2018—2019學(xué)年北京八中第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)理科試題解析版.docx

20182019學(xué)年北京八中第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題此卷只裝訂不密封班級 姓名 準(zhǔn)考證號 考場號 座位號 數(shù)學(xué)注意事項：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1已知m,nR, 集合A = 2, log7m, 集合B =m, n,若AB =0, 則m + n =A0 B1 C7 D82已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|=2|AF|，則AFK的面積為A4 B8 C16 D323“x0”是“x+sinx0”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件4函數(shù)fx=x-1xcosx（-x且x0）的圖象可能為A B C D5在ABC中, M是BC的中點, AM = 3, 點P在AM上, 且滿足AP=2PM, 則 PA(PB+PC)的值為A4 B2 C2 D46如圖，點O為坐標(biāo)原點，點A(1,1)，若函數(shù)y=ax（a0，且a1）及y=logbx（b0，且b1）的圖象與線段OA分別交于點M，N，且M，N恰好是線段OA的兩個三等分點，則a，b滿足Aab1 Bbaa1 Dab17已知f(x)=1x-1,x1,lnx,0x1,若函數(shù)g(x)=f(x)-kx+k只有一個零點，則k的取值范圍是A(-,-1)(1,+) B(-1,1) C0,1 D(-,-10,18設(shè)f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR，ab0，若f(x)|f(6)|對一切xR恒成立，則下列結(jié)論正確的是f(1112)=0；函數(shù)y=f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k+6,k+23 (kZ)；存在經(jīng)過點(a,b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象不相交A B C D二、填空題9在極坐標(biāo)系中,圓=2的圓心到直線cos+sin=2上的動點的距離的最小值為_.10若雙曲線x2+y2m=1的一條漸近線的傾斜角為60，則m=_11已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0，l2:x+ay+2=0若l1l2，則實數(shù)a的值是 12若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件x+y-30x-2y-30xm，則實數(shù)m的取值范圍 .13如圖，線段AB=2，點A，B分別在x軸和y軸的非負半軸上運動，以AB為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD，BC=1設(shè)O為原點，則OCOD的取值范圍是_14對于函數(shù)y=f(x)，若在其定義域內(nèi)存在x0，使得x0f(x0)=1成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有_f(x)=-2x+22 f(x)=sinx(x0,2)f(x)-x+1x,(x(0,+) f(x)=ln(x+1)（2）若函數(shù)f(x)=alnx具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍是_三、解答題15某中學(xué)高一年級共8個班，現(xiàn)從高一年級選10名同學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高一（1）班選取3名同學(xué)，其它各班各選取1名同學(xué)現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）（1）求選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率；（2）設(shè)X為選出同學(xué)中高一（1）班同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望16函數(shù)f(x)cos(x)0 f (x); （）若x1 (0, 1), x2(1, +), 且 f (x1) = f (x2), 求證: x1 + x2 2.19已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的點到它的兩個焦的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點（1）求圓O和橢圓C的方程（2）已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N求證：MQN為定值20將所有平面向量組成的集合記作R2, f是從R2到R2的映射, 記作y=f(x)或(y1,y2)=f(x1,x2), 其中x1,x2,y1,y2都是實數(shù). 定義映射f的模為: 在|x|=1的條件下|y|的最大值, 記做f. 若存在非零向量xR2, 及實數(shù)使得f(x)=x, 則稱為f的一個特征值. （）若f(x1,x2)=(12x1,x2), 求f; （）如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2), 計算f的特征值, 并求相應(yīng)的x; （）試找出一個映射f, 滿足以下兩個條件: 有唯一的特征值, f=|. (不需證明)20182019學(xué)年北京八中第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)（理科）試題數(shù)學(xué) 答 案參考答案1B【解析】【分析】根據(jù)AB=0，得出log7m=0，求出m的值，從而得出n的值，再求出m+n的值【詳解】根據(jù)A=2，log7m，B=m，n，且AB=0，得log7m=0，解得m=1；n=0，m+n=1+0=1故選：B【點睛】本題考查了集合交集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目2B【解析】試題分析：解：F（2，0）K（-2，0），過A作AM準(zhǔn)線，則|AM|=|AF|，|AK|=2|AM|，AFK的高等于|AM|，設(shè)A（m2，22m）（m0）則AFK的面積=422m12=42m又由|AK|=2|AF|，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為P，三角形APK為等腰直角三角形，所以m=2AFK的面積=422m12=8故答案為B考點：拋物線的簡單性質(zhì)點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)考查了學(xué)生對拋物線基礎(chǔ)知識的熟練掌握3C【解析】令f(x)=x+sinx，則f(x)=1+cosx0，f(x)單調(diào)遞增，且f(0)=0，“x0”是”x+sinx0”的必要條件故選C4A【解析】 