7.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法

第7章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 7.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法 習(xí)題解1用比較判別法或極限判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：；【解】給定級(jí)數(shù)為，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于（），而級(jí)數(shù)發(fā)散（為調(diào)和級(jí)數(shù)），即由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。；【解】給定級(jí)數(shù)為，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，有（），而級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)，知級(jí)數(shù)收斂，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】給定級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，有（），而級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。；【解】給定級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于有（），而級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)，知級(jí)數(shù)收斂，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，給定級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于（），而級(jí)數(shù)是公比的等比級(jí)數(shù)，收斂，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（）。【解】由于，給定級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，由有（），而級(jí)數(shù)是公比的等比級(jí)數(shù)，收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)是常數(shù)級(jí)數(shù)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，由于，得，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件（性質(zhì)7.1.5）知，這時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。綜上知，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。2判別級(jí)數(shù)的斂散性?！窘狻坑捎?，由定理7.2.3（比較判別法的極限形式）知，級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)具有相同的斂散性，而級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，從而知，級(jí)數(shù)也收斂。3用比值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，又因當(dāng)時(shí)，可得，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂?！窘狻坑捎?，由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。*4用根值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：；【解】由于，由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，由根值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。【解】由于由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。5判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于,由比較判別法的極限形式知，級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)具有相同的斂散性，而級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，從而知，級(jí)數(shù)發(fā)散。；【解】由于，由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。；【解】由于，即級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知，級(jí)數(shù)發(fā)散。；【解】由于，（），而級(jí)數(shù)，其中是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，由性質(zhì)7.1.1知也發(fā)散，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。【解】由于為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（），而級(jí)數(shù)是公比的等比級(jí)數(shù)，收斂，即由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。6設(shè)（），且及均收斂，證明級(jí)數(shù)收斂。【證明】因?yàn)榧熬諗?，?