上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）

1 上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)上海市浦東新區(qū)建平中學(xué) 2018 20192018 2019 學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試 題 含解析 題 含解析 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 填空題 本大題共一 填空題 本大題共 1212 個(gè)小題個(gè)小題 每小題每小題 3 3 分分 共共 3636 分分 1 和的等差中項(xiàng)為 14 答案 5 2 解析 分析 設(shè) 和的等差中項(xiàng)為 利用等差中項(xiàng)公式可得出的值 14xx 詳解 設(shè) 和的等差中項(xiàng)為 由等差中項(xiàng)公式可得 故答案為 14x 145 22 x 5 2 點(diǎn)睛 本題考查等差中項(xiàng)的求解 解題時(shí)要充分利用等差中項(xiàng)公式來求解 考查計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 2 已知 若 則實(shí)數(shù)的值為 1 2a r 4bx a b rr x 答案 2 解析 分析 利用共線向量等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值 x 詳解 且 因此 故答案為 1 2a r q 4bx a b rr 21 4x 2x 2 點(diǎn)睛 本題考查利用共線向量來求參數(shù) 解題時(shí)要充分利用共線向量坐標(biāo)表示列等式求解 考查計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 3 設(shè)函數(shù) 則 的值為 arctanf xx 1f 答案 4 解析 2 分析 根據(jù)反正切函數(shù)的值域 結(jié)合條件得出的值 1f 詳解 且 因此 arctan 22 x q tantan1 44 1arctan1 4 f 故答案為 4 點(diǎn)睛 本題考查反正切值的求解 解題時(shí)要結(jié)合反正切函數(shù)的值域以及特殊角的正切值來 求解 考查計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 4 已知數(shù)列為等比數(shù)列 則數(shù)列的公比為 n a 2 1a 5 8a n a 答案 2 解析 分析 設(shè)等比數(shù)列的公比為 由可求出的值 n a q 3 5 2 a q a q 詳解 設(shè)等比數(shù)列的公比為 則 因此 數(shù)列的公比 n a q 3 5 2 8 1 a q a 2q n a 為 2 故答案為 2 點(diǎn)睛 本題考查等比數(shù)列公比的計(jì)算 在等比數(shù)列的問題中 通常將數(shù)列中的項(xiàng)用首項(xiàng)和 公比表示 建立方程組來求解 考查運(yùn)算求解能力 屬于基礎(chǔ)題 5 已知 則的值為 3 sin 25 cos 答案 3 5 解析 分析 3 利用誘導(dǎo)公式將等式化簡 可求出的值 3 sin 25 cos 詳解 由誘導(dǎo)公式可得 故答案為 3 sincos 25 3 5 點(diǎn)睛 本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值 在利用誘導(dǎo)公式處理化簡求值的問題時(shí) 要充分 理解 奇變偶不變 符號看象限 這個(gè)規(guī)律 考查運(yùn)算求解能力 屬于基礎(chǔ)題 6 已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為 公比為 則其各項(xiàng)的和為 n a 1 1 2 答案 2 3 解析 分析 根據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式求出等比數(shù)列的各項(xiàng)和 n a 詳解 由題意可知 等比數(shù)列的各項(xiàng)和為 故答案為 n a 12 13 1 2 s 2 3 點(diǎn)睛 本題考查等比數(shù)列各項(xiàng)和的求解 解題的關(guān)鍵就是利用無窮等比數(shù)列求和公式進(jìn)行 計(jì)算 考查計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 7 311 lim 312 n nn n 答案 1 解析 分析 在分式的分子和分母上同時(shí)除以 然后利用極限的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算 31 31 n n 3n 4 詳解 故答案為 1 1 31111 0 3 limlimlim01 1 31221 0 1 3 n n nnn nnn n 1 點(diǎn)睛 本題考查數(shù)列極限的計(jì)算 解題時(shí)要熟悉一些常見的極限 并充分利用極限的性質(zhì) 來進(jìn)行計(jì)算 考查計(jì)算能力 屬于基礎(chǔ)題 8 已知 若方程的解集為 則 0 2 sin3cos2sinxxx r 答案 3 解析 分析 將利用輔助角公式化簡 可得出的值 sin3cosxx 詳解 13 