流體力學(xué)習(xí)題及答案-第五章.doc

第五章 勢(shì)流理論5-1流速為u0=10m/s沿正向的均勻流與位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦疊加。已知駐點(diǎn)位于(0，-5)，試求：(1)點(diǎn)渦的強(qiáng)度；(2) (0,5)點(diǎn)的流速以及通過駐點(diǎn)的流線方程。答：（1）求點(diǎn)渦的強(qiáng)度：設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為，則均勻流的速度勢(shì)和流函數(shù)分別為：，；點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)為：，；因此，流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)為：，；則速度分布為：，；由于為駐點(diǎn)，代入上式第一式中則得到：，整理得到：。（2）求點(diǎn)的速度：將代入到速度分布中，得到：，；將、代入上述速度分布函數(shù)，得到：（m/s），（m/s）；（3）求通過點(diǎn)的流線方程：由流函數(shù)的性質(zhì)可知，流函數(shù)為常數(shù)時(shí)表示流線方程，則流線方程為：；將、代入，得到：；則過該點(diǎn)的流線方程為：，整理得到：5-2 平面勢(shì)流由點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加而成，點(diǎn)源位于（-1，0），其流量為1=20m3/s，點(diǎn)匯位于（2,0）點(diǎn)，其流量為2=40m3/s，已知流體密度為=1.8kg/m3，流場(chǎng)中（0，0）點(diǎn)的壓力為0，試求點(diǎn)（0,1）和（1,1）的流速和壓力。答：（1）求、和點(diǎn)的速度：點(diǎn)源的速度勢(shì)為：，點(diǎn)匯的速度勢(shì)為：；，；將、代入，并注意到及，得到點(diǎn)的速度為：，；其合速度為：（m/s）。將、代入，得到點(diǎn)的速度為：，；其合速度為：（m/s）。將、代入，得到點(diǎn)的速度為：，；其合速度為：（m/s）。（2）設(shè)、和點(diǎn)的壓力分別為、和，且由題意知，則由伯努利方程：，因此可得：（N/m2），（N/m2）。5-3 直徑為2m的圓柱體在水下深度為H=10m以水平速度 u0=10m/s運(yùn)動(dòng)。試求（1）A、B、C、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力；（2）若圓柱體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還繞本身軸線以角速度60r/min轉(zhuǎn)動(dòng)，試決定駐點(diǎn)的位置以及B、D兩點(diǎn)的速度和壓力。此時(shí)若水深增至100m，求產(chǎn)生空泡時(shí)的速度（注：溫度為15時(shí)，水的飽和蒸汽壓力為2.332103N/m2）。答：（1）求A、B、C、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力：設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)的絕對(duì)壓力分別為、和，相對(duì)壓力分別為、和；并注意到其壓力系數(shù)分別為1、-3、1和-3，則： A點(diǎn)的絕對(duì)壓力：（2）求駐點(diǎn)位置和B、D點(diǎn)的速度和壓力：圓柱半徑（m），旋轉(zhuǎn)角速度（rad/s）；因此漩渦強(qiáng)度為：；柱面上處，速度分布為：，； 在駐點(diǎn)（A、C點(diǎn)），即：將、和代入上式，得到：，則：，； 在B點(diǎn)，則速度為：（m/s）；壓力系數(shù)為：；相對(duì)壓力為：（N/m2）；其中B點(diǎn)靜水壓力為：（N/m2），則B點(diǎn)處絕對(duì)壓力為：（N/m2）； 在D點(diǎn)，則速度為：（m/s）；壓力系數(shù)為：；相對(duì)壓力為：（N/m2）；其中D點(diǎn)靜水壓力為：（N/m2），則D點(diǎn)處絕對(duì)壓力為：（N/m2）；（3） 由于B點(diǎn)的壓力系數(shù)最低，首先在B點(diǎn)發(fā)生空泡；當(dāng)水深增至100m時(shí)，B點(diǎn)的靜水壓力為：（N/m2），壓力系數(shù)為：；絕對(duì)壓力為：B點(diǎn)發(fā)生空泡的臨界值為，且由給定條件知（N/m2）；代入上式得到：，將上式整理得到關(guān)于的一元二次方程：其中系數(shù)：，；解得：（m/s）。即當(dāng)（m/s）時(shí)將發(fā)生空泡。5-4寫出下列流動(dòng)的復(fù)勢(shì)，（1）u=U0cosa，v=U0sina；（2）強(qiáng)度為m，位于（a，0）點(diǎn)的平面點(diǎn)源；（3）強(qiáng)度為位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦；（4）強(qiáng)度為M，方向?yàn)閍，位于原點(diǎn)的平面偶極。