2008年高考數(shù)學(xué)(理)試題及答案詳解(山東卷)

20082008 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東卷 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東卷 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 第 卷 共第 卷 共 60 分 分 參考公式 參考公式 球的表面積公式 球的表面積公式 S 4 R2 其中 其中 R 是球的半徑是球的半徑 如果事件如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p 那么 那么 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生恰好發(fā)生 k 次次 的概率 的概率 Pn k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 如果事件如果事件 A B 相互獨(dú)立 那么相互獨(dú)立 那么 P AB P A P B 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 60 分分 在每小題給出的四個(gè) 在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 滿足 M a1 a2 a3 a4 且 M a1 a2 a3 a1 a2 的集合 M 的個(gè)數(shù)是 A 1 b 2 C 3 D 4 2 設(shè) z 的共軛復(fù)數(shù)是z 若 z z 4 z z 8 則 z z 等于 A i B i C 1 D i 3 函數(shù) y lncosx 2 x 2 的圖象是 4 設(shè)函數(shù) f x x 1 x a 的圖象關(guān)于直線 x 1 對(duì)稱 則 a 的值為 A 3 B 2 C 1 D 1 5 已知 cos 6 sin 47 3 sin 56 則的值是 A 5 32 B 5 32 C 5 4 D 5 4 6 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖 根據(jù)圖中數(shù)據(jù) 可得該幾 何體的表面積是 A 9 B 10 C 11 D 12 7 在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中 有編號(hào)為 1 2 3 18 的 18 名火炬手 若從中任選 3 人 則選出的火炬手的編號(hào)能組成以 3 為公差的等差數(shù)列 的概率為 A 51 1 B 68 1 C 306 1 D 408 1 8 右圖是根據(jù) 山東統(tǒng)計(jì)年鑒 2007 中的資料作成的 1997 年至 2006 年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖 葉圖 圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百 戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字 右邊的數(shù)字表 示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字 從圖中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù) 的平均數(shù)為 A 304 6 B 303 6 C 302 6 D 301 6 9 X 3 1 x 12展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 A 1320 B 1320 C 220 D 220 10 設(shè)橢圓 C1的離心率為 13 5 焦點(diǎn)在X軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 26 若曲線 C2上的點(diǎn)到橢圓 C1的兩 個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于 8 則曲線 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A 1 34 2 2 2 2 yx B 1 513 2 2 2 2 yx C 1 43 2 2 2 2 yx D 1 1213 2 2 2 2 yx 11 已知圓的方程為X2 Y2 6X 8Y 0 設(shè)該圓過(guò)點(diǎn) 3 5 的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為 AC 和 BD 則四邊形 ABCD 的面積為 A 106 B 206 C 306 D 406 12 設(shè)二元一次不等式組 0142 08 0192 yx yx yx 所表示的平面區(qū)域?yàn)?M 使函數(shù) y ax a 0 a 1 的圖象過(guò)區(qū)域 M 的 a 的取值范圍是 A 1 3 B 2 10 C 2 9 D 10 9 29 1158 30 26 31 0247 第 卷 共第 卷 共 90 分 分 二 填空題 本二 填空題 本大題共大題共 4 小題 每小題小題 每小題 4 分 共分 共 16 分分 13 執(zhí)行右邊的程序框圖 若 p 0 8 則輸出的 n 14 設(shè)函數(shù) f x ax2 c a 0 若 0 1 0 xfdxxf 0 x0 1 則 x0的值為 3 3 15 已知 a b c 為 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊 