XX211圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納

XX211圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納 xx-2-111圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)12F F、的距離之和等于常數(shù)（大于12FF）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。 第二定義動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù))10(?e e，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫做橢圓。 定點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，定直線l叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做橢圓的離心率。 說(shuō)明若常數(shù)2a等于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段12F F。 若常數(shù)2a小于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程)0(12222?b abyax中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上)0(12222?b abxay中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形范圍x ay b?，x by a?，頂點(diǎn)?12120000A aA aB b B b?，、，、，?12120000A aA aB b B b?，、，、，對(duì)稱軸x軸、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上x軸、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上焦點(diǎn)?1200F cF c?，、，?1200F cF c?，、，焦距)0(221?c cF F)0(221?c cF F離心率)10(?eace)10(?eace準(zhǔn)線2axc?2ayc?參數(shù)方程與普通方程22221x yab?的參數(shù)方程為?cossinx ayb?為參數(shù)22221y xab?的參數(shù)方程為?cossiny axb?為參數(shù)3.2焦半徑公式橢圓上的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線段長(zhǎng)稱為焦半徑。 焦半徑公式橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)12F F、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，?00P xy，是橢圓上任一點(diǎn)，則10PF aex?，20PF aex?。 推導(dǎo)過(guò)程由第二定義得11PFed?（1d為點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離），則211000aPF ede xex aa exc?；同理得20PF aex?。 簡(jiǎn)記為左“”右“”。 由此可見，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。 若焦點(diǎn)在y軸上，則為22221y xab?。 有時(shí)為了運(yùn)算方便，設(shè)),0(122n mm nymx?。 判定直線與橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)方法定理1:設(shè)1F、2F分別是橢圓1:2222?byaxC?0?b a的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面中的任意一點(diǎn)，則 （1）?a PF PF221點(diǎn)P在橢圓上. （2）?a PFPF221點(diǎn)P在橢圓外. （3）?a PFPF221點(diǎn)P在橢圓內(nèi).證明: (1)由橢圓的定義直接可得這個(gè)結(jié)論. (2)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí):如圖,連結(jié)1PF交橢圓于點(diǎn)M,則2121PF MFPM PFPF?a MFMF221?即a PFPF221?成立.即:點(diǎn)P在橢圓外?a PFPF221? (3)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí):如圖,連結(jié)P F1并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M,則32121PF MPMF PFPF? (2)2)當(dāng)a PFPF221?時(shí):若點(diǎn)P在橢圓上,則有a PFPF221?得矛盾若點(diǎn)P在橢圓內(nèi),則有a PFPF221?得矛盾點(diǎn)P在橢圓外.即?a PFPF221點(diǎn)P在橢圓外. (3)2)同理可得?a PFPF221點(diǎn)P在橢圓內(nèi).定理2設(shè)直線l上的動(dòng)點(diǎn)P到橢圓1:2222?byaxC?0?b a兩焦點(diǎn)1F、2F的距離和的最小值為m,則 （1）?a m2直線l和橢圓C相切； （2）?a m2直線l和橢圓C相離； （1）?a m2直線l和橢圓C相交；證明: (1)直線l和橢圓C相切?直線l和橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)?直線l上有且僅有一個(gè)點(diǎn)在橢圓上,而其它點(diǎn)全在橢圓外?21PFPF?的最小值為a2?a m2? (2)直線l和橢圓C相離?直線l上的所有點(diǎn)都在橢圓C的外部?a PFPF221?恒成立?a m2? (3)直線l和橢圓C相交4?直線l上至少存在一點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部?直線l上至少存在一點(diǎn)P使a PFPF221?成立?a m2?注:容易驗(yàn)證對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,上述結(jié)論也成立.定理3已知直線)0(0:22?B AC ByAx l橢圓1byax:C2222?R b a,，則 （1）和橢圓相交直線l c Bb A a?022222； （2）和橢圓相切直線l c Bb A a?022222； （3）和橢圓相離直線l cBbA a?022222。 證明作坐標(biāo)變換?by yaxx則在新坐標(biāo)系y ox中橢圓C變成曲線C的方程為122?y x（已化為單位圓），直線l變成直線l的方程為0?c bByaAx，易見坐標(biāo)變換前后直線和曲線的位置關(guān)系（公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）保持不變；在y ox中，由于圓心o到直線l的距離2222|BbA acd?l直線和橢圓C相交?l和單位圓o相交?1d?22222cBbAa022222?cBbAa同理l直線?0和橢圓C相切/l直線?0和橢圓C相離例1已知:橢圓C以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在x軸上，且與兩直線010405?y xy x和均相切，求橢圓C的方程。 解設(shè)橢圓的方程為12222?byax橢圓和直線05?y x相切由定理3可知25221?b a又橢圓和直線50104?y x相切10016222?ba由?10016252222b aba解得?52022ba橢圓的方程為152022?y x雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)1定義 （1）第一定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F 1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。 