高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1向量的數(shù)量積8.1.1向量數(shù)量積的概念教案新人教B版.docx

8.1.1向量數(shù)量積的概念(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.通過(guò)幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：向量的投影及數(shù)量積的幾何意義.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)向量的夾角(1)定義：給定兩個(gè)非零向量a，b(如圖所示)，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，作a，b，則稱0，內(nèi)的AOB為向量a與向量b的夾角，記作a，b(2)規(guī)定0a，b.在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角被唯一確定了，并且有a，bb，a(3)垂直：當(dāng)a，b時(shí)，稱向量a和向量b互相垂直，記作ab.在討論垂直問(wèn)題時(shí)，規(guī)定零向量與任意向量垂直(4)當(dāng)a，b0時(shí)，a與b同向；當(dāng)a，b時(shí)，a與b反向；當(dāng)a，b或a與b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，ab.知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱|a|b|cosa，b為向量a和b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cosa，b由定義可知，兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)三平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則aeea|a|cosa，e(2)abab0，且ab0ab.(3)aa|a|2，即|a|.(4)cosa，b(|a|b|0)(5)|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立知識(shí)點(diǎn)四向量的投影如圖1，設(shè)非零向量a，過(guò)A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A，B，則稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影類似地，給定平面上的一個(gè)非零向量b，設(shè)b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影如圖2中，向量a在向量b上的投影為.可以看出，一個(gè)向量在一個(gè)非零向量上的投影，一定與這個(gè)非零向量共線，但它們的方向既有可能相同，也有可能相反知識(shí)點(diǎn)五向量數(shù)量積的幾何意義如圖(1)(2)(3)所示當(dāng)a，b時(shí)，的方向與b的方向相反，而且|a|cosa，b一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cosa，b為向量a在向量b上的投影的數(shù)量投影的數(shù)量與投影的長(zhǎng)度有關(guān)，但是投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積ab，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積這就是兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義【新知拓展】1a在b方向上的投影的數(shù)量也可以寫成，它的符號(hào)取決于角的余弦值2在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是0180.3ab的符號(hào)與a與b的夾角的關(guān)系設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為，則(1)若ab0為銳角或零角當(dāng)0時(shí)，a與b共線同向，ab0.(2)ab0或a與b中至少有一個(gè)為0.(3)ab0為鈍角或平角，當(dāng)180時(shí)，a與b共線反向，ab0(0)，向量夾角不一定為銳角(鈍角)4向量的數(shù)量積ab|a|b|cos的主要應(yīng)用(1)利用公式求數(shù)量積，應(yīng)先求向量的模，正確求出向量的夾角(向量的夾角由向量的方向確定)(2)利用公式變式cos求夾角，應(yīng)正確求出兩個(gè)整體：數(shù)量積ab與模積|a|b|，同時(shí)注意0，(3)利用ab0證明垂直問(wèn)題1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若ab0，則ab.()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量()(3)當(dāng)ab時(shí)，|ab|a|b|.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知向量a與軸l的夾角為30且|a|，則a在軸l上的投影的數(shù)量為_(kāi)(2)已知|a|4，|b|2，且a與b的夾角為135，則ab_.(3)在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知向量與x軸和y軸正向的夾角分別為120和30，則在x軸、y軸上的投影的數(shù)量分別為_(kāi)和_答案(1)(2)8(3)|題型一 兩個(gè)向量的夾角例1已知向量a，b的夾角為60，試求下列向量的夾角：(1)a，b；(2)2a，b.解如圖，由向量夾角的定義可知：(1)向量a，b的夾角為120.(2)向量2a，b的夾角為60.金版點(diǎn)睛(1)向量的夾角是針對(duì)非零向量定義的(2)注意區(qū)別向量的夾角和直線的夾角，兩者的范圍不同，前者是0，180，后者是0，90(3)按照向量夾角的定義，只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角，如圖所示，BAC不是向量與的夾角，作，則BAD才是向量與的夾角已知向量a與b的夾角為60且|b|a|，求ab與a的夾角解如圖，作a，b，則BOA60，連接BA，則ab.取OA的中點(diǎn)D，連接BD，|b|a|，ODOBBDDA，BDO602BAO，BAO30.ab與a的夾角為30.題型二 向量的數(shù)量積定義例2已知|a|5，|b|2，若：(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為30.分別求ab.解(1)當(dāng)ab時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角為0，ab|a|b|cos052110；若a與b反向，則它們的夾角為180，ab|a|b|cos18052(1)10.(2)當(dāng)ab時(shí)，則它們的夾角為90，ab|a|b|cos905200.(3)當(dāng)a與b的夾角為30時(shí)，ab|a|b|cos30525.金版點(diǎn)睛求平面向量的數(shù)量積的一般步驟及注意事項(xiàng)(1)確定向量的模和夾角，根據(jù)定義求出數(shù)量積(2)a與b垂直當(dāng)且僅當(dāng)ab0.(3)非零向量a與b共線當(dāng)且僅當(dāng)ab|a|b|.已知|a|4，|b|5，向量a與b的夾角，求ab.解ab|a|b|cos4510.題型三 向量在直線上的投影例3已知直線l，(1)向量|4，l60，求在l上的投影的數(shù)量OA1；(2)向量|4，l90，求在l上的投影的數(shù)量OB1；(3)向量|4，l120，求在l上的投影的數(shù)量OC1.解(1)OA14cos6042；(2)OB14cos90400；(3)OC14cos12042.金版點(diǎn)睛對(duì)向量在直線上的投影的理解從定義上看，向量b在直線上的投影是一個(gè)向量，其在直線上的投影的數(shù)量可正、可負(fù)、可為零(1)當(dāng)時(shí)，該數(shù)量為正實(shí)數(shù)(2)當(dāng)時(shí)，該數(shù)量為負(fù)實(shí)數(shù)(3)當(dāng)0時(shí)，該數(shù)量為|b|.(4)當(dāng)時(shí)，該數(shù)量為|b|.注意：此處b為非零向量(5)當(dāng)時(shí)，該數(shù)量為0.已知|a|8，e為單位向量，當(dāng)它們的夾角為時(shí)，a在e方向上的投影的數(shù)量為()A4B4C4D8答案B解析因?yàn)閍在e方向上的投影的數(shù)量為|a|cos4，故選B.題型四 向量數(shù)量積的幾何意義例4已知|b|3，a在b方向上的投影的數(shù)量是，則ab為()A3B.C2D.解析ab|a|b|cos|b|a|cos3.答案B金版點(diǎn)睛利用向量數(shù)量積的幾何意義求兩向量的數(shù)量積需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和一個(gè)向量在另一向量方向上的投影的數(shù)量代入向量數(shù)量積的公式即可已知ab16，若a在b方向上的投影的數(shù)量為4，則|b|_.答案4解析設(shè)a與b的夾角為，ab16，|a|b|cos16.又a在b方向上的投影的數(shù)量為4，|a|cos4，|b|4.1已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影的數(shù)量為()A.B3C4D5答案A解析設(shè)a與b的夾角為，則向量a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos.2已知|a|4，|b|2，當(dāng)它們之間的夾角為時(shí)，ab()A4B4C8D8答案B解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義得ab|a|b|cosa，b42cos4.3設(shè)e1，e2是兩個(gè)平行的單位向量，則下面的結(jié)果正確的是()Ae1e21Be1e21C|e1e2|1D|e1e2|1答案C解析當(dāng)e1，e2同向時(shí)，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos01，當(dāng)e1，e2反向時(shí)，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos180