔 x x x 暢 Z x 中不可約多項(xiàng)式如下 一次的 x x 二次的 x x 三次的 x x x x 四次的 x x x x x x x x Z x 中不可約多項(xiàng)式如下 一次的 x x x 二次的 x x x x x 三次的 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 四次的 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 找尋的步驟 列舉出Z x Z x 中所有一次 二次 三次及四次多項(xiàng) 式 一次多項(xiàng)式皆不可約 檢驗(yàn)Z x Z x 中哪些二次 三次多項(xiàng)式在Z Z 中沒有根 它們是 不可約多項(xiàng)式 檢驗(yàn)Z x Z x 中哪些四次多項(xiàng)式在Z Z 中沒有根 又不是Z x Z x 中兩個(gè)二次不可約多項(xiàng)式的乘積 則它們都是不可約多項(xiàng)式 暢 它們都是 pm個(gè)元的有限域 由定理 知它們同構(gòu) 暢 取Z x 中的四次不可約多項(xiàng)式 x x 則Z x x x 是 07 個(gè)元的域 令 珔 x x x x 則 珔 x 珔 x 珔 x 即 珔 x 是Z x 中二次不可約多項(xiàng)式的根 于是有 Z x x 碖 Z 珔 x 徹 Z 珔 x Z x x x 這表明Z 珔 x 是Z 珔 x 中的 個(gè)元的子域 暢 d m 令 m kd 則 pm pkd pd k pd pd k pd k pd 故 pd pm 令 pm l pd 則 xp m x p d l xp d x p d l x p d l xp d 故 xp d xp m 即得 xp d x xp m x 暢 不一定 例Z x x F 令 珔 x x x 它滿足 珔 x 當(dāng)然有 珔 x 即 珔 x 但 F 是 個(gè)元的域 F倡 F 是 階循環(huán)乘 法群 故 珔 x 不是 F倡的生成元 2 有限域上不可約多項(xiàng)式及其周期 本原多項(xiàng)式及其對(duì)糾錯(cuò)碼的應(yīng)用 以下習(xí)題中打 倡 者為必作題 其余為選作題 倡 暢 驗(yàn)證Z x x 的非零元乘法群是循環(huán)群 找出生成元 x 是否 本原多項(xiàng)式 倡 暢 x x x x 是否Z x 中的本原多項(xiàng)式 倡 暢 證明映射 Fpm 橾 Fpm aap 是 Fpm的自同構(gòu)且保持 Fpm中的素子域 Fp中的元素不動(dòng) 暢 f x 是Zp上 m 次不可約多項(xiàng)式 設(shè) Fpm是 f x 的一個(gè)根 則 p p m 是 f x 的全部 m 個(gè)根 暢 設(shè) Fpm 在Zp上的極小多項(xiàng)式 f x 是 d 次的 則 屬于 Fpm中的 一個(gè) pd個(gè)元的子域 d m 暢 證明 Fpm中元素 與 p在Zp上有相同的極小多項(xiàng)式 17 倡 暢 設(shè) 是Z x 中多項(xiàng)式 x x 的一個(gè)根 把Z 中全部元素用 的線性組合表示出來 并算出 暢 把 x x x x 分解 成 Z x 上 不 可 約 多 項(xiàng) 式 的 乘 積 把 x x x x 分解成Z x 上不可約多項(xiàng)式的乘積 倡 暢 取Z x 中本原多項(xiàng)式 x x 在多項(xiàng)式 i aix i a x a x a x a 與向量 a a a 等同的約定下 作碼集合 M x x b x b x b x b bi Z i 取 f x x x c x c x c 試決定 c c c 使 f x 屬于碼 集合 M ii 設(shè) f x x x x x x x 及 f x x x x x x 是接受到的向量 并設(shè)傳輸過程中最多錯(cuò)一位 試進(jìn)行譯碼 暢 令 珔 x x x 計(jì)算 珔 x 的各方冪 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 珔 x 故 珔 x 生成了非零元素乘法群 它是 階循環(huán)群 珔 x 只是 階元 它不是生成 元 從而證明 x 不是本原多項(xiàng)式 暢 x x 的周期是 的因子 它不是 x 