向 量 m 1 3 n cosA sinA 若 m n 且 acosB bcosA csinC 則角 B 16 若不等式 3x b 4 的解集中的整數(shù)有且僅有 1 2 3 則 b 的取值范圍為 5 7 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 74 分分 17 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) f x 0 0 cos sin 3 xx為偶函數(shù) 且函數(shù) y f x 圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 2 求 f 8 的值 將函數(shù) y f x 的圖象向右平移 6 個(gè)單位后 再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到 原來(lái)的 4 倍 縱坐標(biāo)不變 得到函數(shù) y g x 的圖象 求 g x 的單調(diào)遞減區(qū)間 18 本小題滿分 12 分 甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽 每隊(duì) 3 人 每人回答一個(gè)問(wèn)題 答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分 答錯(cuò)得零分 假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 3 2 乙隊(duì)中 3 人答對(duì)的概率分別為 2 1 3 2 3 2 且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響 用 表示甲隊(duì)的總得分 求隨機(jī)變量 分布列和數(shù)學(xué)期望 用 A 表示 甲 乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于 3 這一事件 用 B 表示 甲隊(duì)總得分大于 乙隊(duì)總得分 這一事件 求 P AB 19 本小題滿分本小題滿分 12 分分 將數(shù)列 an 中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 記表中的第一列數(shù) a1 a2 a4 a7 構(gòu)成的數(shù)列為 bn b1 a1 1 Sn為數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng) 和 且滿足 n Nn n SSb b 2 2 1 n 2 證明數(shù)列 n S 1 成等差數(shù)列 并求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 上表中 若從第三行起 每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列 且公 比為同一個(gè)正數(shù) 當(dāng) 91 4 81 a時(shí) 求上表中第 k k 3 行所有項(xiàng)的和 20 本小題滿分本小題滿分 12 分分 如圖 已知四棱錐 P ABCD 底面 ABCD 為菱形 PA 平面 ABCD 60ABC E F 分別是 BC PC 的中點(diǎn) 證明 AE PD 若 H 為 PD 上的動(dòng)點(diǎn) EH 與平面 PAD 所成最大角的正 切值為 6 2 求二面角 E AF C 的余弦值 21 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 1 ln 1 1 n f xax x 其中n N a為常 數(shù) 當(dāng) n 2 時(shí) 求函數(shù) f x 的極值 當(dāng) a 1 時(shí) 證明 對(duì)任意的正整數(shù) n 當(dāng) x 2 時(shí) 有 f x x 1 22 本小題滿分 14 分 如圖 設(shè)拋物線方程為 x2 2py p 0 M 為 直線 y 2p 上任意 一點(diǎn) 過(guò) M 引拋物線的切線 切點(diǎn)分別為 A B 求證 A M B 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列 已知當(dāng) M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 2p 時(shí) 4 10AB 求此時(shí)拋物線的方程 是否存在點(diǎn) M 使得點(diǎn) C 關(guān)于直線 AB 的對(duì)稱點(diǎn) D 在 拋物線 2 2 0 xpy p 上 其中 點(diǎn) C 滿足OCOA OB O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 若存在 求出所有適合題意的點(diǎn) M 的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 20082008 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東卷 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 山東卷 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 參考答案參考答案 第 卷 共第 卷 共 60 分 分 參考公式 參考公式 球的表面積公式 球的表面積公式 S 4 R2 其中 其中 R 是球的半徑是球的半徑 