說(shuō)明|PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡。 設(shè)M是雙曲線上任意一點(diǎn)，若M點(diǎn)在雙曲線右邊一支上，則|MF1|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。 2雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程)0b,0a(1byax2222?)0b,0a(1bxay2222?圖形焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）頂點(diǎn)A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對(duì)稱軸實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在x軸上，c2=a2+b2實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在y軸上，c2=a2+b2離心率|2MDMFace?|2MDMFace?準(zhǔn)線方程cax:l,cax:l2221?準(zhǔn)線間距離為ca22cay:l,cay:l2221?準(zhǔn)線間距離為ca22漸近線方程0,0?byaxbyax0,0?aybxaybx3幾個(gè)概念 （1）等軸雙曲線實(shí)、虛軸相等的雙曲線。 等軸雙曲線的漸近線為y=x，離心率為2。 （62）共軸雙曲線以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例12222?byax的共軸雙曲線是12222?byax。 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。 但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l為拋物線的準(zhǔn)線。 注定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M；一定點(diǎn)F（即焦點(diǎn)）；一定直線l（即準(zhǔn)線）；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比1）定義中的隱含條件焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上。 若F在l上，拋物線退化為過(guò)F且垂直于l的一條直線圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)10?e時(shí)，表示橢圓；當(dāng)1?e時(shí)，表示雙曲線；當(dāng)1?e時(shí)，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱焦半徑）與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。 二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。 2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別由于選取坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為?022?p pxy，?022?p py x，其中參數(shù)p的幾何意義焦參數(shù)p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正值；p值越大，張口越大；2p等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。 標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向，即對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是x，若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開口向右，若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向左；若對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是y，當(dāng)y的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開口向上，若y的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開口向下。 三、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.待定系數(shù)法因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個(gè)條件就能解出待定系數(shù)p，因此要做到“先定位，再定值”。 注當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線時(shí)，若不知開口方向，可設(shè)為ax y?2或ay x?2，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法若由已知得拋物線是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法求之。 四、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)7方程設(shè)拋物線?022?p pxy性質(zhì)焦點(diǎn)范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑?0,2pF0?x關(guān)于x軸對(duì)稱原點(diǎn)1?e2px?p2注焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的41；對(duì)于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識(shí)拋物線及其性質(zhì)。 五、直線與拋物線有關(guān)問(wèn)題1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x或y化得形如02?c bxax（*）的式子當(dāng)0?a時(shí)，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對(duì)稱軸平行或重合；當(dāng)0?a時(shí)，若0?（*）式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解?直線與拋物線相交；若=0?（*）式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解?直線與拋物線相切；若0?（*）式方程無(wú)實(shí)數(shù)解?直線與拋物線相離.2直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題弦長(zhǎng)公式設(shè)直線交拋物線于?2211,y xB yx A，則B AABx xk AB?21或B AyykAB?211.若直線與拋物線相交所得弦為焦點(diǎn)弦時(shí),借助于焦半徑公式處理拋物線?022?p pxy上一點(diǎn)?00,yx M的焦半徑長(zhǎng)是20px MF?，拋物線?022?p pyx上一點(diǎn)?00,yx M的焦半徑長(zhǎng)是20py MF? 六、拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB為過(guò)拋物線?022?p pxy焦點(diǎn)的弦，設(shè)?2211,yxB yx A，直線AB的傾斜角為?，則221221,4p yypx x?；?2sin2pAB?p xx?21；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形