的因子 故周期不為 只能是 所以它是本原多項(xiàng)式 x x 的周期是 的因子 但 x x 嘲 x x x 故它的周期只能是 因此是本原多項(xiàng)式 暢 橙 a b Fpm 有 a b p ap bp及 ab p apbp故是 同態(tài) 又由第 二章 習(xí)題 知 a b p ap bp 故這是單射 又上面的映射是有限集 Fpm中的單射 必是滿射 因此是 Fpm的自 同構(gòu) 由于子域 Fp是 p 個(gè)元的域 由第二章 習(xí)題 知這映射是 Fp上的恒等 變換 暢 設(shè) f x amxm am xm a x a ai Zp 因此 api ai 第二 章 習(xí)題 27 設(shè) a Fpm滿足 f a 則 f a p amam a p apmamp ap ap ap am ap m a ap a f ap 即 ap也是 f x 的根 設(shè) a ap ap ap k 中兩兩不同 ap k 與前面某 ap l 相同 a ap ap k 是 f x 的 k 個(gè) 不同的根 故 k m 又若 l k 則 ap l ap k l p l 因 aap l 是 Fpm的自 同構(gòu) 習(xí)題 上式兩端元素的原象應(yīng)相等 得 a ap k l 又 k l k 與 a ap ap k 中兩兩不同矛盾 故 l 即 a ap k 令 g x x a x ap x ap k xk b xk bk 則 b a ap ap k bk ka ap ap k bp p ap ap ap k ap ap k a b bpk kpap ap ap k kapap ap k a bk 任意bi i a ap ap k 中任取 i 個(gè)的乘積之和 bpi i p ap ap ap k 中任取 i 個(gè)的乘積之和 i ap ap ap k a 中任取 i 個(gè)的乘積之和 bi 即所有 bi滿足 xp x 故所有 bi屬于 Fpm的子域Zp之 中 因此 g x 是Zp上的多項(xiàng)式 因 f x g x 在 Fpm x 中有公因式 x a 故 f x g x 在Zp x 中不互素 又 f x 是Zp x 中不可約多項(xiàng)式 且 g x 的 次數(shù) m 故 f x 與g x 是相伴的 因而 k m 且 a ap ap ap m 是 f x 的全部 m 個(gè)根 暢 因 f x 是 在Zp上的極小多項(xiàng)式 由第二章 定理 f x 在Zp x 中不可約 由 f 有 Fpm澈 Zp 碖 Zp x f x 又 f x 是 d 次的 故Zp 是 pd個(gè)元的子域 再由定理 知 d m 暢 設(shè) Fpm的元 在Zp上的極小多項(xiàng)式為 f x 由第二章 定理 知它在 Zp x 中不可約 再由第 題 f p 這時(shí) f x 不可約 仍由第二章 定理 它是 p在Zp上的極小多項(xiàng)式 暢 由 習(xí)題 知 x x 是Z x 中不可約多項(xiàng)式 是它的根 故 Z a a a a a a a a Z 易計(jì)算知 即有 于是 暢 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 37 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 暢 i 作除法算式 x x x x x x 取 C C C f x x x x x x x 就屬于碼集合 M ii f x x x x x 故傳輸過程中無錯(cuò)誤 f x x x x x x 作計(jì)算 x x x x x x x x x x mod x x x x x x x x x modx x 即 x x x 但 x x x 故 x x x modx x 這即說明 f x 錯(cuò)在 x 項(xiàng)上 原來輸出的碼字應(yīng)為 f x x x x x x x x 3 線性移位寄存器序列 以下習(xí)題中打 倡 者為必作題 其余為選作題 暢 Fp p 為素?cái)?shù) 上首項(xiàng)系數(shù)為 的 m 次本原多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為 pm m 這里 是歐拉函數(shù) 參見第二章 并算出Z Z 上三次 四次本原多項(xiàng)式 的數(shù)目 倡 暢 作出Z 上兩個(gè)周期為 的 m 序列 寫出 個(gè)周期的長(zhǎng)度 倡 暢 設(shè) F 上序列 a a a a 的周期為 e 證明 i 若有 e 使 ak e ak k 則 e e ii 若令 S a ae S a ae Se ae a e 則它們兩兩不同 倡 暢 設(shè) f x 是 F 上 n 次不可約多項(xiàng)式 則 i G f 是 F 上向量空間 ii 對(duì)任意 a G f 令 Sa a a an 稱為 a 的初始狀態(tài)向量 則 橙 a b G f a b 當(dāng)且僅當(dāng) Sa Sb iii a ak a G f l lk F 則 47 a l a lkak當(dāng)且僅當(dāng) Sa l Sa lkSak 于是 a ak線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) Sa Sak線性相關(guān) iv G f 是 F 上 n 維空間 暢 設(shè) f x 是 F x 中 n 次本原多項(xiàng)式 a 是 G f 中非零序列 即 m 序 列 則 a a La a L n a a n 是 G f 中全部非零序列 進(jìn)一步 Sa Sa Sa n 全不相同 它們是 F 上 n 元向量空間中全部非零向量 暢 設(shè) a a a a 是 F 上周期為 n 的 m 序列 將 a 的一個(gè)周期 a a a n 中的元 依次排在圓周上 并使 a n 與 a aan 相鄰 則 F 上的任一 k 元組 k n b b bk 在上述圓周中出現(xiàn)的次數(shù)為 n k 若 b b bk n k 若 b b bk 考察有多少個(gè) Sai的前 k 個(gè)元正是 b b bk 暢 a 為 F 上周期為 n 的 m 序列 則在 a 的一個(gè)周期中 的數(shù)目為 n 的數(shù)目為 n 暢 對(duì)習(xí)題 中作出的 F 上周期為 的兩個(gè) m 序列的一個(gè)周期排成圓圈 如習(xí)題 數(shù)出 出現(xiàn)的次數(shù) 暢 考慮域 Fpm 它由 Fp上多項(xiàng)式 xp m x 的全部根組成 將 xp m x 分解成 Fp上不可約多項(xiàng)式的乘積 任一 Fp上 m 次不可約多項(xiàng)式 f x 都是它的因子 57 故 f x 在 Fpm中有 m 個(gè)根 任取一根 則 Fpm Fp 碖 Fp x f x F 珔 x 其中 珔 x x f x 由此知 f x 是 Fp上 m 次本原多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng) 珔 x 是 pm 階乘法循環(huán)群 Fp 珔 x 的生成元當(dāng)且僅當(dāng) 是乘法循環(huán)群 Fp Fpm 的生成元 反之 任取 Fpm 的任一生成元 則它必為 Fp上某不可約多項(xiàng)式 f x 的根 顯然 Fpm Fp 碖 Fp x f x 比較兩邊元素的數(shù)目 知 f x 是 m 次不可約多項(xiàng)式 又 是乘法循環(huán)群 Fpm 的生成元 前一段證明了 f x 是 Fp上 m 次本原多項(xiàng)式 m 次本原多項(xiàng)式都是 xp m x 的因式 后者無重根 故全體 m 次本原多項(xiàng) 式在 Fpm中的全體根也各不相重 設(shè)共有 k 個(gè) m 次本原多項(xiàng)式 它們共有 mk 個(gè) 根 前面證明了它們是 pm 階乘法循環(huán)群 Fpm 的全部生成元 任取一個(gè) 生成元 由第一章 習(xí)題 知 n是生成元當(dāng)且僅當(dāng) n pm 故 Fpm 的生成元的數(shù)目等于與 pm 互素的且小于 pm 的正整數(shù)的數(shù)目即 pm 由于 mk pm 得 k m p m Z Z 上 次 次本原多項(xiàng)式的數(shù)目分別是 用第二章 中關(guān)于 n 的公式進(jìn)行計(jì)算 得到 暢 取Z 上的三次本原多項(xiàng)式 x x Z 上的 次不可約多項(xiàng)式都是本 原多項(xiàng)式 作線性遞歸序列a a a a 其遞歸關(guān)系為 