高中數(shù)學(xué) 基本知識(shí)基本思想基本方法復(fù)習(xí)教案

1 高高 中中 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 基本知識(shí)基本知識(shí) 基本思想基本思想 基本方法基本方法 一 集合與簡(jiǎn)易邏輯 1 必須弄清集合的元素是什么 是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值 還是因變量的取值 還是 曲線上的點(diǎn) 2 數(shù)形結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用方法 解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸 直角坐標(biāo)系或韋恩 圖等工具 將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化 形象化 直觀化 然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法 解決 3 一個(gè)語(yǔ)句是否為命題 關(guān)鍵要看能否判斷真假 陳述句 反詰問(wèn)句都是命題 而祁使 句 疑問(wèn)句 感嘆句都不是命題 4 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù) 原命題與其逆否命題是等價(jià)命題 逆命題與其 否命題是等價(jià)命題 一真俱真 一假俱假 當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí) 可考慮判 斷其等價(jià)命題的真假 5 判斷命題充要條件的三種方法 1 定義法 2 利用集合間的包含關(guān)系判斷 若 則 A 是 B 的充分條件或 B 是 A 的必要條件 若 A B 則 A 是 B 的充要條件 BA 3 等價(jià)法 即利用等價(jià)關(guān)系判斷 對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系 或 ABBA 否定式 的命題 一般運(yùn)用等價(jià)法 6 1 含 n 個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為 2n 真子集 非空子集 個(gè)數(shù)為 2n 1 2 BBAABABA 3 BCACBACBCACBAC IIIIII 二 函數(shù) 研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則 1 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題 1 復(fù)合函數(shù)定義域求法 若已知 f x 的定義域?yàn)?a b 其復(fù)合函數(shù) f g x 的定 義域由不等式 a g x b 解出即可 若已知 f g x 的定義域?yàn)?a b 求 f x 的定義 域 相當(dāng)于 x a b 時(shí) 求 g x 的值域 即 f x 的定義域 2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由 同增異減 判定 2 函數(shù)的奇偶性 1 若 f x 是偶函數(shù) 那么 f x f x xf 2 定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn) 可用于求參數(shù) 3 判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式 f x f x 0 或 f x 0 1 xf xf 4 若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜 應(yīng)先化簡(jiǎn) 再判斷其奇偶性 5 奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反 的單調(diào)性 3 函數(shù)圖像 或方程曲線的對(duì)稱(chēng)性 2 1 證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性 即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍 在圖像上 2 證明圖像 C1與 C2的對(duì)稱(chēng)性 即證明 C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心 對(duì)稱(chēng)軸 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 仍在 C2上 反之亦然 3 曲線 C1 f x y 0 關(guān)于 y x a y x a 的對(duì)稱(chēng)曲線 C2的方程為 f y a x a 0 或 f y a x a 0 4 曲線 C1 f x y 0 關(guān)于點(diǎn) a b 的對(duì)稱(chēng)曲線 C2方程為 f 2a x 2b y 0 5 若函數(shù) y f x 對(duì) x R 時(shí) f a x f a x 恒成立 則 y f x 圖像關(guān)于直線 x a 對(duì)稱(chēng) 6 函數(shù) y f x a 與 y f b x 的圖像關(guān)于直線 x 對(duì)稱(chēng) 2 ba 4 函數(shù)的周期性 1 y f x 對(duì) x R 時(shí) f x a f x a 或 f x 2a f x a 0 恒成立 則 y f x 是 周期為 2a 的周期函數(shù) 2 若 y f x 是偶函數(shù) 其圖像又關(guān)于直線 x a 對(duì)稱(chēng) 則 f x 是周期為 2 a 的周 期函數(shù) 3 若 y f x 奇函數(shù) 其圖像又關(guān)于直線 x a 對(duì)稱(chēng) 則 f x 是周期為 4 a 的周期 函數(shù) 4 若 y f x 關(guān)于點(diǎn) a 0 b 0 對(duì)稱(chēng) 則 f x 是周期為 2的周期函數(shù) ba 5 y f x 的圖象關(guān)于直線 x a x b a b 對(duì)稱(chēng) 則函數(shù) y f x 是周期為 2的周ba 期函數(shù) 6 y f x 對(duì) x R 時(shí) f x a f x 或 f x a 則 y f x 是周期為 2 1 xf 的周期函數(shù) a 5 方程 k f x 有解k D D 為 f x 的值域 6 a f x a f x max a f x a f x min 7 1 a 0 a 1 b 0 n R n a a bb n loglog 2 l og a N a 0 a 1 b 0 b 1 a N b b log log 3 l og a b 的符號(hào)由口訣 同正異負(fù) 記憶 4 a log a N N a 0 a 1 N 0 8 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性 求反函數(shù) 判斷函數(shù)的奇偶性 9 判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí) 抓住兩點(diǎn) 1 A 中元素必須都有象且唯一 2 B 中元 素不一定都有原象 并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象 10 對(duì)于反函數(shù) 應(yīng)掌握以下一些結(jié)論 1 定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù) 2 奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù) 3 定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù) 4 周期函數(shù)不存在反函數(shù) 5 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性 5 y f x 與 y f 1 x 互為反函數(shù) 設(shè) f x 的定義域?yàn)?A 值域?yàn)?B 則有 f f 1 x x x B f 1 f x x x A 3 11 處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值 求最值問(wèn)題用 兩看法 一看開(kāi)口方向 二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系 12 恒成立問(wèn)題的處理方法 1 分離參數(shù)法 2 轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布 列不等式 組 求解 13 依據(jù)單調(diào)性 利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類(lèi)參數(shù)的范圍問(wèn)題 0f b 0f a 0f b 0f a b u a0 0 或 或xhuxguf 14 掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì) 0 0 c x c xyacb cx acb a cx bax y 函 數(shù) cx acb a cx bax y b ac 0 0 a x a xy 定 義 域 cc 0 0 值 域 aa 2 2 aa 奇 偶 性 非奇非偶函數(shù)奇函數(shù) 單 調(diào) 性 當(dāng) b ac 0 時(shí) 分別在 上單調(diào)遞 cc 減 當(dāng) b ac0 b 0 時(shí)要符合 一正二定ab2 三相等 注意均值不等式的一些變形 如 22 22 2 2 2 ba ab baba 七 直線和圓的方程 1 設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 則 ABC 的重心 G 為 3 3 321321 yyyxxx 2 直線 l1 A1x B1y C1 0 與 l2 A2x B2y C2 0 垂直的充要條件是 A1A2 B1B2 0 3 兩條平行線 Ax By C1 0 與 Ax By C2 0 的距離是 22 21 BA CC d 4 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圓的充要條件 A C 0 且 B 0 且 D2 E2 4AF 0 5 過(guò)圓 x2 y2 r2上的點(diǎn) M x0 y0 的切線方程為 x0 x y0y r2 6 以 A x1 y2 B x2 y2 為直徑的圓的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 7 求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是 1 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式 2 作出 可行域 寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù) 3 確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置 從而獲得最優(yōu)解 八 圓錐曲線方程 1 橢圓焦半徑公式 設(shè) P x0 y0 為橢圓 a b 0 上任一點(diǎn) 焦點(diǎn)為 F1 1 2 2 2 2 b y a x c 0 F2 c 0 則 e 為離心率 0201 exaPFexaPF 2 雙曲線焦半徑公式 設(shè) P x0 y0 為雙曲線 a 0 b 0 上任一點(diǎn) 焦點(diǎn) 1 2 2 2 2 b y a x 為 F1 c 0 F2 c 0 則 1 當(dāng) P 點(diǎn)在右支上時(shí) 0201 exaPFexaPF 6 2 當(dāng) P 點(diǎn)在左支上時(shí) e 為離心率 0201 exaPFexaPF 另 雙曲線 a 0 b 0 的漸進(jìn)線方程為 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 3 拋物線焦半徑公式 設(shè) P x0 y0 為拋物線 y2 2px p 0 上任意一點(diǎn) F 為焦點(diǎn) 則 y2 2px p 0 上任意一點(diǎn) F 為焦點(diǎn) 則 2 0 p xPF 2 0 p xPF 4 涉及圓錐曲線的問(wèn)題勿忘用定義解題 5 共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù) 0 x a b y 2 2 2 2 b y a x 6 計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可利用上面的焦半徑公式 一般地 若斜率為 k 的直線被圓錐曲線所截得的弦為 AB A B 兩點(diǎn)分別為 A x1 y1 B x2 y2 則弦長(zhǎng) 4 1 1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 這里體現(xiàn)了解析幾何 設(shè)而不求 4 1 1 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 