第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性.doc

第3講函數(shù)的奇偶性與周期性【2013年高考會(huì)這樣考】1判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值3考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們?cè)谘芯亢瘮?shù)中的作用和功能重點(diǎn)解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題基礎(chǔ)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(2)在公共定義域內(nèi)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期一條規(guī)律奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個(gè)性質(zhì)(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三種方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法三條結(jié)論(1)若對(duì)于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函數(shù)(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T2|ab|.雙基自測(cè)1(2011全國(guó))設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則f()A. B. C. D.解析因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以fff.故選A.答案A2(2012福州一中月考)f(x)x的圖象關(guān)于()Ay軸對(duì)稱 B直線yx對(duì)稱C坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D直線yx對(duì)稱解析f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，又f(x)(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱答案C3(2011廣東)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函數(shù) Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C|f(x)|g(x)是偶函數(shù) D|f(x)|g(x)是奇函數(shù)解析由題意知f(x)與|g(x)|均為偶函數(shù)，A項(xiàng)：偶偶偶；B項(xiàng)：偶偶偶，B錯(cuò)；C項(xiàng)與D項(xiàng)：分別為偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故選A.答案A4(2011福建)對(duì)于函數(shù)f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，選取a，b，c的一組值計(jì)算f(1)和f(1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc且cZ，f(1)f(1)2c是偶數(shù)，只有D項(xiàng)中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是D.答案D5(2011浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析法一f(x)f(x)對(duì)于xR恒成立，|xa|xa|對(duì)于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0對(duì)于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案0考向一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】下列函數(shù)：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.其中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A2 B3 C4 D5審題視點(diǎn) 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷解析f(x)的定義域?yàn)?,1，又f(x)f(x)0，則f(x)是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；f(x)x3x的定義域?yàn)镽，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，則f(x)x3x是奇函數(shù)；由xx|x|0知f(x)ln(x)的定義域?yàn)镽，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的定義域?yàn)镽，又f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；由0得1x1，f(x)ln的定義域?yàn)?1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，則f(x)為奇函數(shù)答案D 判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)證明f(x)f(x)或f(x)f(x)成立；或者通過(guò)舉反例證明以上兩式不成立如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷【訓(xùn)練1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)x2|xa|2.解(1)解不等式組得2x0，或0x2，因此函數(shù)f(x)的定義域是2,0)(0,2，則f(x).f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(2)f(x)的定義域是(，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)因此f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)考向二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例2】已知f(x)x(x0)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)0.審題視點(diǎn) (1)用定義判斷或用特值法否定；(2)由奇偶性知只須求對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)值大于0.(1)解法一f(x)的定義域是(，0)(0，)f(x)x.f(x)f(x)故f(x)是偶函數(shù)法二f(x)的定義域是(，0)(0，)，f(1)，f(1)，f(x)不是奇函數(shù)f(x)f(x)xxxxx(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)證明當(dāng)x0時(shí)，2x1,2x10，所以f(x)x0.當(dāng)x0時(shí)，x0，所以f(x)0，又f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，所以f(x)0.綜上，均有f(x)0. 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反所以對(duì)具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性即可【訓(xùn)練2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2，且在區(qū)間2,0內(nèi)遞減，求滿足：f(1m)f(1m2)0的實(shí)數(shù)m的取值范圍解f(x)的定義域?yàn)?,2，有解得1m.又f(x)為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合可知，1m1.考向三函數(shù)的奇偶性與周期性【例3】已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x1,2時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值審題視點(diǎn) (1)只需證明f(xT)f(x)，即可說(shuō)明f(x)為周期函數(shù)；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)圖象關(guān)于x1對(duì)稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)證明函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)解當(dāng)x1,2時(shí)，2x0,1，又f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問(wèn)題【訓(xùn)練3】 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無(wú)法計(jì)算解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案C規(guī)范解答3如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問(wèn)題【問(wèn)題研究】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試，在命題時(shí)，常常將它們綜合在一起命制試題.【解決方案】 根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(x)與f(x)的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(xT)與f(x)的關(guān)系，它們都與f(x)有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過(guò)函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時(shí)，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來(lái)確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.【示例】(本題滿分12分)(2011沈陽(yáng)模擬)設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間 第(1)問(wèn)先求函數(shù)f(x)的周期，再求f()；第(2)問(wèn)，推斷函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問(wèn)，由圖象觀察寫出解答示范 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(6分)又0x1時(shí)，f(x)x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示(8分)當(dāng)4x4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB44.(10分)(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間4k1,4k3(kZ)(12分) 關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題【試一試】 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f