sin3cos2sincos2 sin coscos sin2sin 22 xxxxxxx q 其中 因此 故答案為 1 cos 2 3 sin 2 02 q 3 3 點(diǎn)睛 本題考查利用輔助角公式化簡計(jì)算 化簡時(shí)要熟悉輔助角變形的基本步驟 考查運(yùn) 算求解能力 屬于中等題 9 在銳角中 角 所對的邊為 若的面積為 且 abc a bcabcabc 1 21b 則的弧度為 2c a 答案 6 解析 分析 利用三角形的面積公式求出的值 結(jié)合角為銳角 可得出角的弧度數(shù) sin aaa 5 詳解 由三角形的面積公式可知 的面積為 abc 111 sin1 2 sin 222 abc sbcaa 得 為銳角 因此 的弧度數(shù)為 故答案為 1 sin 2 a a a 6 6 點(diǎn)睛 本題考查三角形面積公式的應(yīng)用 考查運(yùn)算求解能力 屬于基礎(chǔ)題 10 數(shù)列滿足 設(shè)為數(shù)列的前 n a 111 1 22 31 n ann n n l n s 1nn aa 項(xiàng)和 則 n10 s 答案 5 12 解析 分析 先利用裂項(xiàng)求和法將數(shù)列的通項(xiàng)化簡 并求出 由此可得出的值 n a 1nn aa 10 s 詳解 111 11n nnn q 111111 11 22311 n a nnn l 1 1111 11 1212 nn aa nnnn 因此 故答案為 10 111111115 2334111212212 s l 5 12 點(diǎn)睛 本題考查裂項(xiàng)法求和 要理解裂項(xiàng)求和法對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的要求 并熟悉裂項(xiàng)法求 和的基本步驟 考查計(jì)算能力 屬于中等題 11 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和 若 則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 n s n a n 8 1 4 2 n n n snn n n a n a 答案 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 解析 6 分析 令時(shí) 求出 再令時(shí) 求出的值 再檢驗(yàn)的值是否符合 3n 1nnn ass 1n 1 a 1 a 由此得出數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 n an n a 詳解 當(dāng)時(shí) 3n 11 1 443 4 nnn nnn ass 當(dāng)時(shí) 不合適上式 1n 11 8as 1 8a 當(dāng)時(shí) 不合適上式 2n 221 1688asa 2 8a 因此 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 故答案為 1 8 1 2 3 4 3 n n n a n n n 點(diǎn)睛 本題考查利用前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng) 考查計(jì)算能力 屬于中等題 n 12 已知等比數(shù)列 滿足 則的取值范 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0 1a 3 1 2a 4 2 4a 6 a 圍為 答案 3 2 4 64 解析 分析 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 由和計(jì)算出的取值范圍 再由 1 a 2 a 3 a 4 aq 4 3 a q a 3 4 1 a q a q 可得出的取值范圍 2 64 aa q 6 a 詳解 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 1 a 2 a 3 a 4 aq 所以 1 0 1a q 3 1 2a 4 2 4a 4 3 1 4 a q a 3 4 1 2 a q a 3 2 4q 所以 故答案為 23 64 2 4 64aa q 3 2 4 64 點(diǎn)睛 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及其性質(zhì) 解題的關(guān)鍵就是利用已知條件求出公比的取 7 值范圍 考查運(yùn)算求解能力 屬于中等題 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 選擇題 每題二 選擇題 每題 3 3 分 滿分分 滿分 3636 分 將答案填在答題紙上 分 將答案填在答題紙上 13 已知基本單位向量 則的值為 1 0i 0 1f 34if a 1b 5c 7d 25 答案 b 解析 分析 計(jì)算出向量的坐標(biāo) 再利用向量的求模公式計(jì)算出的值 34if ru r 34if rr 詳解 由題意可得 因此 343 1 04 0 13 4if ru r 2 2 34345if rr 故選 b 點(diǎn)睛 本題考查向量模的計(jì)算 解題的關(guān)鍵就是求出向量的坐標(biāo) 并利用坐標(biāo)求出向量的 模 考查運(yùn)算求解能力 屬于基礎(chǔ)題 14 在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí) 