由f(-x)=(-x+1x)cos(-x)=-(x-1x)cosx=-f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故排除C,D；當(dāng)x=時，f()=(-1)cos=1-0，排除B，故選A.5D【解析】【分析】由平行四邊形法則，可得PB+PC=2PM又AP=2PM，可得AP=23AM，PM=13AM代入PA(PB+PC)即可得出【詳解】由平行四邊形法則，可得PB+PC=2PM=AP，AP=23AM，PM=13AMAM=3，PA(PB+PC)=23AM23AM=-49AM2=4932=4故選：D【點睛】本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6A【解析】由圖象可以知道，函數(shù)均為減函數(shù)，所以0a1，0b0，且b0）的圖象經(jīng)過點N，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：ab，aba2+b2，平方得b2a2+b2矛盾，故假設(shè)不成立，所以經(jīng)過點(a,b)的所有直線均與函數(shù)y=f(x)的圖象相交，故不正確考點：三角函數(shù)的圖象變換、兩角和與差的正弦函數(shù)9C.【解析】解：在極坐標(biāo)系中，圓=2x2+y2=4的圓心（0,0）到直線cos+sin=2即為x+y=2的距離為10-3【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為y=-mx，其中一條漸近線的傾斜是60，-m=3，故m=-3110或3【解析】試題分析：由題意得：考點：直線位置關(guān)系12(-,1【解析】試題分析：由題意，由y=2xx+y-3=0，可求得交點坐標(biāo)為(1,2)，要使直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件x+y-30,x-2y-30,xm,，如圖所示，可得m1，則實數(shù)m的取值范圍(-,1考點：線性規(guī)劃131,3【解析】解：如圖令OAB=，由于AB=2故0A=2cos，OB=2sin，如圖DAX=2-，BC=1，故xD=2cos+cos（2-）=2cos+sin，yD=sin（2-）=cos故OB=（2cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+2sin），即OC=（sin，cos+2sin），OBOC=（cos+2sin，cos）（sin，2cos+sin）=2+sin2，OBOC=（cos+2sin，cos）（sin，2cos+sin）=2+sin2，OBOC的最大值是3，最小值是1，故答案是：1，314（1）（2）a0或a-e【解析】試題分析：（1）在 x0時，f（x）=1x有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令-2x+22=1x，即-2x2+22x-1=0=8-8=0，故方程有一個非0實根，故f（x）=-2x+22具有性質(zhì)P；f（x）=sinx（x0，2）的圖象與y=1x有交點，故sinx=1x有解，故f（x）=sinx（x0，2）具有性質(zhì)P；令x+1x=1x，此方程無解，故f（x）=x+1x，（x（0，+）不具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：，（2）f（x）=alnx具有性質(zhì)P，顯然a0，方程 xlnx=1a有根，g（x）=xlnx的值域-1e，+）1a-1e解之可得：a0或 a-e考點：本題考查方程和函數(shù)的綜合點評：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個圖象有交點，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大15（1）4960；（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）求得所有基本事件的種數(shù)以及符合題意的基本事件種數(shù)，利用古典概型從而求解；（2）求得X=0，1，3時的概率，得到分布列后即可求解期望試題解析：（1）設(shè)“選出的3名同學(xué)來自不同班級”為事件A，則P(A)=C31C72+C30C73C103=4960，選出的3名同學(xué)來自班級的概率為4960；（2）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，則P(X=0)=C30C73C103=724；P(X=1)=C31C72C103=2140；P(X=2)=C32C71C103=740；P(X=3)=C33C70C103=1120，隨機變量X的分布列是X0123P72421407401120隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0724+12149+2740+31120=910考點：1隨機變量的概率分布及其期望；2古典概型16（1）=6，x0=53；（2）見解析【解析】試題分析：（1）將點0,32代入，由已給條件可求得=6；由cosx0+6=32并結(jié)合圖象可求得x0=53.（2）由（1）可得到f(x)+fx+13=3cosx+3，由x-12,13，得-6x+323，可得在x+3=0和x+3=23時，函數(shù)g(x)分別取得最大值和最小值。試題解析：（）圖象過點0,32，cos=32，又02，=6，由cosx0+6=32，得x0=2k或x0=-13+2k，kz，又f(x)的周期為2，結(jié)合圖象知0x02，x0=53（）由題意可得fx+13=cosx+13+6=cosx+2=-sinx，f(x)+fx+13=cosx+6-sinx=cosxcos6-sinxsin6-sinx=32cosx-12sinx-sinx=32cosx-32sinx=3cosx+3，x-12,13，-6x+323，當(dāng)x+3=0，即x=-13時，f(x)取得最大值3，當(dāng)x+3=23，即x=13時，g(x)取得最小值-32點睛:三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.17（1）y = 0 或 x 2y + 2 = 0 （2）(6, +)【解析】【分析】（1）當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y=0；當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線方程為y=k（x+2），聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式為0求得k值，則直線方程可求.