的解題思想 7 橢圓 雙曲線的通徑 最短弦 為 焦準(zhǔn)距為 p 拋物線的通徑為 2p 焦準(zhǔn) a b22 c b2 距為 p 雙曲線 a 0 b 0 的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為 b 1 2 2 2 2 b y a x 8 中心在原點(diǎn) 坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓 雙曲線方程可設(shè)為 Ax2 Bx2 1 9 拋物線 y2 2px p 0 的焦點(diǎn)弦 過(guò)焦點(diǎn)的弦 為 AB A x1 y1 B x2 y2 則有如下結(jié) 論 1 x1 x2 p 2 y1y2 p2 x1x2 AB 4 2 p 10 過(guò)橢圓 a b 0 左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為 AB 則 過(guò) 1 2 2 2 2 b y a x 2 21 xxeaAB 右焦點(diǎn)的弦 2 21 xxeaAB 11 對(duì)于 y2 2px p 0 拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為 y0 以簡(jiǎn)化計(jì)算 p y 2 2 0 12 處理橢圓 雙曲線 拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 為橢圓 a b 0 上不同的兩點(diǎn) M x0 y0 是 AB 的中點(diǎn) 則 KABKOM 對(duì) 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 于雙曲線 a 0 b 0 類(lèi)似可得 KAB KOM 對(duì)于 y2 2px p 0 拋物線 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 有 KAB 21 2 yy p 13 求軌跡的常用方法 1 直接法 直接通過(guò)建立 x y 之間的關(guān)系 構(gòu)成 F x y 0 是求軌跡的最基本的 方法 2 待定系數(shù)法 所求曲線是所學(xué)過(guò)的曲線 如直線 圓錐曲線等 可先根據(jù)條件列 出所求曲線的方程 再由條件確定其待定系數(shù) 代回所列的方程即可 7 3 代入法 相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法 若動(dòng)點(diǎn) P x y 依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn) Q x1 y1 的變化而 變化 并且 Q x1 y1 又在某已知曲線上 則可先用 x y 的代數(shù)式表示 x1 y1 再將 x1 y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程 4 定義法 如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義 則可由曲線的定義直 接寫(xiě)出方程 5 參數(shù)法 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P x y 坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到 也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí) 可考慮將 x y 均用一中間變量 參數(shù) 表示 得參數(shù)方程 再消去參數(shù)得普通方程 九 直線 平面 簡(jiǎn)單幾何體 1 從一點(diǎn) O 出發(fā)的三條射線 OA OB OC 若 AOB AOC 則點(diǎn) A 在平面 BOC 上的射 影在 BOC 的平分線上 2 已知 直二面角 M AB N 中 AE M BF N EAB ABF 異面直線 AE 1 2 與 BF 所成的角為 則 coscoscos 21 3 立平斜公式 如圖 AB 和平面所成的角是 AC 在平面內(nèi) AC 和 AB 的射影 AB 成 1 2 設(shè) BAC 則 coscos cos 3 1 2 3 4 異面直線所成角的求法 1 平移法 在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn) 作另一條的平行線 2 補(bǔ)形法 把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體 如正方體 平行六面體 長(zhǎng)方 體等 其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系 5 直線與平面所成的角 斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角 它的三條邊分別是平面的垂線段 斜線 段及斜線段在平面上的射影 通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段 垂足和斜 足的連線 是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵 6 二面角的求法 1 定義法 直接在二面角的棱上取一點(diǎn) 特殊點(diǎn) 分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線 得出平面角 用定義法時(shí) 要認(rèn)真觀察圖形的特性 2 三垂線法 已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線 用三垂線定理或逆定 理作出二面角的平面角 3 垂面法 已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí) 過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的 交線所成的角即為平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面與棱垂直 4 射影法 利用面積射影公式 S射 S原cos 其中為平面角的大小 此方法不必 在圖形中畫(huà)出平面角 特別 對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角 應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面 使之相交出現(xiàn)棱 然后 再選用上述方法 尤其要考慮射影法 7 空間距離的求法 1 兩異面直線間的距離 高考要求是給出公垂線 