我們由 得到等差 11 0aad 21 aad 31 2aad 數(shù)列的通項(xiàng)公式是 象這樣由特殊到一般的推理方法叫做 n a 1 1 n aand a 不完全歸納法b 數(shù)學(xué)歸納法c 綜合法d 分析法 答案 a 解析 分析 根據(jù)題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理 但又不是數(shù)學(xué)歸納法 從而可得出結(jié) 果 詳解 本題由前三項(xiàng)的規(guī)律猜想出一般項(xiàng)的特點(diǎn)屬于歸納法 但本題并不是數(shù)學(xué)歸納法 因此 本題中的推理方法是不完全歸納法 故選 a 點(diǎn)睛 本題考查歸納法的特點(diǎn) 判斷時(shí)要區(qū)別數(shù)學(xué)歸納法與不完全歸納法 考查對概念的 理解 屬于基礎(chǔ)題 8 15 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和 則的值為 n s n a n 4 nn asnn 4 s a b c d 不確定 3 7 2 15 4 答案 c 解析 分析 令 由求出 的值 再令 時(shí) 由得出 兩式相 1n 11 as 1 a 2n 4 nn as 11 4 nn as 減可推出數(shù)列是等比數(shù)列 求出該數(shù)列的公比 再利用等比數(shù)列求和公式可求出的 n a 4 s 值 詳解 當(dāng)時(shí) 得 1n 111 24asa 1 2a 當(dāng)時(shí) 由得出 兩式相減得 可得 2n 4 nn as 11 4 nn as 1 20 nn aa 1 1 2 n n a a 所以 數(shù)列是以為首項(xiàng) 以為公比的等比數(shù)列 因此 n a 2 1 2 4 4 1 2 1 1152 4 1 44 1 2 s 故選 c 點(diǎn)睛 本題考查利用前項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng) 同時(shí)也考查了等比數(shù)列求和 在遞推公式中涉 n 及與時(shí) 可利用公式求解出 也可以轉(zhuǎn)化為來求解 考查 n a n s 1 1 1 2 n nn s n a ssn n a n s 推理能力與計(jì)算能力 屬于中等題 16 小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著 邊玩邊學(xué) 的學(xué)風(fēng) 他在 漢諾塔 的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞 推的奧妙 有 三個(gè)木樁 木樁上套有編號分別為 的 abca1234567 七個(gè)圓環(huán) 規(guī)定每次只能將一個(gè)圓環(huán)從一個(gè)木樁移動(dòng)到另一個(gè)木樁 且任意一個(gè)木樁上不能 出現(xiàn) 編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上 的情況 現(xiàn)要將這七個(gè)圓環(huán)全部套到木樁 b 9 上 則所需的最少次數(shù)為 a b c d 126127128129 答案 b 解析 分析 假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán) 將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 需要最少的次數(shù)為 a1n 1n ab 根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式 利用遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 從而得 1n a n a n a 出的值 可得出結(jié)果 7 a 詳解 假設(shè)樁上有個(gè)圓環(huán) 將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 需要最少 a1n 1n ab 的次數(shù)為 可這樣操作 先將個(gè)圓環(huán)從木樁全部套到木樁上 至少需要的次數(shù)為 1n a nac 然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上 需要 次 在將木樁上個(gè)圓環(huán)從木樁 n a ab1cnc 套到木樁上 至少需要的次數(shù)為 所以 易知 b n a 1 21 nn aa 1 1a 設(shè) 得 對比得 1 2 nn axax 1 2 nn aax 1 21 nn aa 1x 且 1 121 nn aa 1 1 2 1 n n a a 1 12a 所以 數(shù)列是以為首項(xiàng) 以為公比的等比數(shù)列 1 n a 22 因此 故選 b 6 7 12 2128a 7 127a 點(diǎn)睛 本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用 同時(shí)也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng) 解題 的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式 考查推理能力與運(yùn)算求解能力 屬于中等題 