（2）聯(lián)立聯(lián)立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0，利用判別式大于0求得k的范圍，再由拋物線的焦半徑公式及根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4-4k2k2則|FA|+|FB|的取值范圍可求【詳解】（1）如圖，當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y=0；當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線方程為y=k（x+2），聯(lián)立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0由=（4k24）216k4=32k2+16=0，解得k=22直線方程為y=22(x+2)綜上，若直線l與拋物線C有且僅有一個公共點，直線l的方程為：y=0或y=22(x+2)；（2）聯(lián)立聯(lián)立y=k(x+2)y2=4x，得k2x2+（4k24）x+4k2=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）當(dāng)k0時，由=32k2+160，得22k2222k0或0k22x1+x2=4-4k2k2|FA|=x1+p2=x1+1，|FB|=x2+p2=x2+1，則|FA|+|FB|=x1+x2+2=4-4k2k2+2=-2+4k2，0k212，1k22，則2+4k26|FA|+|FB|的取值范圍是（6，+）【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題18（1）在(-,1)內(nèi)是增函數(shù), 在(1,+)內(nèi)是減函數(shù).在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=1e（2）見解析(3)見解析【解析】【分析】（）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；（）令g（x）=f（x）f（2x）求出g（x）=（x1）（e2x21）ex，通過x1，判斷g（x）在1，+）上是增函數(shù)，即可證明當(dāng)x1時，f（x）f（2x）；（）因為x1，x2分別在（0，1）和（1，+）利用函數(shù)的關(guān)系式，證明x1+x22【詳解】解：f(x)=（1x）ex令f(x)=0，則x=1當(dāng)x變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：x（，1）1（1，+）f(x)+0f（x）極大值f（x）在（，1）上是增函數(shù)，在（1，+）上是減函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值1e；（）證明：令g（x）=f（x）f（2x）則g（x）=xex（2x）ex2g（x）=（x1）（e2x21）ex當(dāng)0x1時, 2x-20,從而e2x-2-10所以g(x)0,從而函數(shù)g(x)在(0,1)是增函數(shù).ex0，g（x）0，g（x）在1，+）上是增函數(shù)又g（1）=00x1時,g（x）g（1）=0即當(dāng)0x1時，f（x）f（2x）() 證明:0x11由()得:f(x1)f(2-x1) f(x1)=f(x2)f(x2)2-x1即x1+x22【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷極值的求法，考查分析問題解決問題的能力19（1）x2+y2=2；x24+y22=1；（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義知2a=4，又b=c，因此易求得a,b，得橢圓方程，從而也得到圓的方程；（2）設(shè)出P(x0,y0)，Q(x1,y0)，分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個關(guān)系式，寫出直線AP的方程，求出M點坐標(biāo)，同理寫出BP方程，求出N點坐標(biāo)，再求得向量QM,QN，并計算數(shù)量積QMQN，結(jié)果為0，可得MQN=90試題解析：（1）依題意2a=4b=ca2=b2+c2，得a=2，b=c=2，圓方程x2+y2=2，橢圓C方程x24+y22=1（2）設(shè)P(x0,y0)，Q(x1,y0)，x024+y022=1，x12+y02=2，y00，AP方程y=y0x0+2(x+2)，令x=0時，M0,2y0x0+2，BP方程為y=y0x0-2(x-2)，令x=0得N0,-2y0x0-2，QM=-x1,2y0x0+2-y0，QN=-x1,2y0x0-2-y0，QMQN=x12+x02y02x02-4=2-y02+(4-2y02)y02-2y02=0，MQN=90點睛：“設(shè)而不求”是解題過程中根據(jù)需要設(shè)郵變量，但并不直接求出其具體值，而是利用某種關(guān)系（如和、差、積）來表示變量之間的聯(lián)系，在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時能夠達到種“化難為易、化繁為簡”的效果，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，步驟一般如下：（1）設(shè)直線方程y=kx+b與橢圓為mx2+ny2=1的兩個交點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2)；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程組成方程組，消元得一元二次方程；（3）利用韋達定理得x1+x2,x1x2，y1+y2,y1y2，然后再求弦長以及面積，或求其他量（如本題向量的數(shù)量積）20（1）1（2）=2 ,x=m(2+1,1), =-2, x=m(1-2,1) (3)見解析.【解析】【分析】（1）由新定義可得y12+y22=14x12+x22，利用x12+x22=1，可得y