答：（1），：，；（2）強(qiáng)度為，位于點(diǎn)的平面點(diǎn)源：，；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立新的坐標(biāo)系；在新坐標(biāo)系中：，；由于新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為：，；，；因此：；（3）強(qiáng)度為，位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦：，；（4）強(qiáng)度為，方向?yàn)?，位于原點(diǎn)的平面偶極：以原點(diǎn)為圓心，將坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到新坐標(biāo)系；在新坐標(biāo)系中，速度勢(shì)和流函數(shù)分別為：，；由于新舊坐標(biāo)系間的關(guān)系為：，；代入到上式可得：；5-5 設(shè)在點(diǎn)放置一強(qiáng)度為的平面點(diǎn)源，是一固壁面，試求：（1）固壁上流體的速度分布及速度達(dá)到最大值的位置；（2）固壁上的壓力分布，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處壓力為；(3)若，其中為時(shí)間變量，求壁面上的壓力分布。答：（1）用位于和，強(qiáng)度均為的兩個(gè)點(diǎn)源，可以構(gòu)造位于的壁面，其速度勢(shì)為：，；速度分布為：，；在壁面上，則壁面上速度分布為：，；由于：；令上式為0，則得到：，；即在點(diǎn)和，速度達(dá)到最大值，且為：；（2）當(dāng)時(shí)，由伯努利方程得到：，；將壁面上的壓力分布沿整個(gè)壁面進(jìn)行積分，得到流體作用于壁面的作用力：即沿壁面的作用力為。（3）當(dāng)時(shí)，速度勢(shì)為：，；速度分布為：，；在壁面上，則壁面上速度分布為：，；由于：；令上式為0，則得到：，；即在點(diǎn)和，速度達(dá)到最大值，且為：；（2）當(dāng)時(shí)，由伯努利方程得到：，；5-6 已知復(fù)勢(shì)為，求（1）流場(chǎng)的速度分布及繞圓周的環(huán)量；（2）驗(yàn)證有一條流線與的圓柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圓柱體的作用力。答：（1）求速度分布及繞圓周的環(huán)量： 求速度分布：由復(fù)勢(shì)的定義可知：；因此：，； 求環(huán)量：該流動(dòng)由三個(gè)簡(jiǎn)單流動(dòng)組成：第一個(gè)：為沿方向的均勻流，；第二個(gè)：是位于原點(diǎn)的偶極，設(shè)其強(qiáng)度為，則，；第三個(gè)：是位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦，設(shè)其強(qiáng)度為，則，。因此繞的環(huán)量為。（2）將復(fù)勢(shì)改寫成下述形式：則流函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，代入上式可得：（常數(shù)）說明確是一條流線。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面上的共軛合力為：；其中：，；由留數(shù)定理可知，上式中僅第二項(xiàng)對(duì)積分有貢獻(xiàn)，因此：，得到：；由于：，得到：水平分力：，垂向分力（升力）：。5-7 如習(xí)題5-3圖所示，設(shè)直徑為m的圓柱體在水下深度為m的水平面上以速度m/s作勻速直線運(yùn)動(dòng)，（1）試寫出流動(dòng)的絕對(duì)速度勢(shì)、牽連速度勢(shì)、相對(duì)速度勢(shì)及對(duì)應(yīng)的單位速度勢(shì)；（2）求出圓柱體表面上A、B、C、D及=45、135六點(diǎn)的絕對(duì)速度。答：（1）設(shè)圓柱半徑為，則得到：?jiǎn)挝幌鄬?duì)速度勢(shì)：，相對(duì)速度勢(shì)：，牽連速度勢(shì)：，絕對(duì)速度勢(shì)：，單位絕對(duì)速度勢(shì)：。（2）由絕對(duì)速度勢(shì)可得速度分布為：，；在柱面上，代入上式，得到柱面上的速度分布為：，；A點(diǎn)，：，；B點(diǎn)，：，；C點(diǎn)，：，；D點(diǎn)，：，；：，；：，。5-8 若一半經(jīng)為r0的圓球在靜水中速度從0加速至u0，試求需對(duì)其作多少功？答：當(dāng)圓球加速至?xí)r，其總動(dòng)能為：；其中：為圓球的質(zhì)量，為水的附加質(zhì)量，為圓球的密度，為水的密度。做功等于動(dòng)能：。5-9 無(wú)限深液體中，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)半徑為R的垂直圓柱體，設(shè)其軸心被長(zhǎng)度為的繩子所系住。它一方面以角速度在水平面內(nèi)繞繩子固定端公轉(zhuǎn)，另一方面又以另一角速度繞自身軸線自轉(zhuǎn)。已知圓柱體重量為G，液體密度為，并假定，試求繩子所受的張力。答：設(shè)繩子的張力為，則圓柱體公轉(zhuǎn)向心力為：；其中：為圓柱體自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力，且等于：；其中：為公轉(zhuǎn)線速度，為自轉(zhuǎn)的速度環(huán)量，且等于：其中：為自轉(zhuǎn)線速度，為柱體表面微元弧長(zhǎng)；因此升力為：；為總質(zhì)量：；其中：為柱體質(zhì)量，為柱體密度；為水的附加質(zhì)量，為水的密度；因此張力為：。5-10 設(shè)有一半徑為R的二元圓柱體在液體中以水平分速度u=u0t（m/s