10 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 6 小題 共小題 共 7070 分分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 已知點(diǎn)是重心 gabc 2addc uuu ruuu r 1 用和表示 ab ac ag 2 用和表示 ab ac dg 答案 1 2 1 3 agabac 1 3 dgabac uuu ruu u ruuu r 解析 分析 1 設(shè)的中點(diǎn)為 可得出 利用重心性質(zhì)得出 bcm 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 2 3 agam uuu ruuur 由此可得出關(guān)于 的表達(dá)式 ag ab ac 2 由 得出 再由 可得出關(guān)于 2addc uuu ruuu r 2 3 adac dgagad uuu ruuu ruuu r dg ab 的表達(dá)式 ac 詳解 1 設(shè)的中點(diǎn)為 則 bcm2amabac uuuruu u ruuu r 1 2 amabac uuuruu u ruuu r 為的重心 因此 g abc 2211 3323 agamabacabac uuu ruuuruu u ruuu ruu u ruuu r 2 2addc uuu ruuu r q 2 3 adac 因此 121 333 dgagadabacacabac uuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu r 點(diǎn)睛 本題考查利基底表示向量 應(yīng)充分利用平面幾何中一些性質(zhì) 將問題中所涉及的向 量利用基底表示 并結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算 考查分析問題和解決問題的能 力 屬于中等題 18 已知函數(shù) 22 sin2sin coscosf xxxxx x r 1 求函數(shù)的最小正周期 f x 11 2 求函數(shù)的最小值和取得最小值時(shí)的取值 f x x 答案 1 2 當(dāng)時(shí) 4 xkkz min0f x 解析 分析 1 利用二倍角公式將函數(shù)的解析式化簡得 再利用周期公式 yf x 1 sin2f xx 可得出函數(shù)的最小正周期 yf x 2 由可得出函數(shù)的最小值和對應(yīng)的的值 22 2 xkkz yf x x 詳解 1 22 sin2sin coscos1 sin2f xxxxxx q 因此 函數(shù)的最小正周期為 yf x 2 2 2 由 1 知 當(dāng) 即當(dāng)時(shí) 2 2 xkkz 4 xkkz 函數(shù)取到最小值 yf x min1 10f x 點(diǎn)睛 本題考查利用二倍角公式化簡 同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)的周期和最值的求解 考 查學(xué)生的化簡運(yùn)算能力 屬于基礎(chǔ)題 19 我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者 有那么一群孩子在一塊麥田里玩 幾千萬的小孩子 附近沒有一個(gè)大人 我是說 除了我 麥田里的守望者 中的主人公霍爾頓將自己的精 神生活寄托于那廣闊無垠的麥田 假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者 abcd 如圖所示 為了分割麥田 他將連接 設(shè)中邊所對的角為 中邊 bdabd bdabcd 所對的角為 經(jīng)測量已知 bdc2abbccd 2 3ad 12 1 霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長 為一個(gè)定值 請你驗(yàn)證霍爾頓的結(jié)論 并 bd 3coscosac 求出這個(gè)定值 2 霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關(guān) 記與的面積分別為 abd bcd 和 為了更好地規(guī)劃麥田 請你幫助霍爾頓求出的最大值 1 s 2 s 22 12 ss 答案 1 2 3coscos1ac 14 解析 分析 1 在和中分別對使用余弦定理 可推出與的關(guān)系 即可得出 abd bcd bdac 是一個(gè)定值 3coscosac 2 求出 的表達(dá)式 利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及余弦函數(shù)值的取范圍 可得出 22 12 ss 的最大值 22 12 ss 詳解 1 在中 由余弦定理得 abd 2 4 128 3cos168 3cosbdaa 在中 由余弦定理得 bcd 2 448cosbdc 168 3cos88cosac 則 83coscos8ac 3coscos1ac 2 1 1 2 2 3sin2 3sin 2 saa q 2 1 2 2sin2sin 2 scc 則 222222 12 12sin4sin1612cos4cosssacac 13 由 1 知 代入上式得 3cos1 cosac 2 2222 12 16 12cos43cos124cos8 3cos12ssaaaa 配方得 2 22 12 3 24 cos14 6 ssa 當(dāng)時(shí) 