Excel回歸分析結果的詳細闡釋.doc

Excel回歸分析結果的詳細闡釋利用Excel的數(shù)據(jù)分析進行回歸，可以得到一系列的統(tǒng)計參量。下面以連續(xù)10年積雪深度和灌溉面積序列（圖1）為例給予詳細的說明。圖1 連續(xù)10年的最大積雪深度與灌溉面積（19711980）回歸結果摘要（Summary Output）如下（圖2）：圖2 利用數(shù)據(jù)分析工具得到的回歸結果第一部分：回歸統(tǒng)計表這一部分給出了相關系數(shù)、測定系數(shù)、校正測定系數(shù)、標準誤差和樣本數(shù)目如下（表1）：表1 回歸統(tǒng)計表逐行說明如下：Multiple對應的數(shù)據(jù)是相關系數(shù)(correlation coefficient)，即R=0.989416。R Square對應的數(shù)值為測定系數(shù)(determination coefficient)，或稱擬合優(yōu)度(goodness of fit)，它是相關系數(shù)的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。Adjusted對應的是校正測定系數(shù)(adjusted determination coefficient)，計算公式為式中n為樣本數(shù)，m為變量數(shù)，R2為測定系數(shù)。對于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得標準誤差（standard error）對應的即所謂標準誤差，計算公式為這里SSe為剩余平方和，可以從下面的方差分析表中讀出，即有SSe=16.10676，代入上式可得最后一行的觀測值對應的是樣本數(shù)目，即有n=10。第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、誤差平方和、均方差、F值、P值等（表2）。表2 方差分析表（ANOVA）逐列、分行說明如下：第一列df對應的是自由度（degree of freedom），第一行是回歸自由度dfr，等于變量數(shù)目，即dfr=m；第二行為殘差自由度dfe，等于樣本數(shù)目減去變量數(shù)目再減1，即有dfe=n-m-1；第三行為總自由度dft，等于樣本數(shù)目減1，即有dft=n-1。對于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。第二列SS對應的是誤差平方和，或稱變差。第一行為回歸平方和或稱回歸變差SSr，即有它表征的是因變量的預測值對其平均值的總偏差。第二行為剩余平方和（也稱殘差平方和）或稱剩余變差SSe，即有它表征的是因變量對其預測值的總偏差，這個數(shù)值越大，意味著擬合的效果越差。上述的y的標準誤差即由SSe給出。第三行為總平方和或稱總變差SSt，即有它表示的是因變量對其平均值的總偏差。容易驗證748.8542+16.10676=764.961，即有而測定系數(shù)就是回歸平方和在總平方和中所占的比重，即有顯然這個數(shù)值越大，擬合的效果也就越好。第四列MS對應的是均方差，它是誤差平方和除以相應的自由度得到的商。第一行為回歸均方差MSr，即有第二行為剩余均方差MSe，即有顯然這個數(shù)值越小，擬合的效果也就越好。第四列對應的是F值，用于線性關系的判定。對于一元線性回歸，F(xiàn)值的計算公式為式中R2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此第五列Significance F對應的是在顯著性水平下的F臨界值，其實等于P值，即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假的概率，顯然1-P便是模型為真的概率?？梢?，P值越小越好。對于本例，P=0.00000005420.0001，故置信度達到99.99%以上。第三部分，回歸參數(shù)表回歸參數(shù)表包括回歸模型的截距、斜率及其有關的檢驗參數(shù)（表3）。表3 回歸參數(shù)表第一列Coefficients對應的模型的回歸系數(shù)，包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065，由此可以建立回歸模型或第二列為回歸系數(shù)的標準誤差（用或表示），誤差值越小，表明參數(shù)的精確度越高。