2016年北京高考數(shù)學(xué)文科試題及答案.doc

絕密啟封并使用完畢前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，或，則（ ） A. B.或 C. D.或2.復(fù)數(shù)（ ） A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ） A. 8 B. 9 C. 27 D. 36 4.下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.5.圓的圓心到直線的距離為（ ） A.1 B.2 C. D.26.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為（ ） A. B. C. D.7.已知，若點(diǎn)在線段上，則的最大值為（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a1b658.某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則 A.2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B.5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C.8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9.已知向量 ，則a與b夾角的大小為_.10.函數(shù)的最大值為_.11.某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_.12.已知雙曲線 （，）的一條漸近線為，一個焦點(diǎn)為，則_；_.13.在ABC中， ，則=_.14.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店:第一天售出但第二天未售出的商品有_種；這三天售出的商品最少有_種.三、解答題（共6題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15.（本小題13分）已知是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，且，. （1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.（本小題13分）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.17.（本小題13分）某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（I）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？（II）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).18.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面，（I）求證：；（II）求證：；（III）設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面?說明理由.19. （本小題14分）已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率；（）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.20.（本小題13分）設(shè)函數(shù)（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.絕密考試結(jié)束前 2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案1,【答案】C考點(diǎn)： 集合交集【名師點(diǎn)睛】1首先要弄清構(gòu)成集合的元素是什么(即元素的意義)，是數(shù)集還是點(diǎn)集，如集合，三者是不同的 2集合中的元素具有三性確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數(shù)時，以及在含參的集合運(yùn)算中，常因忽視互異性，疏于檢驗(yàn)而出錯 3數(shù)形結(jié)合常使集合間的運(yùn)算更簡捷、直觀對離散的數(shù)集間的運(yùn)算或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖實(shí)施，對連續(xù)的數(shù)集間的運(yùn)算，常利用數(shù)軸進(jìn)行，對點(diǎn)集間的運(yùn)算，則通過坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形求解，這在本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用 4空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能另外，不可忽視空集是任何元素的子集2.【答案】A【解析】試題分析：，故選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)，乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化3.【答案】B考點(diǎn)： 程序框圖【名師點(diǎn)睛】解決循環(huán)結(jié)構(gòu)框圖問題，要先找出控制循環(huán)的變量的初值、步長、終值(或控制循環(huán)的條件)，然后看循環(huán)體，循環(huán)次數(shù)比較少時，可依次列出，循環(huán)次數(shù)較多時，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律，要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯誤.4.【答案】D【解析】試題分析：由在上單調(diào)遞減可知D符合題意，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法(2)兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)；(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性.5.【答案】C考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】點(diǎn)到直線(即)的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.6.【答案】B【解析】試題分析：所求概率為，故選B.考點(diǎn)：古典概型【名師點(diǎn)睛】如果基本事件的個數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件A中的基本事件數(shù)，利用公式求出事件A的概率，這是一個形象直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏.如果基本事件個數(shù)比較多，列舉有一定困難時，也可借助兩個計(jì)數(shù)原理及排列組合知識直接計(jì)算m，n，再運(yùn)用公式求概率.7.【答案】C考點(diǎn)： 函數(shù)最值【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)值域的常用方法：單調(diào)性法，如(5)；配方法，如(2)；分離常數(shù)法，如(1)；數(shù)形結(jié)合法；換元法(包括代數(shù)換元與三角換元)，如(2)，(3)；判別式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；導(dǎo)數(shù)法，主要是針對在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)；圖象法，求分段函數(shù)的值域通常先作出函數(shù)的圖象，然后由函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的值域，如(6)；對于二元函數(shù)的值域問題，如(5)，其解法要針對具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數(shù)化為一元函數(shù)求值域，有些題目也可用不等式法求值域求函數(shù)的值域是個較復(fù)雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握8.