福建省南平市2015-2016年高二上期末數(shù)學試卷(文)含答案解析

2015年福建省南平市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題（本大題共 12 道小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1命題 “x R， 5x+1 0”的否定為（ ） A x R， 5x+1 0 B x R， 5x+1 0 C x R， 5x+1 0 D x R， 5x+1 0 2某校高二（ 1）班有男同學 35 人，女同學 21 人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從同學中選取16 人參加課外手工興趣班， 則男同學被選取的人數(shù)為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 3雙曲線 =1 的離心率為（ ） A B C D 4已知變量 x 與 y 線性相關(guān)，且由觀測 數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)分別為 =4， =3，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程不可能是（ ） A = = = =函數(shù) f（ x） =x ）的導數(shù)為 f（ x），則 f（ 1）等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 6 “0 a 3”是 “雙曲線 =1（ a 0）的離心率大于 2”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 7三張獎券中有 2 張是有獎的，甲、乙兩 人從中各抽一張（抽出后不放回），甲先抽，然后乙抽，設甲中獎的概率為 中獎的概率為 么（ ） A 2 B C 大小無法確定 8函數(shù) f（ x） = 4 在 0， 3上的最大值為（ ） A 1 B 3 C 4 D 6 9已知橢圓 + =1 的左、右焦點分別為 A 在橢圓上，且 |6，則 ） A 48 B 40 C 32 D 24 10如圖是一個程序框圖，則輸出的 S 的值是（ ） A 1 B 0 C 8 D 9 11已知拋物線 x 的焦點為 F，準線為 l，點 P 為拋物線上一點，且在第一象限， l，垂足為 A， |2，則直線 傾斜角為（ ） A B C D 12若關(guān)于 x 的方程 23x2+a=0 在區(qū)間 2， 2上僅有一個實根，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 4， 0 1， 28） B 4， 28 C 4， 0） （ 1，28 D（ 4， 28） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13運行下面的程序，若 x=1，則輸出的 y= 14以雙曲線 =1 的左頂點為焦點的拋物線的標準方程為 15（ 5 分）（ 2016 河北模擬）若函數(shù) f（ x） = 在 x=取得極值，則 16（ 5 分）（ 2014 撫順二模）已知在正方形 ，點 E 是邊 中點，在邊 任取一點 F，則 面積之比不小于 1 的概率是 三、解答題（本大題共 6 小題， 共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17（ 10 分）（ 2015 秋晉中期末）分別抽取甲、乙兩名同學本學期同科目各類考試的 6 張試卷，并將兩人考試中失分情況記錄如下： 甲： 18、 19、 21、 22、 5、 11 乙： 9、 7、 23、 25、 19、 13 （ 1）用莖葉圖表示甲乙兩人考試失分數(shù)據(jù)； （ 2）從失分數(shù)據(jù)可認否判斷甲乙兩人誰的考試表現(xiàn)更好？請說明理由 18（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）設橢圓 M 的方程為： + =1 （ 1）求 M 的長軸長與短軸長； （ 2）若橢圓 N 的焦點為橢圓 M 在 y 軸上的頂點，且橢圓 N 經(jīng)過點 A（ ， ），求橢圓 N 的方程 19（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知條件 p： k 4 0；條件 q：函數(shù) f（ x） = x2+kx+ p q 為假， p q 為真，求實數(shù) k 的取值范圍 20（ 12 分）（ 2016 北海一模）某市規(guī)定，高中學生在校期間須參加不少于 80 小時的社區(qū)服務才合格某校隨機抽取 20 位學生參加社區(qū)服務的數(shù)據(jù)，按時間段 75， 80）， 80， 85），85， 90）， 90， 95）， 95， 100（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示 （ ）求抽取的 20 人中，參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生人數(shù)； （ ）從參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生中任意選取 2 人，求所選學生的參加社區(qū)服務時間在同一時間段內(nèi)的概率 21（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）過點 P（ 1， 1），c 為橢圓的半焦距，且 c= b，過點 P 作兩條互相垂直的直線 橢圓 C 分別交于另兩點 M， N （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若直線 斜率為 1，求 面積 22（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知函數(shù) f（ x） =x （ 1）若 a=2，求函數(shù) g（ x） = 的圖象在點（ 1， g（ 1）處的切線方程； （ 2）若函數(shù) f（ x）在（ ， e）內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù) a 的取值范圍 2015年福建省南平市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 道小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1命題 “x R， 5x+1 0”的否定為（ ） A x R， 5x+1 0 B x R， 5x+1 0 C x R， 5x+1 0 D x R， 5x+1 0 【分析】 直接寫出全程命題的否定得答案 【解答】 解：命題 “x R， 5x+1 0”的 否定為： x R， 5x+1 0 故選： B 【點評】 本題考查全程命題的否定，關(guān)鍵是掌握格式，是基礎(chǔ)題 2某校高二（ 1）班有男同學 35 人，女同學 21 人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從同學中選取16 人參加課外手工興趣班，則男同學被選取的人數(shù)為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【分析】 根據(jù)分層抽樣的定義，根據(jù)條件建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】 解：男同學 35 人，女同學 21 人， 則抽取的男生人數(shù)為 16=10， 故選： C 【點評】 本題主要考查分層抽樣的應用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決此類問題的基本方法，比較基礎(chǔ) 3雙曲線 =1 的離心率為（ ） A B C D 【分析】 利用雙曲線的標準方程，求出雙曲線的幾何量，即可求解離心率 【解答】 解：雙曲線 =1，可得 a= ， b= ， c=3， e= = = 故選： A 【點評】 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，離心率的求法，考查計算能力 4已知變量 x 與 y 線性相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)分別為 =4， =3，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程不可能是（ ） A = = = =分析】 將樣本平均數(shù)代入回歸方程逐一驗證 【解答】 解：由最小二乘法原理可知樣本平均數(shù)（ 4， 3）在線性回歸方程上 對于 A，當 x=4 時， y=， 對于 B，當 x=4 時， y=， 對于 C，當 x=4 時， y=， 對于 D，當 x=4 時， y=2+3 故選： D 【點評】 本題考查了線性回歸方程的特點，屬于基礎(chǔ)題 5函數(shù) f（ x） =x ）的導數(shù)為 f（ x），則 f（ 1）等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【分析】 利用導數(shù)的運算法則可得 f（ x），即可得出 【解答】 解： f（ x） =x ） =2x， f（ x） =32， f（ 1） =3 2=1 故選： A 【點評】 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 6 “0 a 3”是 “雙曲線 =1（ a 0）的離心率大于 2”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 雙曲線 =1（ a 0）的離心率大于 2， a 0，可得 e= 2，解得 0 a 3即可判斷出 【解答】 解：雙曲線 =1（ a 0）的離心率大于 2， a 0，可得 e= 2，解得0 a 3 “0 a 3”是 “雙曲線 =1（ a 0）的離心率大于 2”的充要條件 故選： C 【點評】 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 7三張獎券中有 2 張是有獎的，甲、乙兩人從中各抽一張（抽出后不放回），甲先抽，然后乙抽，設甲中獎的概率為 中獎的概率為 