如果事件如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p 那么 那么 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生恰好發(fā)生 k 次次 的概率 的概率 Pn k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 如果事件如果事件 A B 相互獨(dú)立 那么相互獨(dú)立 那么 P AB P A P B 一 選擇題 本大題共一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題小題 每小題 5 分 共分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)分 在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1 B 2 D 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 A 11 B 12 C 第 卷 共第 卷 共 90 分 分 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 4 分 共分 共 16 分分 13 4 14 3 3 15 6 16 5 7 三 解答題 本大題共三 解答題 本大題共 6 小題 共小題 共 74 分分 17 解 f x cos sin 3 xx cos 2 1 sin 2 3 2 xx 2sin x 6 因?yàn)?f x 為偶函數(shù) 所以 對(duì) x R f x f x 恒成立 因此 sin x 6 sin x 6 即 sinx cos 6 cosx sin 6 sinx cos 6 cosx sin 6 整理得 sinx cos 6 0 因?yàn)?0 且 x R 所以 cos 6 0 又因?yàn)?0 故 6 2 所以 f x 2sin x 2 2cosx 由題意得 2 2 2 2 所以 故 f x 2cos2x 因此 2 4 cos2 8 f 將 f x 的圖象向右平移個(gè) 6 個(gè)單位后 得到 6 xf的圖象 再將所得圖象橫坐標(biāo) 伸長(zhǎng)到原來(lái)的 4 倍 縱坐標(biāo)不變 得到 46 x f 的圖象 2cos 2 2cos 464623 xxx g xff 所以 當(dāng) 2k 23 x 2 k k Z 即 4k 3 2 x 4k 3 8 k Z 時(shí) g x 單調(diào)遞減 因此 g x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 3 8 4 3 2 4 kk k Z 18 本小題滿分 12 分 解法一 由題意知 的可能取值為 0 1 2 3 且 所以 的分布列為 0 1 2 3 P 27 1 9 2 9 4 27 8 的數(shù)學(xué)期望為 E 2 27 8 3 9 4 2 9 2 1 27 1 0 解法二 根據(jù)題設(shè)可知 3 2 3 B 因此 的分布列為 0312 33 2233 33 21222 0 1 1 1 327339 22428 2 1 3 339327 PCPC PCPC 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 0 3 2 3 2 1 3 2 3 3 2 3 EB kCCkP k k kk k 所以 因?yàn)?解法一 用 C 表示 甲得 2 分乙得 1 分 這一事件 用 D 表示 甲得 3 分乙得 0 分 這一事件 所以 AB C D 且 C D 互斥 又 3 4 2 1 3 1 3 1 3 2 3 10 2 1 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 2 5 2 3 2 4 2 3 2 CDP CCP 由互斥事件的概率公式得 243 34 3 34 35 4 3 10 54 DPCPABP 解法二 用 Ak表示 甲隊(duì)得 k 分 這一事件 用 Bk表示 已隊(duì)得 k 分 這一事件 k 0 1 2 3 由于事件 A3B0 A2B1為互斥事件 故事 P AB P A3B0 A2B1 P A3B0 P A2B1 243 34 3 2 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 2 1 23 2 3 2 2 3 CC 19 本小題滿分本小題滿分 12 分分 證明數(shù)列 n S 1 成等差數(shù)列 并求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 上表中 若從第三行起 每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列 且公 比為同一個(gè)正數(shù) 當(dāng) 91 4 81 a時(shí) 求上表中第 k k 3 行所有項(xiàng)的和 證明 由已知 當(dāng) n 2 時(shí) 因此 n b 1 n 1 1 2 nn n 2 解 設(shè)上表中從第三行起 每行的公比都為 q 且 q 0 因?yàn)?12 13 1 21278 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有數(shù)列 an 的前 78 項(xiàng) 故 a81在表中第 13 行第三列 因此 2 8113 4 91 abq 又 13 2 13 14 b 所以 q 2 記表中第 k k 3 行所有項(xiàng)的和為 S 則 1 2 12 2 12 1 1 12 1 kk kk bq S qk kk k k 3 2 12 1 2 