ak ak ak k 因 x x 為本原多項(xiàng)式 它的周期 因而上述序列的周期為 取 a a a 可計(jì)算出 a 取 a a a 可計(jì)算出 a 暢 i 作除法算式 e le e e 或 e e 若 e e 則對(duì) k 67 有 ak e ak e le ak e ak 即 e 也是a 的周期與 e 是極小周期矛盾 故 e e le ii 若有 i j e 使 Si Sj 即 ai ai ai e aj aj aj e 當(dāng) i 由 ai e ai aj e aj 并把上面兩端向量的前 e 個(gè)分量 都向右移一位 而最后一位分量移至第一位 得到的兩向量仍相等 ai ai a i e aj aj a j e 即 Si Sj 可繼續(xù)這樣做 結(jié)果得到 S Si i Sj i 于是對(duì)任意 t e 有 at at j i 而對(duì)任意 k 作除法算式 設(shè) k le s s e 則 ak ak le as as j i as le j i ak j i 即a 有周期 j i 而 j i e 與 e 為極小周期矛盾 故任意 i j e 必有 Si Sj 暢 i G f a V F f L a 橙 a b G f 則 f L a f L b 于是 f L ab f L a f L bab G f 又設(shè) l F aG f f L lal f L ala G f 因此 G f 是 V F 的子空間 ii 橙 a bG f 顯然ab 推出 Sa Sb 反之 設(shè) Sa Sb 對(duì) k 有 ak n cn ak n c ak c ck bk n cn bk n c bk c bk 由 Sa Sb 并在上式中令 k 則有 an bn 于是 SLa a a an b b bn SLb 但 f L LaLf L a f L Lb Lf L b同 樣可證 SL a SL b 歸納地可證 對(duì)任意 k 有 SLka SLkb 就得到對(duì)任意 k ak n bk n 加上 Sa a a an b b bn Sb 就證明了ab iii ai有初始向量 Sa i 于是若a l a lkak 則顯然 Sa l Sa lkSak 反之 設(shè) Sa l Sa lkSak 因 l a lkak G f 及 Sl a lka l Sa lkSak Sa 由 ii al a lkak 特別地當(dāng)a時(shí)就得到 l a lkak 當(dāng)且僅當(dāng) l Sa lkSak 即有a ak線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) Sa Sa Sak線性相關(guān) iv 考慮到可取 F 上 n 維向量空間的任一組基作初始向量 由遞歸關(guān)系 f L a得到 G f 中的一組序列a an 而初始向量 Sa Sa n是 F 上 n 維向量空間的基 由 iii a an也線性無關(guān) 橙 aG f Sa是 Sa Sa n的 線性組合 再由 ii aa an的線性組合 故a an是 G f 的一組基 因 77 此 G f 是 F 上 n 維線性空間 暢 f x 為 F 上 n 次本原多項(xiàng)式 aG f 中非零序列 則其周期為 n 由習(xí)題 ii 知 Sa Sa Sa n 互不相同 它們是 F 上 n 個(gè)非零的 n 維 向量 但 F 上僅有 n 個(gè)非零的 n 維向量 故 Sa Sa n 是 F 上全部非零 的 n 維向量 由習(xí)題 ii a a n 是 G f 中全部非零序列 暢 設(shè)aa a a 是周期為 n 的 m 序列 由習(xí)題 知 Sa Sa Sa n 是 F 上 n 個(gè)不同的 也即全部非零的 n 元向量 對(duì) k n b b bk 每次出現(xiàn)必有某 Sa i b b bk 因此它出現(xiàn)的次數(shù)正 是這樣的 Sa i的數(shù)目 當(dāng) b b bk 時(shí) 后面 n k 位分量可任 意在 F 上取值 故這樣的 Sa共 n k個(gè) 若 b bk 后面 n k 位分量除了不能全取零外可任意選取 因 Sa i不能為零向量 故這樣的 Sai共有 n k 個(gè) 暢 在習(xí)題 中取 k 當(dāng) b 時(shí) 