么（ ） A 2 B C 大小無法確定 【分析】 3 張獎券中有 2 張是有獎的，甲先抽，甲中獎的概率是 ，乙后抽中獎包含兩類，即甲抽中和沒抽中，求出概率和，再比較大小 【解答】 解：根據(jù)題意，甲中獎的概率為 ， 乙中獎的概率為 + = ； 2 故選： A 【點評】 本題考查了古典概型的概率計算問題，也考查了互斥事件和相互獨立事件的概率問題，是基礎(chǔ)題 8函數(shù) f（ x） = 4 在 0， 3上的最大值為（ ） A 1 B 3 C 4 D 6 【分析】 求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而求最值 【解答】 解： f（ x） = 4， f（ x） = 122x= 12（ x+1）（ x 1）； 由 f（ x） =0 得 x=1 或 x= 1（舍）， 當 x 0， 1）， f（ x） 0；此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增， 當 x （ 1， 3時， f（ x） 0；此時函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減， 即當 x=1 時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值 f（ 1） = 4+6+1=3， 故選： B 【點評】 本題考查了函數(shù)的最值的求法及導數(shù)的綜合應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題 9已知橢圓 + =1 的左、右焦點分別為 A 在橢圓上，且 |6，則 ） A 48 B 40 C 32 D 24 【分析】 求出橢圓的 a， b， c， e，以及右準線方程，運用橢圓的第二定義，可得 A 的橫坐標，求得縱坐標，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求值 【解答】 解：橢圓 + =1 中 a=7， b=2 ， c= =5， e= = ，右準線方程為 x= ， |ed=e（ =a ， 即為 7 ，可得 ， = ， 則 面積是 2c| =5 =24 故選： D 【點評】 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查焦半徑公式的運用，以及三角形的面積的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 10如圖是一個程序框圖，則輸出的 S 的值是（ ） A 1 B 0 C 8 D 9 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 i， S 的值，當 S=0， i=6 時滿足條件 Si，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 0，即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 S=27， i=1 滿足條件 S 是奇數(shù)， S=26， i=2 不滿足條件 S 是奇數(shù)， S=15， i=3 滿足條件 S 是奇數(shù)， S=10， i=4 不滿足條件 S 是 奇數(shù)， S=9， i=5 滿足條件 S 是奇數(shù)， S=0， i=6 滿足條件 S i，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 0 故選： B 【點評】 本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律屬于基礎(chǔ)題 11已知拋物線 x 的焦點為 F，準線為 l，點 P 為拋物線上一點，且在第一象限， l，垂足為 A， |2，則直線 傾斜角為（ ） A B C D 【分析】 可先畫出圖形，得出 F（ ），由拋物線的定義可以得出 |2，從而可以得出 P 點的橫坐標，帶入拋物線方程便可求出 P 點的縱坐標，這樣即可得出 A 點的坐標，從而求出直線 斜率，根據(jù)斜率便可得出直線 傾斜角 【解答】 解：如圖，由拋物線方程得 ； | |2； P 點的橫坐標為 ； ， P 在第一象限； P 點的縱坐標為 ； A 點的坐標為 ； 斜率為 ； 傾斜角為 故選： D 【點評】 考查拋物線的標準方程，拋物線的焦點和準線，以及拋物線的定義，拋物線上的點的坐標和拋物線方程的關(guān)系，以及由直線上兩點的坐標求直線的斜率的公式，直線的斜率的定義，已知正切值求角 12若關(guān)于 x 的方程 23x2+a=0 在區(qū)間 2， 2上僅有一個實根，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A（ 4， 0 1， 28） B 4， 28 C 4， 0） （ 1，28 D（ 4， 28） 【分析】 利用導數(shù)求得函數(shù)的增區(qū)間為 2 0）、（ 1， 2，減區(qū)間為（ 0， 1），根據(jù) f（ x）在區(qū)間 2， 2上僅有一個零點可得 f（ 0） 0，故 ，或，分別求得 、 的解集，再取并集，即得所求 【解答】 解：設 f（ x） =23x2+a，則 f（ x） =66x=6x（ x 1）， x 2， 2， 令 f（ x） 0，求得 2 x 0， 1 x 2 令 f（ x） 0，求得 0 x 1， 故函數(shù)的增區(qū)間為 2 0）、（ 1， 2，減區(qū)間為（ 0， 1）， 根據(jù) f（ x）在區(qū)間 2， 2上僅有一個零點， f（ 2） =a 28， f（ 0） =a， f（ 1） =a 1， f（ 2） =a+4， 若 f（ 0） =a=0，則 f（ x） = 2x 3），顯然不滿足條件，故 f（ 0） 0 ，或 解 求得 1 a 28，解 求得 4 a 0， 故選： C 【點評】 本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點間的關(guān)系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13運行下面的程序，若 x=1，則輸出的 y= 6 【分析】 根據(jù)程序語句進行計算即可 【解答】 解：若 x=1，則 y=1+5=6， 故輸出 y=6， 故答案為： 6 【點評】 本題主要考查程序語句的運行，根據(jù)執(zhí)行語句進行計算即可屬于基礎(chǔ)題 14以雙曲線 =1 的左頂點為焦點的拋物線的標準方程為 4x 【分析】 求得雙曲線的左頂點坐標，設出拋物線的方程為 2p 0），求得焦點，解方程可得 p=2，進而得到拋物線的方程 【解答】 解：雙曲線 =1 的左頂點為（ 1， 0）， 可設拋物線的方程為 2p 0）， 可得 = 1，解得 p=2， 則拋物線的方程為 4x 故答案為： 4x 【點評】 本題考查拋物線的標準方程的求法，注意運用雙曲線的方程和性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 15（ 5 分）（ 2016 河北模擬）若函數(shù) f（ x） = 在 x=取得極值，則 3 【分析】 求得函數(shù) f（ x）的導數(shù)，由導數(shù)大于 0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于 0，可得減區(qū)間進而得到函數(shù)的極大值點，即可得到所求值 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = 的導數(shù)為 f（ x） = = ， 由 x 3 時， f（ x） 0，可得 f（ x）在（ 3， +）遞減； 由 x 3 時， f（ x） 0，可得 f（ x）在（ ， 3）遞增 即有 f（ x）在 x=3 處取得極大值 由題意可得 故答案為： 3 【點評】 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 16（ 5 分）（ 2014 撫順二模）已知在正方形 ，點 E 是邊 中點，在邊 任取一點 F，則 面積之比不小于 1 的概率是 【分析】 根據(jù)題意，利用 SS1 時，可得 ，由此結(jié)合幾何概型計算公式，即可算出使 面積之比不小于 1 的概率 【解答】 解：由題 意， SS 當 SS1 時，可得 ， 面積之比不小于 1 的概率 P= 故答案為： 【點評】 本題給出幾何概型，求 面積之比不小于 1 的概率著重考查了三角形的面積公式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17（ 10 分）（ 2015 秋晉中期末）分別抽取甲、乙兩名同學本學期同科目各類考試的 6 張試卷，并將兩人考試中失分情況記錄如下： 甲： 18、 19、 21、 22、 5、 11 乙： 9、 7、 23、 25、 19、 13 （ 1）用莖葉圖表示甲乙兩人考試失分數(shù)據(jù)； （ 2）從失分數(shù)據(jù)可認否判斷甲乙兩人誰的考試表現(xiàn)更好？請說明理由 【分析】 （ 1）用莖葉圖表示出甲乙兩人考試失分數(shù)據(jù)即可； （ 2）計算甲、乙二人的平均數(shù)與方差，比較大小即可 【解答】 解：（ 1）用莖葉圖表示甲乙兩人考試失分數(shù)據(jù)，如下； （ 2）甲的平均數(shù)為 = （ 5+11+18+19+21+22） =16， 方差為 = （ 5 16） 2+（ 11 16） 2+（ 18 16） 2+（ 19 16） 2+（ 21 16） 2+（ 2216） 2= ； 乙的平均數(shù)為 = （ 7+9+13+19+23+25） =16， 方差為 = （ 7 16） 2+（ 9 16） 2+（ 13 16） 2+（ 19 16） 2+（ 23 16） 2+（ 2516） 2= ； = ， ， 甲的考試表現(xiàn)更穩(wěn)定，即甲 的考試表現(xiàn)更好 【點評】 本題考查了利用莖葉圖求平均數(shù)與方差的應用問題，是基礎(chǔ)題目 18（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）設橢圓 M 的方程為： + =1 （ 1）求 M 的長軸長與短軸長； （ 2）若橢圓 N 的焦點為橢圓 M 在 y 軸上的頂點，且橢圓 N 經(jīng)過點 A（ ， ）， 求橢圓 N 的方程 【分析】 （ 