3.2.1復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義 (3).doc

:3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義 教學目標重點:復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則難點:復數(shù)加法、減法的幾何意義.知識點:.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則;.理解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.能力點:培養(yǎng)學生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,提高學生分析問題、解決問題以及運算的能力教育點:通過探究學習,培養(yǎng)學生互助合作的學習習慣,培養(yǎng)學生對數(shù)學探索和渴求的思想. 在掌握知識的同時,形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神.自主探究點：如何運用復數(shù)加法、減法的幾何意義來解決問題.考試點：會計算復數(shù)的和與差;能用復數(shù)加、減法的幾何意義解決簡單問題.易錯易混點：復數(shù)的加法與減法的綜合應(yīng)用.拓展點：復數(shù)與其他知識的綜合.一、 引入新課復習引入.虛數(shù)單位：它的平方等于,即; .對于復數(shù)： 當且僅當時,是實數(shù); 當時,為虛數(shù); 當且時,為純虛數(shù); 當且僅當時,就是實數(shù).復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：.復數(shù) 復平面內(nèi)的點一一對應(yīng).復數(shù)幾何意義：一一對應(yīng)復數(shù) 復平面內(nèi)的向量我們把實數(shù)系擴充到了復數(shù)系,那么復數(shù)之間是否存在運算呢?答案是肯定的,這節(jié)課我們就來研究復數(shù)的加減運算.【設(shè)計意圖】通過復習回顧復數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)知識,使學生對這一知識結(jié)構(gòu)有個清醒的初步認知,逐漸過渡到對復數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義的學習情境,為探究本節(jié)課的新知識作鋪墊.二、探究新知探究一:復數(shù)的加法.復數(shù)的加法法則我們規(guī)定,復數(shù)的加法法則如下:設(shè),是任意兩個復數(shù),那么：提出問題：()兩個復數(shù)的和是個什么數(shù),它的值唯一確定嗎?()當時,與實數(shù)加法法則一致嗎?()它的實質(zhì)是什么?類似于實數(shù)的哪種運算方法?學生明確:()仍然是個復數(shù),且是一個確定的復數(shù);()一致;()實質(zhì)是實部與實部相加,虛部與虛部相加,類似于實數(shù)運算中的合并同類項【設(shè)計意圖】加深對復數(shù)加法法則的理解,且與實數(shù)類比,了解規(guī)定的合理性:將實數(shù)的運算通性、通法擴充到復數(shù),有利于培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新精神 .復數(shù)加法的運算律實數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律,復數(shù)的加法滿足這些運算律嗎?對任意的,有（交換律）,（結(jié)合律）.【設(shè)計意圖】引導學生根據(jù)實數(shù)加法滿足的運算律,大膽嘗試推導復數(shù)加法的運算律,學生先獨立思考,然后小組交流.提高學生的建構(gòu)能力及主動發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力.復數(shù)加法的幾何意義復數(shù)與復平面內(nèi)的向量有一一對應(yīng)關(guān)系,那么請同學們猜想一下,復數(shù)的加法也有這種對應(yīng)關(guān)系嗎?設(shè)分別與復數(shù)對應(yīng),則有,由平面向量的坐標運算有.這說明兩個向量的和就是與復數(shù)對應(yīng)的向量.因此,復數(shù)的加法可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行.這就是復數(shù)加法的幾何意義.如圖所示：由圖可以看出,以、為鄰邊畫平行四邊形,其對角線所表示的向量就是復數(shù)對應(yīng)的向量.【設(shè)計意圖】通過向量的知識,讓學生體會從數(shù)形結(jié)合的角度來認識復數(shù)的加減法法則,訓練學生的形象思維能力,也培養(yǎng)了學生的數(shù)形結(jié)合思想.另外,當兩復數(shù)的對應(yīng)向量共線時,可直接運算;當不共線時,可類比向量加法的平行四邊形,也培養(yǎng)了學生的類比思想.探究二:復數(shù)的減法類比復數(shù)的加法法則,你能試著推導復數(shù)減法法則嗎?.復數(shù)的減法法則我們規(guī)定,復數(shù)的減法是加法的逆運算,即把滿足的復數(shù)叫做復數(shù)減去的差,記作.根據(jù)復數(shù)相等的定義,有,因此,所以,即. 這就是復數(shù)的減法法則,所以兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù).【設(shè)計意圖】復數(shù)的減法運算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運算而得到的,滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,是學生體會數(shù)學思想的素材.讓學生自己動手推導減法法則,有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和互助合作的學習習慣.考查學生的類比思想,提高學生主動發(fā)現(xiàn)問題,探究問題的能力.復數(shù)減法的幾何意義設(shè)分別與復數(shù)對應(yīng),則這兩個復數(shù)的差與向量（即）對應(yīng),這就是復數(shù)減法的幾何意義.如圖所示.【設(shè)計意圖】兩個復數(shù)的差（即）與連接兩個終點,且指向被減數(shù)的向量對應(yīng),這與平面向量的幾何解釋是一致的;它不僅又一次讓我們看到了向量這一工具的功能,也使數(shù)和形得到了有機的結(jié)合注意：只有將差向量平移至以原點為起點時,其終點才能對應(yīng)該復數(shù).三、理解新知.復數(shù)的加減法法則:設(shè),是任意兩個復數(shù),規(guī)定：;.復數(shù)加、減法的幾何意義：()復數(shù)的加法按照向量加法的平行四邊形法則;()復數(shù)的減法按照向量減法的三角形法則.幾點說明:()復數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性:它既與實數(shù)運算法則,運算律相同,又與向量完美地結(jié)合起來;()復數(shù)的加(減)法實質(zhì)是:復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減;()多個復數(shù)相加減:可將各個復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減()復平面內(nèi)的兩點間距離公式:.其中是復平面內(nèi)的兩點和所對應(yīng)的復數(shù),為點和點間的距離. 即兩個復數(shù)差的模的幾何意義是:兩個復數(shù)所對應(yīng)的兩個點之間的距離【設(shè)計意圖】加深對復數(shù)加(減)法法則的理解,從不同的角度總結(jié),既學到知識,又學到了數(shù)學方法,使知識更加系統(tǒng)化,學生的思維將上升到一個更高的層面,為準確地運用新知,作必要的鋪墊.培養(yǎng)學生的歸納概括能力,使學生對所學的知識有一個整體的認識,解決問題時可以信手拈來.四、運用新知例.計算：; ; ;解:; ; .【設(shè)計意圖】直接運用復數(shù)的加、減法運算法則進行,就是將它們的實部、虛部分別相加、減,實數(shù)范圍的運算律在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.變式訓練:計算.解：（解法一）原式.（解法二）; ; .將上列個式子累加,得.【設(shè)計意圖】復數(shù)的加減法,相當于多項式加減中的合并同類項的過程;如果根據(jù)給出復數(shù)求和的特征從局部入手,抓住了式子中相鄰兩項之差是一個常量這一特點,適當?shù)剡M行組合,從而可簡化運算.進一步鞏固復數(shù)加減運算,并帶有一定的規(guī)律性.例.設(shè)分別與復數(shù)對應(yīng),計算,并在復平面內(nèi)作出, 設(shè)分別與復數(shù)對應(yīng),計算,并在復平面內(nèi)作出.解：圖 圖.（如圖所示）;.（如圖所示）. 【設(shè)計意圖】由復數(shù)的幾何意義知,復數(shù),所對應(yīng)的的點分別為.就是表示向量,而可利用平行四邊形法則作出.變式訓練:已知復數(shù),分別對應(yīng)向量（為坐標原點）,若向量對應(yīng)的復數(shù)為純虛數(shù),求的值.答案：.例.已知關(guān)于的方程：有實數(shù)根.求實數(shù)的值;若復數(shù)滿足,求的最小值解：由題意,得,即.由復數(shù)相等的定義得, 解得.設(shè),由,得,即,整理得,即復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心,半徑長為的圓.