取到最大值 3 arccos 6 a 22 12 ss 14 點(diǎn)睛 本題考查余弦定理的應(yīng)用 三角形面積的求法以及二次函數(shù)最值的求解 解題的關(guān) 鍵就是利用題中結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解 考查運(yùn)算求解能力 屬于中等題 20 已知 1 nn a an nnn 1 求的坐標(biāo) 122334 a aa aa a 2 設(shè) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 11nn ba ann uuuuu r n b 3 設(shè) 其中為常數(shù) 1 11 22 nn aa b b 22 1 11 22 nn aa c cnn a 求的值 1a 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 答案 1 2 122334 6 6a aa aa a 22 22 n nn nn b 3 當(dāng)時(shí) 1a 11 2 11 1 lim2 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當(dāng)或時(shí) 1a 1a 11 2 11 1 lim0 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 解析 分析 1 利用題中定義結(jié)合平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出結(jié)果 2 利用等差數(shù)列的求和公式和平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式 n b 14 3 先計(jì)算出的表達(dá)式 然后分 三種情況 11 2 11 1 1 nnnn nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 1a 1a 1a 計(jì)算出的值 11 2 11 1 lim 1 nnnn n nnnn a ab ba a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 詳解 1 由題意得 122334 123 1236 6a aa aa a 2 112231 1 23 123 nnnnn ba aa aa aa ann uuuuuruuuu ruuuu ruuuuur lll 22 22 nn nn 3 11 2 22 11 111 11 1 nnnn nnnn n aaa ab ba ann a ac cn uuuuur uuuuur q uuuuur uuuuu u r 當(dāng)時(shí) 1a 11 2 11 12 limlim0 1 1 nnnn nn nnnn a ab ba n a ac cn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當(dāng)時(shí) 1a 11 2 11 1222 limlimlim2 1 11 0 11 nnnn nnn nnnn a ab ban n a ac cn n uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 當(dāng)時(shí) 1a 2 11 2 22 2 11 2 11 111 limlimlim0 11 11 11 nnnn nnn nnnn aa n aaa ab ba nn ann a ac cna nn uuuuur uuuuur uuuuur uuuuu u r 點(diǎn)睛 本題考查平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算 同時(shí)也考查等差數(shù)列求和以及數(shù)列極限的運(yùn)算 計(jì)算時(shí)要充分利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則進(jìn)行求解 綜合性較強(qiáng) 屬于中等題 21 無窮數(shù)列滿足 為正整數(shù) 且對任意正整數(shù) 為前項(xiàng) n a 1 a n1n a n1 a 2 a 中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù) n a n a 1 若 求和的值 1 2019a 2 a 4 a 15 2 已知命題 存在正整數(shù) 使得 判斷命題的真假并說明理由 pm 1 2 m m a a p 3 若對任意正整數(shù) 都有恒成立 求的值 n2nn aa 1039 a 答案 1 2 真命題 證明見解析 3 2 1a 4 2a 1039 520a 解析 分析 1 根據(jù)題意直接寫出 的值 可得出結(jié)果 2 a 3 a 4 a 2 分和兩種情況討論 找出使得等式成立的正整數(shù) 可得知命題 1 1a 1 1a 1 2 m m a a m 為真命題 p 3 先證明出 是 存在 當(dāng)時(shí) 恒有成立 的充要條件 1 1a mn nm 2nn aa 由此可得出 然后利用定義得出 由此可得出的值 1 1a 21n an nn 1039 a 詳解 1 根據(jù)題意知 對任意正整數(shù) 為前項(xiàng) 中等于的項(xiàng) n1n a n1 a 2 a n a n a 的個(gè)數(shù) 因此 2 1a 3 1a