這個參數(shù)較少使用，只是在一些特別的場合出現(xiàn)。例如L. Benguigui等人在When and where is a city fractal?一文中將斜率對應的標準誤差值作為分形演化的標準，建議采用0.04作為分維判定的統(tǒng)計指標（參見EPB2000）。不常使用標準誤差的原因在于：其統(tǒng)計信息已經(jīng)包含在后述的t檢驗中。第三列t Stat對應的是統(tǒng)計量t值，用于對模型參數(shù)的檢驗，需要查表才能決定。t值是回歸系數(shù)與其標準誤差的比值，即有，根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)容易算出：，對于一元線性回歸，t值可用相關系數(shù)或測定系數(shù)計算，公式如下將R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到對于一元線性回歸，F(xiàn)值與t值都與相關系數(shù)R等價，因此，相關系數(shù)檢驗就已包含了這部分信息。但是，對于多元線性回歸，t檢驗就不可缺省了。第四列P value對應的是參數(shù)的P值（雙側）。當P0.05時，可以認為模型在=0.05的水平上顯著，或者置信度達到95%；當P0.01時，可以認為模型在=0.01的水平上顯著，或者置信度達到99%；當P0.001時，可以認為模型在=0.001的水平上顯著，或者置信度達到99.9%。對于本例，P=0.00000005420.0001，故可認為在=0.0001的水平上顯著，或者置信度達到99.99%。P值檢驗與t值檢驗是等價的，但P值不用查表，顯然要方便得多。最后幾列給出的回歸系數(shù)以95%為置信區(qū)間的上限和下限?？梢钥闯觯?0.05的顯著水平上，截距的變化上限和下限為-1.85865和6.57153，即有斜率的變化極限則為1.59615和2.02969，即有第四部分，殘差輸出結果這一部分為選擇輸出內(nèi)容，如果在“回歸”分析選項框中沒有選中有關內(nèi)容，則輸出結果不會給出這部分結果。殘差輸出中包括觀測值序號（第一列，用i表示），因變量的預測值（第二列，用表示），殘差（residuals，第三列，用ei表示）以及標準殘差（表4）。表4 殘差輸出結果預測值是用回歸模型計算的結果，式中xi即原始數(shù)據(jù)的中的自變量。從圖1可見，x1=15.2，代入上式，得其余依此類推。殘差ei的計算公式為從圖1可見，y1=28.6，代入上式，得到其余依此類推。標準殘差即殘差的數(shù)據(jù)標準化結果，借助均值命令average和標準差命令stdev容易驗證，殘差的算術平均值為0，標準差為1.337774。利用求平均值命令standardize(殘差的單元格范圍，均值，標準差)立即算出表4中的結果。當然，也可以利用數(shù)據(jù)標準化公式逐一計算。將殘差平方再求和，便得到殘差平方和即剩余平方和，即有利用Excel的求平方和命令sumsq容易驗證上述結果。以最大積雪深度xi為自變量，以殘差ei為因變量，作散點圖，可得殘差圖（圖3）。殘差點列的分布越是沒有趨勢（沒有規(guī)則，即越是隨機），回歸的結果就越是可靠。用最大積雪深度xi為自變量，用灌溉面積yi及其預測值為因變量，作散點圖，可得線性擬合圖（圖4）。圖3 殘差圖圖4 線性擬合圖第五部分，概率輸出結果在選項輸出中，還有一個概率輸出（Probability Output）表（表5）。第一列是按等差數(shù)列設計的百分比排位，第二列則是原始數(shù)據(jù)因變量的自下而上排序（即從小到大）選中圖1中的第三列（C列）數(shù)據(jù)，用鼠標點擊自下而上排序按鈕，立即得到表5中的第二列數(shù)值。當然，也可以沿著主菜單的“數(shù)據(jù)(D)排序(S)”路徑，打開數(shù)據(jù)排序選項框，進行數(shù)據(jù)排序。用表5中的數(shù)據(jù)作散點圖，可以得到Excel所謂的正態(tài)概率圖（圖5）。表5 概率輸出表圖5 正態(tài)概率圖【幾點說明】第一， 多元線性回歸與一元線性回歸結果相似，只是變量數(shù)目m1，F(xiàn)值和t值等統(tǒng)計量與R值也不