所以一般先利用垂直作出公垂線 然后再進(jìn)行計(jì)算 2 求點(diǎn)到直線的距離 一般用三垂線定理作出垂線再求解 3 求點(diǎn)到平面的距離 一是用垂面法 借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作 因此 確定已知 面的垂面是關(guān)鍵 二是不作出公垂線 轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高 利用等體積法列方程求解 A 8 8 正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等 記為 則 S側(cè)cos S底 9 已知 長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有 cos2 cos2 cos2 1 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為 則有 cos2 cos2 cos2 2 10 正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等與其體對(duì)角線長(zhǎng) 11 歐拉公式 如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為 V 面數(shù)為 F 棱數(shù)為 E 那么 V F E 2 并且 棱數(shù) E 各頂點(diǎn)連著的棱數(shù)和的一半 各面邊數(shù)和的一半 12 球的體積公式 V 表面積公式 掌握球面上兩點(diǎn) A B 間的距離求 3 3 4 R 2 4 RS 法 1 計(jì)算線段 AB 的長(zhǎng) 2 計(jì)算球心角 AOB 的弧度數(shù) 3 用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣 弧 AB 的長(zhǎng) 十 排列組合和概率 1 排列數(shù)公式 n n 1 n 2 n m 1 m n m n N 當(dāng) m n 時(shí)為全排 m n A mn n 列 n n 1 n 2 3 2 1 n n A 2 組合數(shù)公式 m n 123 2 1 1 1 mmm mnnn m A C m nm n 1 0 n nn CC 3 組合數(shù)性質(zhì) r n r n r n mn n m n CCCCC 1 1 4 常用性質(zhì) n n n 1 n 即 1 r n 1 1 n n n n n n AAnA 1 11 r r r n r r r r CCCC 5 二項(xiàng)式定理 1 掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 2 1 0 1 nrbaCT rrnr nr 2 注意第 r 1 項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與第 r 1 系數(shù)的區(qū)別 6 二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì) 1 與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等 2 若 n 為偶數(shù) 中間一項(xiàng) 第 1 項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)最大 若 n 為奇數(shù) 中間兩項(xiàng) 2 n 第和 1 項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)最大 2 1 n 2 1 n 3 2 2 13120210 n nnnn nn nnnn CCCCCCCC 7 F x ax b n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為 f 1 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 偶數(shù) 1 1 2 1 ff 項(xiàng)的系數(shù)和為 1 1 2 1 ff 8 等可能事件的概率公式 1 P A 2 互斥事件分別發(fā)生的概率公式為 m n P A B P A P B 3 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式為 P AB P A P B 9 4 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式 Pn k 5 如果事件 A B 互斥 那么事 1 knkk n ppC 件 A 與 與及事件與也都是互斥事件 6 如果事件 A B 相互獨(dú)立 那BABAB 么事件 A B 至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是 1 P AB 1 P A P B 6 如果事件 A B 相互獨(dú)立 那么事件 A B 至少有一個(gè)發(fā)生的概率是 1 P 1 P A BA P B 理科選修內(nèi)容基本知識(shí)理科選修內(nèi)容基本知識(shí) 十 概率與統(tǒng)計(jì) 1 理解隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量的定義 能夠?qū)懗鲭x散型隨機(jī)變量的分布列 由概率 的性質(zhì)可知 任意離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì) 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 1 2 二項(xiàng)分布 記作 B n p 其中 n p 為參數(shù) 并記 knkk n qpCkP pnkbqpC knkk n 3 記住以下重要公式和結(jié)論 x1X2 xn PP1P2 Pn 1 期望值 E x1p1 x2p2 xnpn 2 方差 D nn pExpExpEx 2 2 2 21 2 1 3 標(biāo)準(zhǔn)差 DabaDbaEbaED 2 4 若 B n p 則 E np D npq 這里 q 1 p 4 掌握抽樣的三種方法 1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 包括抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法 2 系統(tǒng) 抽樣 也叫等距離抽樣 3 分層抽樣 常用于某個(gè)總體由差異明顯的幾部分組成的 情形 5 總體分布的估計(jì) 用樣本估計(jì)總體 是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法 