1）求出橢圓 M 的 a， b，即可得到長軸長 2a，短軸長 2b； （ 2）求出橢圓 M 的短軸的頂點，可設橢圓 N 的方程為 + =1（ m n 0），由焦點坐標和 A 點滿足橢圓方程，解方程可得所求 【解答】 解：（ 1）橢圓 M 的方程為： + =1 的 a=3， b= ， 可得 M 的長軸長為 6，短軸長為 2 ； （ 2）由橢圓 M 可得 y 軸上的頂點為（ 0， ）， 設橢圓 N 的方程為 + =1（ m n 0）， 由題意可得， ， + =1， 解得 m=3， n=2， 即有橢圓 N 的方程為 + =1 【點評】 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意求出橢圓的基本元素，考查方程的思想的運用，屬于基礎(chǔ)題 19（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知條件 p： k 4 0；條件 q：函數(shù) f（ x） = x2+kx+ p q 為假， p q 為真，求實數(shù) k 的取值范圍 【分析】 分別求出 p， q 為真時的 k 的范圍，從而判斷出 p， q 一真一假時的 k 的范圍即可【解答】 解：條件 p： k 4 0， 解得： 4 k 1； 條件 q：函數(shù) f（ x） = x2+kx+定義域內(nèi)遞增， 函數(shù) f（ x）的定義域是（ 0， +）， 只需 f（ x） =x+ +k 0 在（ 0， +）恒成立 即可， k （ x+ ） 2， 故 q 為真時， k 2， 若 p q 為假， p q 為真，則 p， q 一真一假， p 真 q 假時： 4 k 2， p 假 q 真時： k 1， 綜上， k （ 4， 2） （ 1， +） 【點評】 本題考查了解不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查復合命題的判斷，是一道中檔題 20（ 12 分）（ 2016 北海一模）某市規(guī)定，高中學生在校期間須參加不少于 80 小時的社區(qū)服務才合格 某校隨機抽取 20 位學生參加社區(qū)服務的數(shù)據(jù)，按時間段 75， 80）， 80， 85），85， 90）， 90， 95）， 95， 100（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示 （ ）求抽取的 20 人中，參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生人數(shù)； （ ）從參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生中任意選取 2 人，求所選學生的參加社區(qū)服務時間在同一時間段內(nèi)的概率 【分析】 （ I）利用頻率分布直方圖，求出頻率，進而根據(jù)頻數(shù) =頻率 樣本 容量，得到答案；（ 計算從參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生中任意選取 2 人的情況總數(shù)，再計算所選學生的參加社區(qū)服務時間在同一時間段內(nèi)的情況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案 【解答】 解：（ ）由題意可知， 參加社區(qū)服務在時間段 90， 95）的學生人數(shù)為 20 5=4（人）， 參加社區(qū)服務在時間段 95， 100的學生人數(shù)為 20 5=2（人） 所以參加社區(qū)服務時間不少于 90 小時的學生人數(shù)為 4+2=6（人） （ 5 分） （ ）設所 選學生的服務時間在同一時間段內(nèi)為事件 A 由（ ）可知， 參加社區(qū)服務在時間段 90， 95）的學生有 4 人，記為 a， b， c， d； 參加社區(qū)服務在時間段 95， 100的學生有 2 人，記為 A， B 從這 6 人中任意選取 2 人有 dA， 共 15 種情況 事件 A 包括 7 種情況 所以所選學生的服務時間在同一時間段內(nèi)的概率 （ 13 分） 【點評】 本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵 21（ 12 分）（ 2015 秋南平期末）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）過點 P（ 1， 1），c 為橢圓的半焦距，且 c= b，過點 P 作兩條互相垂直的直線 橢圓 C 分別交于另兩點 M， N （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若直線 斜率為 1，求 面積 【分析】 （ 1）由題意推導出 =1，且 由 a， b， c 之間的關(guān)系，能求出橢圓C 的方程 （ 2）由于直線 斜率已確定，則可由其與橢圓聯(lián)立方程組，求出點 M 的坐標，因兩直線垂直，當 k 0 時，用 代替 k，進而求出點 N 的坐標，得 M（ 2， 0）， N（ 1， 1），再由兩點意距離公式能求出 面積 【解答】 解：（ 1） 橢圓 C： + =1（ a b 0）過點 P（