它出現(xiàn)的次數(shù)是 n 當(dāng) b 時(shí) 它出現(xiàn)的次數(shù)是 n 暢 習(xí)題 出現(xiàn)的周期為 的兩個(gè) m 序列各取一個(gè)周期 分別為 及 排成的圓圈是下列同樣的圓圈 可見到 出現(xiàn) 次 出現(xiàn) 次 出現(xiàn) 次 出現(xiàn) 次 出現(xiàn) 次 87 第四章 有因式分解唯一性的環(huán) 暢 基本概念 因子 倍元 相伴 不可約元 素元 因式分解及唯一性 公因 子 最大公因子 暢 整環(huán)成為唯一因分解環(huán)的充要條件 不是唯一因式分解環(huán)的例子 暢 歐氏環(huán)及例子 Z 域上多項(xiàng)式環(huán) 高斯整數(shù)環(huán) 主理想環(huán)及其因式分解唯一性 暢 交換環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán) 唯一因式分解環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)仍是唯一因式分 解環(huán) 暢 幾個(gè)典型環(huán)類的包含關(guān)系 歐氏環(huán)主理想環(huán)唯一因式分解環(huán)整環(huán) 暢 在其它抽象代數(shù)教材中 由于內(nèi)容的邏輯體系的需要 都是把本章內(nèi)容 作為主要內(nèi)容放在域論內(nèi)容之前 占用了大量教學(xué)用時(shí) 以致只能講很少域論內(nèi) 容 為了教材內(nèi)容現(xiàn)代化 為了寫入應(yīng)用內(nèi)容和為應(yīng)用所需的理論內(nèi)容 我們把 域論和域論的應(yīng)用內(nèi)容放在前面 而把本章內(nèi)容放在最后 時(shí)間不夠 可以少講 和不講 這是教材內(nèi)容的重要改革 暢 本章 的內(nèi)容是為說明一般域甚至交換環(huán)上多項(xiàng)式的存在性 多項(xiàng)式 是一類運(yùn)算系統(tǒng) 必須舉出實(shí)例才能表明對(duì)它的討論有意義 本書的第二章 及第三章 的內(nèi)容都是以一般域上多項(xiàng)式的存在為前提的 暢 中定理 的證明中又采用了將整系數(shù)作模 p 剩余類的方法 這個(gè)證 明比以前教科書 包括本書第一版 中的證明有所簡(jiǎn)化 暢 內(nèi)容要點(diǎn)中第 點(diǎn)中的包含關(guān)系是嚴(yán)格的真包含關(guān)系 要能用例子說明 此關(guān)系 97 1 整環(huán)的因式分解 以下習(xí)題中打 倡 者為必作題 其余是選作題 倡 暢 試說明整環(huán)中的零元 可逆元不能是不可約元的乘積 倡 暢 R 是整環(huán) 則它的素元是不可約元 倡 暢 R 是整環(huán) 則 a R 是素元當(dāng)且僅當(dāng)主理想 a aR 是非零素理想 第 二章 習(xí)題 暢 令整環(huán) M a b i a b Z 求出 M 的全部可逆元 證明它沒有因式分解唯一性 舉反例 有 M 中非零的不 可逆元 a 它沒有分解唯一性 倡 暢 證明在環(huán)Z 中 i 和 沒有最大公因子 暢 R 為整環(huán) a b R a b 不同時(shí)為零 a a d b b d 則 d 是 a b 的最大公因子當(dāng)且僅當(dāng) a b 互素 把 a b 兩個(gè)元素推廣到任意 k 個(gè)元素的 情形 暢 設(shè) M 是形為m k m 任意整數(shù) k 非負(fù)整數(shù) 的全部有理數(shù)的集合 則它是 Q 的子環(huán) 找出 M 的全部可逆元和不可約元 暢 R 是唯一因式分解環(huán) a b R 是互素的 且 a bc 則 a c 倡 暢 R 是唯一因式分解環(huán) p 為不可約元 則 珚 R R p 為整環(huán) 暢 設(shè)在整環(huán) R 中有 p p ps pi是不可約元 于是 p 及 ps都是零因 子 與 R 是整環(huán)矛盾 又設(shè)可逆元 u p ps pi是不可約元 并設(shè) uv 則 p p psv 得 出 p 是可逆元 與 p 非可逆矛盾 暢 設(shè) u 是素元 若 u 可約 則 u v