【答案】B【解析】試題分析：將確定成績的30秒跳繩成績的按從大到小的順尋排，分別是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7號進(jìn)了立定跳遠(yuǎn)的決賽，10號沒進(jìn)立定跳遠(yuǎn)的決賽，故9號需進(jìn)30秒跳繩比賽的前8名，此時確定的30秒跳繩比賽決賽的名單為3，6，7，10，9，還需3個編號為1-8的同學(xué)進(jìn)決賽，而（1，5）與4的成績僅相隔1，故只能1，5，4進(jìn)30秒跳繩的決賽，故選B.考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)【名師點(diǎn)睛】本題將統(tǒng)計(jì)與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)分析排名的多種可能性，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏，另外注意條件中數(shù)據(jù)的特征.9.【答案】考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】由向量數(shù)量積的定義(為，的夾角)可知，數(shù)量積的值、模的乘積、夾角知二可求一，再考慮到數(shù)量積還可以用坐標(biāo)表示，因此又可以借助坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.當(dāng)然，無論怎樣變化，其本質(zhì)都是對數(shù)量積定義的考查.求解夾角與模的題目在近年高考中出現(xiàn)的頻率很高，應(yīng)熟練掌握其解法.10.【答案】2【解析】試題分析：，即最大值為2.考點(diǎn)：函數(shù)最值,數(shù)形結(jié)合【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)值域的常用方法：單調(diào)性法，如(5)；配方法，如(2)；分離常數(shù)法，如(1)；數(shù)形結(jié)合法；換元法(包括代數(shù)換元與三角換元)，如(2)，(3)；判別式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；導(dǎo)數(shù)法，主要是針對在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)；圖象法，求分段函數(shù)的值域通常先作出函數(shù)的圖象，然后由函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的值域，如(6)；對于二元函數(shù)的值域問題，如(5)，其解法要針對具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數(shù)化為一元函數(shù)求值域，有些題目也可用不等式法求值域求函數(shù)的值域是個較復(fù)雜的問題，它比求函數(shù)的定義域難度要大，而單調(diào)性法，即根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性求函數(shù)的值域是較為簡單且常用的方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握11.【答案】考點(diǎn)：三視圖【名師點(diǎn)睛】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征.常見的有以下幾類：三視圖為三個三角形，對應(yīng)的幾何體為三棱錐；三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應(yīng)的幾何體為四棱錐；三視圖為兩個三角形，一個圓，對應(yīng)的幾何體為圓錐；三視圖為一個三角形，兩個四邊形，對應(yīng)的幾何體為三棱柱；三視圖為三個四邊形，對應(yīng)的幾何體為四棱柱；三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應(yīng)的幾何體為圓柱.12.【答案】.【解析】試題分析：依題意有,結(jié)合,解得.考點(diǎn)：雙曲線的基本概念【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.13.【答案】1考點(diǎn)：解三角形【名師點(diǎn)睛】根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用14.【答案】16；29 【解析】試題分析：由于前二天都售出的商品有3種，因此第一天售出的有19-3=16種商品第二天未售出；答案為16同第三售出的商品中有14種第二天未售出，有1種商品第一天未售出，三天總商品種數(shù)最少時，是第三天中14種第二天未售出的商品都是第一天售出過的，此時商品總數(shù)為29分別用表示第一、二、三天售出的商品，如圖最少時的情形故答案為29考點(diǎn)： 統(tǒng)計(jì)分析【名師點(diǎn)睛】本題將統(tǒng)計(jì)與實(shí)際情況結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題，關(guān)鍵在于分析商品出售的所有可能的情況，分類討論做到不重復(fù)不遺漏，另外，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.15.【答案】（1）（，）；（2）（II）由（I）知，因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和考點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力.【名師點(diǎn)睛】1.數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列Sn的通項(xiàng).通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一；2.數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.16.【答案】（）（）（）考點(diǎn)：兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的單調(diào)性：1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法；2利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不屬于的，可先化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)若不是同名三角函數(shù)，則應(yīng)考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法(例如與0比較，與1比較等)求解17.【答案】（）3；（）10.5元.（II）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：組號12345678分組頻率根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：（元）考點(diǎn)：頻率分布直方圖求頻率，頻率分布直方圖求平均數(shù)的估計(jì)值.【名師點(diǎn)睛】1.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.18.【答案】（）見解析；（）見解析；（III）存在.理由見解析.（III）棱上存在點(diǎn)，使得平面證明如下：取中點(diǎn)，連結(jié)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；空間想象能力，推理論證能力【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等.19.【答案】（）；（）見解析.所以離心率從而四邊形的面積為定值考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的