一般地 樣本容量越大 這種估計(jì)就越精確 要求能畫(huà)出頻率分布表和頻率分布直方圖 6 正態(tài)總體的概率密度函數(shù) 式中是參數(shù) 分別表示 2 1 2 2 2 Rxexf x 總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 7 正態(tài)曲線的性質(zhì) 1 曲線在 x 時(shí)處于最高點(diǎn) 由這一點(diǎn)向左 向右兩邊延伸 時(shí) 曲線逐漸降低 2 曲線的對(duì)稱(chēng)軸位置由確定 曲線的形狀由確定 越大 曲線 越矮胖 反過(guò)來(lái)曲線越高瘦 3 曲線在 x 軸上方 并且關(guān)于直線 x 對(duì)稱(chēng) 8 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)數(shù)值表計(jì)算一般正態(tài)分布的概率 2 N 10 P x1 x2 可由變換而得 于是有 P x1 x2 t x x xF 12 xx 9 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 1 提出統(tǒng)計(jì)假設(shè) 確定隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 2 N 2 確定一次試驗(yàn)中的取值 a 是否落入范圍 3 作出推斷 如果 3 3 a 接受統(tǒng)計(jì)假設(shè) 如果 a 由于這是小概率事 3 3 3 3 件 就拒絕假設(shè) 十一 極限 1 與自然數(shù)有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸納法證明 其步驟是 1 驗(yàn)證命題對(duì)于第一個(gè)自 然數(shù) n n0 k n0 時(shí)成立 2 假設(shè) n k 時(shí)成立 從而證明當(dāng) n k 1 時(shí)命題也成立 3 得出結(jié)論 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 其中兩步在推理中的作用是 第一步 是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 二者缺一不可 第二步證明時(shí)要一湊假設(shè) 二湊 結(jié)論 2 數(shù)列極限 1 掌握數(shù)列極限的直觀描述性定義 2 掌握數(shù)列極限的四則運(yùn)算法 則 注意其適用條件 一是數(shù)列 an bn 的極限都存在 二是僅適用于有限個(gè)數(shù)列的 和 差 積 商 對(duì)于無(wú)限個(gè)數(shù)列的和 或積 應(yīng)先求和 或積 再求極限 3 常用的幾個(gè)數(shù)列極限 C 為常數(shù) 1 q 為CC n lim 0 1 lim n n 0lim n n qa 常數(shù) 4 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式 0 q a SS n n 1 lim 11 q 3 函數(shù)的極限 1 當(dāng) x 趨向于無(wú)窮大時(shí) 函數(shù)的極限為 a axfxf nn lim lim 2 當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限為 a 0 xx axfxf xxxx lim lim 00 3 掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 4 函數(shù)的連續(xù)性 1 如果對(duì)函數(shù) f x 在點(diǎn) x x0處及其附近有定義 而且還有 就說(shuō)函數(shù) f x 在點(diǎn) x0處連續(xù) 2 若 f x 與 g x 都在點(diǎn) x0處連 lim 0 0 xfxf xx 續(xù) 則 f x g x f x g x g x 0 也在點(diǎn) x0處連續(xù) 3 若 u x 在點(diǎn) x0 xg xf 處連續(xù) 且 f u 在 u0 u x0 處連續(xù) 則復(fù)合函數(shù) f u x 在點(diǎn) x0處也連續(xù) 5 初等函數(shù)的連續(xù)性 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù)等都屬于基初等函數(shù) 基本初等 函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù) 基本初等函數(shù)及常數(shù)函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合后 所得到的函數(shù) 都是初等函數(shù) 初等函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的極限運(yùn) 算 如果函數(shù)在點(diǎn) x0處有極限 那么 lim 0 0 xfxf xx 十二 導(dǎo)數(shù) 11 1 導(dǎo)數(shù)的定義 f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)記作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)步驟為 1 求 函數(shù)的增量 2 2 求平均變化率 xfxxfy x xfxxf x y 3 取極限 得導(dǎo)數(shù) x y xf x 0 lim 3 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 如果函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0處可導(dǎo) 那么函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0處連續(xù) 但是 y f x 在點(diǎn) x0處連續(xù)卻不一定可導(dǎo) 4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線 y f x 在點(diǎn) P x0 f x0 處的切線的斜率是相應(yīng) 0 x f 地 切線方程是 000 xxxfyy 5 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 2 v vuvu v u vuvuuvvuvu 6 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 cosx sinxQ mmx x C0 1 mm 為常數(shù)C log 1 log x 1 lnxlna a a e e sinx cosx e a x a xxxx x 7 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) xux uyy 8 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1 利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù) y f x 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 如果那么 0 x f f x 為增函數(shù) 如果那么 f x 為減函數(shù) 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 0 x f 那么 f x 為常數(shù) 0 x f 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù) 求方程的根 檢驗(yàn) x f 0 x f 在方程根的左右的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么函數(shù) y f x 在這個(gè)根處 x f 0 x f 取得最大值 如果左負(fù)右正 那么函數(shù) y f x 在這個(gè)根處取得最小值 3 求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟 求 y f x 在 a b 內(nèi)的極值 將 y f x 在各極值點(diǎn)的極值與 f a f b 比較 其中最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)是最 小值 十四 復(fù)數(shù) 1 理解復(fù)數(shù) 實(shí)數(shù) 虛數(shù) 純虛數(shù) 模 輻角 輻角主值 共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾 何表示 2 熟練掌握 靈活運(yùn)用以下結(jié)論 1 a bi c dia c 且 c d a b c d R 2 復(fù)數(shù)是 實(shí)數(shù)的條件 z a bi Rb 0 a b R z Rz z Rz2 0 z 3 復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件 z a bi 是純虛數(shù)a 0 且 b 0 a b R z 是純虛數(shù) z 0 z 0 z 是純虛數(shù)z2 0 z 12 4 解答復(fù)數(shù)問(wèn)題 要學(xué)會(huì)從整體的角度出發(fā)去分析和求解 整體思想貫穿整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容 如果遇到復(fù)數(shù)就設(shè) z a bi a b R 則有時(shí)會(huì)給問(wèn)題的解答帶來(lái)不必要的運(yùn)算上困難 若能把握住復(fù)數(shù)的整體性質(zhì) 充分運(yùn)用整體思想 則能事半功倍 5 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算 1 復(fù)數(shù)的加 減 乘 除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行 設(shè) z1 a bi z2 c di a b c d R z 1 z2 a b c d i z1 z2 a bi c di ac bd ad bc I z1 z2 z2 0 i dc adbc dc bdac 2222 6 幾個(gè)重要的結(jié)論 zzz 3 2 2 1 2 2222 2 2 1 2 21 2 21 為虛數(shù) 則若zzzzzzzzzz 6 運(yùn)算律仍然成立 1 3 2 2121 Nnmzzzzzzzzz mm mmnnmnmnm 7 進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí) 常要注意或適當(dāng)變形創(chuàng)造條件 從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的性質(zhì) i 計(jì)算問(wèn)題 注意以下結(jié)論的靈活應(yīng)用 的 i 1 1 1 1 2 2 1 1 2 i i i i i i ii 0 4 0 3 32121 NniiiiNn nnnnnnn 8 z zzzz 1 11 文科選修內(nèi)容基本知識(shí)文科選修內(nèi)容基本知識(shí) 十 抽樣方法 總體分布的估計(jì)與總體的期望和方差 1 掌握抽樣的二種方法 1 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 包括抽簽符和隨機(jī)數(shù)表法 2 分層 抽樣 常用于某個(gè)總體由差異明顯的幾部分組成的情形 2 總體分布的估計(jì) 用樣本估計(jì)總體 是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法 一般地 樣本容量越大 這種估計(jì)就越精確 要求能畫(huà)出頻率分布表和頻率分布直方圖 3 總體特征數(shù)的估計(jì) 1 學(xué)會(huì)用樣本平均數(shù)去估計(jì)總 n i in x n xxx n x 1 21 1 1 體平均數(shù) 2 學(xué)會(huì)用樣本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 去估計(jì)總體方差及總體標(biāo)準(zhǔn)差 2 學(xué)會(huì)用修正的樣 1 1 2 1 22 1 xnx n xx n n i i n i i 2 本方差去估計(jì)總體方差 會(huì)用 1 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 2 去估計(jì) S 十一 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 1 導(dǎo)數(shù)的定義 f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)記作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)步驟為 1 求函數(shù)的增量 xfxxfy 2 求平均變化率 x xfxxf x y 13 3 取極限 得導(dǎo)數(shù) x y xf