又的幾何意義是與原點的距離,如圖,由平面幾何知識知,.【設(shè)計意圖】在問題中由復數(shù)相等的概念,列方程組求出兩個參數(shù)值,把復數(shù)問題實數(shù)化,既復習了概念,又鍛煉了學生的計算能力和解決問題的能力; 在問題中由,把轉(zhuǎn)化為復數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離,解決此類問題的關(guān)鍵是利用復數(shù)的幾何意義畫出圖形,在圖形中尋求答案,把數(shù)轉(zhuǎn)化成形,利用數(shù)形結(jié)合思想解決即可變式訓練:復數(shù)的模為,求的最大值和最小值.答案: .【設(shè)計意圖】通過變式訓練,便于學生全面的認識利用復數(shù)差的模的幾何意義解決問題,提高學生理解、運用知識的能力.五、課堂小結(jié) (一)知識:.復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則;.復數(shù)加法、減法的幾何意義.幾點說明:()復數(shù)的加(減)法法則規(guī)定的合理性:它既與實數(shù)運算法則,運算律相同,又與向量完美地結(jié)合起來;()復數(shù)的加(減)法實質(zhì)是:復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減;()多個復數(shù)相加減:可將各個復數(shù)的實部與實部、虛部與虛部分別相加減()復平面內(nèi)的兩點間距離公式:.其中是復平面內(nèi)的兩點和所對應(yīng)的復數(shù),為點和點間的距離. 即兩個復數(shù)差的模的幾何意義是:兩個復數(shù)所對應(yīng)的兩個點之間的距離(二)思想方法:類比的思想、轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié),增強學生對復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則及幾何意義的理解,及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性,加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用深化對知識的理解,完善認識結(jié)構(gòu),領(lǐng)悟思想方法,強化情感體驗,提高認識能力.引導學生自我反饋、自我總結(jié),并對所學知識進行提煉升華,使知識系統(tǒng)化.讓學生學會學習,學會內(nèi)化知識的方法與經(jīng)驗,促進學習目標的完成.六、布置作業(yè) 必做題：.計算：; .復數(shù)與對應(yīng)的向量分別是與,其中是原點,求向量,對應(yīng)的復數(shù),并指出其對應(yīng)的復數(shù)位于第幾象限.復平面上三點分別對應(yīng)復數(shù),則由所構(gòu)成的三角形是 三角形.求復數(shù),所對應(yīng)的兩點之間的距離.已知復數(shù)滿足,求復數(shù).已知平行四邊形的三個頂點對應(yīng)的復數(shù)分別為,試求:表示的復數(shù); 表示的復數(shù); 點對應(yīng)的復數(shù).答案: .; . .,位于第三象限; ,位于第一象限.直角三角形. . . .; ; 選做題：.在復平面內(nèi),求滿足方程的復數(shù)所對應(yīng)的點的軌跡.復數(shù)滿足,求.答案： .提示:方程可以變形為|,表示到兩個定點和距離之和等于的點的軌跡,故滿足方程的動點軌跡是橢圓.提示:法一:數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)造邊長為的正方形,則其中一條對角線的長度為,則所求的另一條對角線的長度也等于.法二:(向量法)設(shè)所對應(yīng)的向量分別是,將兩邊平方得,則,所以.【設(shè)計意圖】設(shè)計必做題是引導學生先復習,再作業(yè),培養(yǎng)學生良好的學習習慣,是讓學生會用復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法的運算法則進行計算;設(shè)計選做題意在培養(yǎng)學生深刻理解復數(shù)差的模的幾何意義,增加問題的多樣性、趣味性,訓練學生思維的發(fā)散性、深刻性.讓學生理解知識之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學生用整體的觀點看問題,起到鞏固舊知的作用 七、教后反思 .本教案的亮點是:本節(jié)中由于復數(shù)的加法法則是規(guī)定的,從問題入手,引導學生思考,讓學生理解這種規(guī)定的合理性在復數(shù)加法的運算律及幾何意義的處理上,都是讓學生自主探究,使學生在參與中學會學習,學會合作,突出體現(xiàn)以學生為主,教師為輔的新課程理念()對于復數(shù)減法的處理,采用了類比的數(shù)學思想方法,讓學生自主探究,自己