v v v 皆非可逆 于是 u v v u 又是素元 必有 u v 或 u v 若 u v 則 v uv 某 v R 因此 u v v u vv R是整環(huán) u 用消去律得 vv 與 v 非可逆矛盾 同樣 u v 也 08 有矛盾 故 u 不可約 暢 設(shè) aR 是非零素理想 故 a 是非零的非可逆元 對(duì) b c R a bc 則 bc aR 故 b aR 或 c aR 即 a b 或 a c 所以 a 是素元 反之 設(shè) a 是素元 b c R bc aR 于是 a bc 有 a b 或 a c 即 b aR 或 c aR 又 a 是非零非可逆元 故 aR 及 aR R 所以 aR 是非零素理想 暢 設(shè) a b i c d i a b c d Z 對(duì)兩端取復(fù)數(shù)模平方 得 a b c d 若 b 或 d 則 b 或 d 左端必大于 不可能 所以 b d 得到 ac a 故 a b i 在 M 中可逆當(dāng)且僅 當(dāng) b a 在 M 中有兩種分解 i i 下證 i 皆為 M 中不可約元 實(shí)際上它們的模平方皆為 令它們中任一 個(gè)為 設(shè) 皆非可逆 而 M 中非可逆元 a b i 必有 b 或 a 這時(shí) a b i a b 于是 而左端 不能相等 故 i 皆為不可約元 分解成 M 中的不可約元乘積的方式不 唯一 暢 要證明不存在 與 i 在Z i 中的公因子 d 使得 與 i 的任一公因子皆是 d 的因子 反設(shè) d a b i a b Z 滿足上述要求 由于 是 與 i 的公 因子 故 d 即有 c e Z 使 a b i c e i 于是 a c b e 但 d 兩邊取模平方得 c e 則有 c e 只有 c e c e 這幾種情況適合這條件 故 c e i 的僅有的可能為 i 即 d a b i 的僅有的可能為 i 若 d i d d 取模平方 d 得 故 暢 d 這不可能 若 d d i i d 取模平方 d 得 i d 也不可能 故 i 在Z i 中沒有最大公因子 暢 這時(shí) d 設(shè) a b 不互素 則有 d 非可逆元是它們的公因子 則 dd 是 a b 的公因子 而 d 為最大公因子 故 dd d 有 d R dd d d R 是整環(huán) 用乘法消去律得 d d 即 d 是可逆元 矛盾 故 a b 互素 反之 設(shè) a b 互素 又設(shè) d 是 a b 的最大公因子 則 d d 有 d R 使 d dd d 是 a b 的因子 有 a b R 使 a d a dd a da 及 b d b dd b db 用消去律 d a a d b b 于是 d 是 a b 的公因 18 子 但 a b 互素故 d 為可逆元 由此知 d d d 也是 a b 的最大公 因子 略 暢 由于 M 中的元具有形式 m k 它們的和 差 積仍為這種形式的元 故 M 是Q 設(shè) m k 為 M 中可逆元 則有 n l使 m k n l 故 m 必為 t t 為非負(fù)整數(shù) 反 之 對(duì) t k k t 皆非負(fù)整數(shù) 則 k t屬于 M 且 t k k t 故在 M 中可逆 因此 M 中可逆元集 t k t k 皆非負(fù)整數(shù) 由此易知 M 中非可逆元集 m k m 是具有奇素?cái)?shù)因子的非負(fù)整數(shù) 下面證明 m k 為 M 中不可約元當(dāng)且僅當(dāng) m p t 其中 p 為奇素?cái)?shù) t 為 非負(fù)整數(shù) 先設(shè) m k m p t p 為奇素?cái)?shù) 若 m k m k m k 則 m m p t 因 此 m m 中的一個(gè)只是 的非負(fù)方冪 于是 m k m k 中有一個(gè)是可逆元 因此 m k 是不可約元 再設(shè) m k m p p m p p 皆為奇素?cái)?shù) 可以相同 m 為整數(shù) 則 m k p p m k 右端是 M 中兩個(gè)非可逆元的乘積 因此 m k 為 M 中可約元 故若 m k 在 M 中不可約 必須 m p t 其中 p 為奇素?cái)?shù) t 非負(fù)整數(shù) 證畢 暢 設(shè) bc ad 將 b c 分解成不可約因式的乘積 