x 0 lim 3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線 y f x 在點(diǎn) P x0 f x0 處的切線的斜率是相應(yīng) 0 x f 地 切線方程是 000 xxxfyy 4 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 Q mmx x C0 1 mm 為常數(shù)C 5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù) y f x 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 如果那么 f x 為增函數(shù) 如果那么 f x 為減函數(shù) 如果在某個(gè)區(qū) 0 x f 0 x f 間內(nèi)恒有那么 f x 為常數(shù) 0 x f 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求導(dǎo)數(shù) 求方程的根 檢驗(yàn) x f 0 x f 在方程根的左右的符號(hào) 如果左正右負(fù) 那么函數(shù) y f x 在這個(gè)根處 x f 0 x f 取得最大值 如果左負(fù)右正 那么函數(shù) y f x 在這個(gè)根處取得最小值 3 求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟 求 y f x 在 a b 內(nèi)的極值 將 y f x 在各極值點(diǎn)的極值與 f a f b 比較 其中最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)是最 小值 中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想中學(xué)數(shù)學(xué)重要數(shù)學(xué)思想 一 函數(shù)方程思想函數(shù)方程思想 函數(shù)方程思想就是用函數(shù) 方程的觀點(diǎn)和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系 從而解決問(wèn)題 的一種思維方式 是很重要的數(shù)學(xué)思想 1 函數(shù)思想 把某變化過(guò)程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái) 并研究這些量間 的相互制約關(guān)系 最后解決問(wèn)題 這就是函數(shù)思想 2 應(yīng)用函數(shù)思想解題 確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟 大體可分為下面兩個(gè)步驟 1 根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題 2 根據(jù)需要 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題 3 方程思想 在某變化過(guò)程中 往往需要根 據(jù)一些要求 確定某些變量的值 這時(shí)常常列出這些變量的方程或 方程組 通過(guò)解方程 或方程組 求出它們 這就是方程思想 3 函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念 它們之間相互滲透 很多方程的問(wèn)題需要用 函數(shù)的知識(shí)和方法解決 很多函數(shù)的問(wèn)題也需要用方程的方法的支援 函數(shù)與方程之間的辯 證關(guān)系 形成了函數(shù)方程思想 二 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一 對(duì)于所研究的代數(shù)問(wèn)題 有時(shí)可研究其對(duì)應(yīng) 幾何的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決 以形助數(shù) 或者對(duì)于所研究的幾何問(wèn)題 可借助于對(duì)應(yīng)圖形 的數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得以解決 以數(shù)助形 這種解決問(wèn)題的方法稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合 1 數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動(dòng)性和直觀性 發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán) 密性 兩者相輔相成 揚(yáng)長(zhǎng)避短 2 恩格斯是這樣來(lái)定義數(shù)學(xué)的 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué) 這 就是說(shuō) 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征 宇宙間萬(wàn)事萬(wàn)物無(wú)不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一 因此 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂 14 3 數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是 幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系 數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì) 4 華羅庚先生曾指出 數(shù)缺性時(shí)少直觀 形少數(shù)時(shí)難入微 數(shù)形結(jié)合百般好 隔裂分家萬(wàn) 事非 數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形 或借助于數(shù)的精確性來(lái) 闡明形的某些屬性 或者借助于形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系 5 把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中 歷年高考的解答題都有關(guān)于這個(gè)方面的 考查 即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題 而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn) 