3.4.1函數與方程 (2).docx

求解函數零點問題中參數取值題 隨著新課程的不斷展開和深入，許多高等數學中的概念也隨之融入高中數學課程，函數的零點即為其中之一函數零點問題涉及轉化與化歸、數形結合、分類討論、函數與方程等重要的數學思想方法，又與導數的應用兩情相悅，因此自然成為命題者眼中難以割舍的命題源泉為此筆者結合自己的教學實踐，就解決函數零點問題的基本策略作一探討，供讀者參考1 應用零點定理，直搗黃龍如果函數在區(qū)間上連續(xù)且滿足，那么函數在區(qū)間內至少存在一個零點，即存在，使得.這就是零點存在性定理例1 已知函數在區(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是 .解析：觀察可知，函數，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，函數在區(qū)間上存在零點，故，整理得，解得所以實數的取值范圍是點評：應用零點存在性定理時要注意，是連續(xù)函數在區(qū)間上有零點的充分條件，未必是必要條件本題易錯解為而得，應引起注意2 數形結合引領，以形助數函數的零點，亦即函數的圖象與軸的交點的橫坐標，是數形結合思想應用的鏈接點，因此用圖象來刻畫函數零點的神秘面紗成為我們解決函數零點問題常用而最有效的策略例2 （2016年北京文科節(jié)選）設函數設，若函數有三個不同零點，求的取值范圍；解析：當時，令，即，解得，與在區(qū)間上的情況如下： 所以，當且時，存在，使得，由的單調性知，當且僅當時，函數有三個不同零點點評：借助導數的工具，分析圖象，對函數直接進行函數性質的分析，借助性質仔細繪制其草圖，依靠草圖的走勢來分析零點的位置對于處理熟悉的函數（如三次函數，二次函數等等）或導函數的解析式相對容易的函數的零點問題，利用該策略求解會顯得簡潔而富有實效3 等價變形轉化，曲徑通幽由兩個基本初等函數組合而得的超越函數的零點個數，等價于方程的解的個數，亦即的解的個數，進而轉化為基本初等函數與的圖象的交點個數例3 已知函數恰有兩個零點，則的取值范圍 解析：由題意可知恰有兩個零點，等價于恰有兩個不同的解，亦即恰有兩個不同的解，令，則，其圖象如圖所示，函數的圖象是過定點的直線，所以函數的圖象與直線有兩個不同的交點，應用運動的思想可知.點評：對于很難利用導數工具來分析性質的函數，處理其零點問題，我們常會將分解成兩個相對簡單的函數，即，借助和的圖象交點來求解的零點，克服了直接求解的零點帶來的困難4 演繹分類討論，各個擊破分類討論的思想方法就是將數學問題進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法，其基本思路：化整為零，各個擊破例4 已知是正實數，函數，如果函數在區(qū)間上有零點，求的取值范圍解析：因為拋物線的對稱軸為，將對稱軸與所給區(qū)間的端點進行比較：當，即時，在區(qū)間上單調遞增要使函數在區(qū)間上有零點，只需，解得由于，故此時滿足條件的不存在當，即時，在上遞減，在上遞增要使函數在區(qū)間上有零點，只需，解得注意到，故綜上，所求的取值范圍是點評：我們無法通過等價轉化的思想將原問題化歸為相對容易的問題，此時根據題設要求合理地對參數的取值進行分類，并逐一求解利用該策略求解一般要求我們能深思熟慮，必須做到不重不漏5 巧用參數分離，演繹高效參數分離法，亦即將原函數中的變參量進行分離后變形為，將原函數的零點問題化歸為與軸平行的直線和函數的圖象的交點問題巧用參數分離求解零點問題，既可以回避對參數取值的分類討論，又形象直觀，一目了然例5 已知函數有兩個零點，求的取值范圍解析：令，則， 所以在上有兩個不同的實根，即函數的圖象與直線有兩個不同的交點；令，則，令，則在上單調遞減，且，當時，；當時，故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，又；，則的圖象大致如圖所示：從圖中可知，要使得函數的圖象與直線有兩個不同的交點 ，則，即所求的實數的取值范圍為點評：通過將原函數中的變參量進行分離后變形成，則原函數的零點問題化歸為與軸平行的直線和函數的圖象的交點問題，而此問題的求解在技術上并不存在困難，故問題迎刃而解6 注重知識聯(lián)系，追求靈動實際上，有許多不是函數零點的數學問題，可以靈活地借助于知識間的內在聯(lián)系，演繹為函數零點問題，充分體現數學思維的靈動性例6 （2016年上海理科節(jié)選）已知，函數.若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；解析：關于的方程的解集中恰好有一個元素，所以方程，即恰有一解，所以恰有一解， 當時，經檢驗，滿足題意當時，為二次函數，其，若時，經檢驗，滿足題意若且時，若是原方程的解，當且僅當，即；若是原方程的解，當且僅當，即于是滿足題意的綜上，的取值范圍為變式 （2016年上海文科節(jié)選）已知R，函數=若關于的方程+=0的解集中恰有一個元素，求的值（答案：或）綜合上