b p ps c ps pt 再將 a d 分解成不可約因式的乘積 a q qr d qr ql 由 bc ad 及因 式分解唯一性知 t l 及有 t 的一個(gè)排列 i i it 使 pij與 qj相伴 對(duì) j r qj是a的不可約因子 則 pij不在 p ps之中 否則 a 與 b 有公因子 pij 與它們互素矛盾 這樣 pi pir必出現(xiàn)在 c 的分解中 它與 a q qr相伴 故 a c 暢 R 為唯一因式分解環(huán) 由 定理 及定義 知它的不可約元 p 為素 元 設(shè) 珋 c 珔 d 是 珚 R 的兩個(gè)非零元 來證 珋 c珔 d 即 珚 R 是整環(huán) 反證法設(shè)cd 珋 c珔 d 28 則 p cd 因 p 為素元 則或 p c 或 p d 即或 珋 c 或 珔 d 矛盾 故cd 珚 R 為整環(huán) 2 歐氏環(huán) 主理想整環(huán) 以下習(xí)題中打 倡 者為必作題 其余為選作題 倡 暢 主理想環(huán)的商環(huán)是主理想環(huán) 倡 暢 R 是主理想環(huán) a 為 R 中不可約元 則 i a 為極大理想 ii a為素元 iii 每個(gè)非 素理想 見第二章 習(xí)題 是極大理想 iv R a 是域 暢 證明 M a b i a b Z 是歐氏環(huán) 仿例 倡 暢 p 是素?cái)?shù) 令 R a b a b Z b p i 證明 R 是整環(huán) ii 求出 R 的所有可逆元 iii 證明 R 的所有非可逆元組成 R 的唯一極大理想 iv 上述極大理想是主理想 v 求出 R 的全部理想 倡 暢 找出高斯整數(shù)環(huán)Z a bi a b Z 的全部可逆元 倡 暢 高斯整數(shù)環(huán)的元素 a 滿足 a 素?cái)?shù) 則 a為不可約元 暢 R 是歐氏環(huán) 求證 i 若 R 倡 R 則 是 R 中可逆元當(dāng)且僅當(dāng) 橙 a R 倡 有 a ii 設(shè) a R 倡 a 不可逆 若對(duì)所有不可逆元 b R 倡 都有 a b 則 a 是 R 中不可約元 暢 R a b i a b Z 則 R 是主理想環(huán)但不是歐氏環(huán) 參看 Motzkin The Euclidean algorithm Bull Amer Math Soc 或參看張勤海著枟抽象代數(shù)枠 科學(xué)出版社 中推論 暢 暢 及命題 暢 暢 暢 R 是主理想環(huán) d 是 R 中非零元 則 R 中只有有限個(gè)不同的素理想包含 38 d 提示 d 炒 k 癡 k d 暢 設(shè) R 為主理想環(huán) 珚 R R I 為商環(huán) 任取一個(gè)理想 珡 N 令 N r R 珋 r r I 珡 N 易證它是 R 的理想并包含 I 參見第二章 習(xí)題 R 是主理 想環(huán) 故有 N aR 于是 珡 N 珔 a珚 R 即 珚 R 是主理想環(huán) 暢 i 設(shè)有 a 炒 M 炒 R M 為 R 的理想 故有 b M 使 M b a b 有 a br r R 因 a 不可約 b r 中必有可逆元 若 b 可逆 則 b R 若 r 可逆 則 a b 故 a 是極大理想 ii 主理想環(huán)是唯一因式分解環(huán) 它的不可約元皆為素元 iii 設(shè) b 是非零素理想 由 習(xí)題 b 為素元 因而是不可約元 由 i b 為極大理想 iv 由 i a 為極大理想 故 R a 為域 暢 仿例 令 M 倡 Z 非負(fù)整數(shù)集 a b i a b 當(dāng) a b i a b i 具有性質(zhì) i 橙 M 倡 ii 橙 M 我們證明有 q r R 使得 q 且 或 證明 對(duì) M 及 M 倡 可寫 a b i 這幾 a b Q選最接 近 a b 的整數(shù) k l 使 a k b l 其中 則 k l i k l i i 令 q k l i i q M 則 q 且若 i 故 M a b i a b Z 是歐氏環(huán) 暢 i 設(shè) a b a b R bi p i 于是 b b p a a b b R a b a b b a b a b b R 故 R 是Q 的子環(huán) 