6 我們要抓住以下幾點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng) 1 對(duì)于研究距離 角或面積的問(wèn)題 可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可 2 對(duì)于研究函數(shù) 方程或不等式 最值 的問(wèn)題 可通過(guò)函數(shù)的圖象求解 函數(shù)的零點(diǎn) 頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn) 作好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用 3 對(duì)于以下類(lèi)型的問(wèn)題需要注意 3 2 1 22 ByAx bx ay byax 可分別通過(guò)構(gòu)造距離函數(shù) 斜率函數(shù) 截距函數(shù) 單位 5 sin cos 4 22 babaF 圓 x2 y2 1 上的點(diǎn)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的 sin cos 三 分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想 分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 當(dāng)問(wèn)題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí) 就需要對(duì)研究的 對(duì)象進(jìn)行分類(lèi) 然后對(duì)每一類(lèi)分別研究 給出每一類(lèi)的結(jié)果 最終綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn) 題的解答 1 有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想來(lái)解決 引起分類(lèi)討論的原因大致可歸納 為如下幾種 1 涉及的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)討論的 2 運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理 公式 或運(yùn)算性質(zhì) 法則是分類(lèi)給出的 3 求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能性 4 數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量 這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的 5 較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題 需要采取分類(lèi)討論的解題策略來(lái)解決的 2 分類(lèi)討論是一種邏輯方法 在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用 根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分 類(lèi)方法 但分類(lèi)必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā) 做到不重復(fù) 不遺漏 包含各種情況 同時(shí)要有利 于問(wèn)題研究 四 化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想 所謂化歸思想方法 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn) 化 進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法 一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變化轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題 將難解 問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題 將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題 立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有 1 通過(guò)輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 把已知元素和未知元素聚集在一個(gè)平面內(nèi) 實(shí)現(xiàn)點(diǎn)線 線 線 線面 面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 2 平移和射影 通過(guò)平移或射影達(dá)到將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 化未知為已知的目的 3 等積與割補(bǔ) 4 類(lèi)比和聯(lián)想 5 曲與直的轉(zhuǎn)化 6 體積比 面積比 長(zhǎng)度比的轉(zhuǎn)化 7 解析幾何本身的創(chuàng)建過(guò)程就是 數(shù) 與 形 之間互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程 解析幾何把數(shù)學(xué)的主 15 要研究對(duì)象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來(lái) 把代數(shù)與幾何融合為一體 中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法中學(xué)數(shù)學(xué)常用解題方法 1 配方法配方法 配方法是指將一代數(shù)形式變形成一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式平方的形式 其基本形式是 ax2 bx c 高考中常見(jiàn)的基本配方形式有 0 4 4 2 2 2 a a bac a b xa 1 a2 b2 a b 2 2a b a b 2 2 ab 2 2 a2 b2 ab 22 2 3 2 1 bba 3 3 a2 b2 c2 a b c 2 2 ab 2 a c 2 bc 4 4 a2 b2 c2 a b bc a c a b 2 b c 2 a c 2 2 1 5 2 1 1 2 2