因而是整環(huán) ii b p 若 a b 在 R 中可逆 存在 c d R 使 a b c d 這時(shí) b p d p 故 bd p 由 ac bd 于是 a p 48 反之 a b R 若 a p 則 b a R a b b a 即 a b 在 R 中可逆 故 R 中可逆元集 a b a b Z b p a p iii 由 ii 知 a b R 非可逆當(dāng)且僅當(dāng) b p 及 p a 令 M R 中非可逆元 橙 a b c d M 即有 p a p c a b c d bc ad db 這時(shí) db p p bc ad 故 a b c d 非可逆 屬于 M 又 橙 a b M c d R c d a b ac db 這時(shí) db p 及 p ac 故 c d a b 是非可 逆元 屬于 M 這就證明了 M 是 R 的理想 設(shè) M 是 R 的真理想 則 M 中元皆為 R 中的非可逆元 故 M 炒 M 即 M 為 R 的唯一的極大理想 iv 易知 M a b b p p a pR 故為主理想 v 設(shè) M 是 R 的任一非零理想 M 炒 M 任意 a b M b p p a 令 M 的全體元 a b 中使 pl a 的最小的 l 值為k k 則 M 徹 pkR 又設(shè) M 中具有 pk因子的元是p kc d d p c p 則 pk pkc d d c M 于是 pkR 徹 M 即有 M pkR 也易知任一 pkR 也是 R 的理想 故 R 的全部理想是 pkR k 及 零理想 暢 設(shè) a bi 是Z i 中可逆元 則有 c di Z i 使 a bi c di 兩邊取模平方就得 a b c d 只能 a b 有四個(gè)可能 a b a b Z i 中只有四個(gè)可逆元 i 暢 設(shè) a Z i a 素?cái)?shù) 若 a bc b c Z i 因 a a 故 a b c 由于 a 為素?cái)?shù) b 或 c 由習(xí)題 知 b 或c 為可 逆元 故 a 為Z i 中不可約元 暢 設(shè) 是 R 中可逆元 則有 r 對(duì) a R 倡 有 ra a 由 的性質(zhì)知 a 反之 對(duì) R 倡 若 橙 a R 倡 皆有 a 用歐氏環(huán)的定義 對(duì) 有 q r R 使 q r r 或 r 且若 r 則 r 這與題設(shè)矛盾 故 r 得 q 即 為可逆元 ii 設(shè) a 有題設(shè)的性質(zhì) 若 a bc b c 皆非可逆 設(shè)有 q r 使 58 b qa r r 或 r a 若 r 則 b qa qbc 用消去律有 qc 與 c 非 可逆矛盾 若 r 且非可逆 則 a r 與題設(shè) a r 矛盾 故 r 為 可逆元 由 b qa b qbc b qc r 可得 b 為可逆元 與 b 非可逆矛盾 故 a 為 R 的不可約元 暢 不作要求 可參看所列文獻(xiàn) 暢 R 為主理想環(huán) 若某一素理想包含 d 可設(shè)該理想為 k 設(shè) d pl pl plss p ps是不相伴的不可約元或素元 k 是素理想 d 徹 k 則 k 不 為零 由習(xí)題 知 k 為素元 又 k d 知 k 與 p ps之一相伴 故 k 為 pi 之一 i s 3 交換環(huán)上多項(xiàng)式環(huán) 以下習(xí)題中打 倡 者為必作題 其余為選作題 倡 暢 R 是整環(huán) 則 R x 中可逆元一定是 R 中可逆元 暢 設(shè) R 是有限域 令 R R 到 R 的全部映射的集合 R 上有加法和乘法 Zf f R 令 橙 a R f f a f a f a f f a f a f a 易知 R 在這兩個(gè)運(yùn)算下成環(huán) 其單位元 e 為 橙 a R e a 對(duì) 橙 r R 作 R 中映射 f r f r a r 橙 a R 它們組成 R 的子環(huán) 并與 R 同構(gòu) 干脆記成 R 于是 R 是 R 的擴(kuò)環(huán) 并將 f r 記成 r 令 u 是 R 的恒等映射 u a a 橙 a R 證明 u 不是 R 上不定元 倡 暢 Z 是整數(shù)環(huán) 則 a bi a b Z 不是Z 上不定元 暢 設(shè) f x R x 在 R x 中