1 1 1 1 111 1 2 1 2 1 2 1 111 2 1 11 1 2 111 11 22 2 1 2 n nnn nn nn nnnn nn nn n n n n n nnn b b SS Sbbb SS SSSS SS SS SS Sba S n n S S n nbSS 又 所以 即 所以 又 所以數(shù)列是首項(xiàng)為 公差為 的等差數(shù)列 由上可知 即 所以 當(dāng)時(shí) 222 1 1 nnn n 20 本小題滿分本小題滿分 12 分分 解 設(shè) AB 2 H 為 PD 上任意一點(diǎn) 連接 AH EH 由 知 AE 平面 PAD 則 EHA 為 EH 與平面 PAD 所成的角 在 Rt EAH 中 AE 3 所以 當(dāng) AH 最短時(shí) EHA 最大 即 當(dāng) AH PD 時(shí) EHA 最大 此時(shí) tan EHA 36 2 AE AHAH 因此 AH 2 又 AD 2 所以 ADH 45 所以 PA 2 解法一 因?yàn)?PA 平面 ABCD PA 平面 PAC 所以 平面 PAC 平面 ABCD 過(guò) E 作 EO AC 于 O 則 EO 平面 PAC 過(guò) O 作 OS AF 于 S 連接 ES 則 ESO 為二面角 E AF C 的平面角 在 Rt AOE 中 EO AE sin30 3 2 AO AE cos30 3 2 又 F 是 PC 的中點(diǎn) 在 Rt ASO 中 SO AO sin45 3 2 4 又 22 3930 484 SEEOSO 在 Rt ESO 中 cos ESO 3 2 15 4 530 4 SO SE 即所求二面角的余弦值為 15 5 解法二 由 知 AE AD AP 兩兩垂直 以 A 為 坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 又 E F 分別 為 BC PC 的中點(diǎn) 所以 E F 分別為 BC PC 的中點(diǎn) 所以 A 0 0 0 B 3 1 0 C 3 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 3 0 0 F 3 1 1 22 所以 3 1 3 0 0 1 22 AEAF 設(shè)平面 AEF 的一法向量為 111 mx y z 則 0 0 m AE m AF 因此 1 111 30 31 0 22 x xyz 取 1 1 0 2 1 zm 則 因?yàn)?BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面 AFC 故 BD 為平面 AFC 的一法向量 又 BD 3 3 0 所以 cos m BD 2 315 5 512 m BD mBD 因?yàn)?二面角 E AF C 為銳角 所以所求二面角的余弦值為 15 5 21 解 由已知得函數(shù) f x 的定義域?yàn)?x x 1 當(dāng) n 2 時(shí) 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 1 當(dāng) a 0 時(shí) 由 0fx 得 1 2 1x a 1 2 2 1x a 1 此時(shí) 12 3 1 a xxxx fx x 當(dāng) x 1 x1 時(shí) 0 fxf x 單調(diào)遞減 當(dāng) x x1 時(shí) 0 fxf x 單調(diào)遞增 2 當(dāng) a 0 時(shí) 0fx 恒成立 所以 f x 無(wú)極值 綜上所述 n 2 時(shí) 當(dāng) a 0 時(shí) f x 在 2 1x a 處取得極小值 極小值為 22 1 1 ln 2 a f aa 當(dāng) a 0 時(shí) f x 無(wú)極值 證法一 因?yàn)?a 1 所以 1 ln 1 1 n f xx x 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 令 1 1ln 1 1 n g xxx x 則 11 12 10 2 11 1 1 nn nxn g xx xxxx 所以當(dāng) x 2 時(shí) g x 單調(diào)遞增 又 g 2 0 因此 1 1ln 1 1 n g xxx x g 2 0 恒成立 所以 f x x 1 成立 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 要證 f x x 1 由于 1 1 nx 0 所以只需證 ln x 1 x 1 令 h x x 1 ln x 1 則 12 1 11 x h x xx 0 x 2 所以 當(dāng) x 2 時(shí) 1 ln 1 h xxx 單調(diào)遞增 又 h 2 1 0 所以當(dāng) x 2 時(shí) 恒有 h x 0 即 ln x 1 x 1 命題成立 綜上所述 結(jié)論成立 證法二 當(dāng) a 1 時(shí) 1 ln 1 1 n f xx x 當(dāng) x 2 時(shí) 對(duì)任意的正整數(shù) n 恒有 1 1 nx 1 故只需證明 1 ln x 1 x 1 令 1 1 ln 1 2ln 1 2 h xxxxxx 則 12 1 11 x h x xx 當(dāng) x 2 時(shí) h x 0 故 h x 在 2 上單調(diào)遞增 因此 當(dāng) x 2 時(shí) h x h 2 0 即 1 ln x 1 x 1 成立 故 當(dāng) x 2 時(shí) 有 1 ln 1 1 n x x x 1 即 f x x 1 22 證明 由題意設(shè) 22 12 12120 2 22 xx A xB xxx M xp pp 由 2 2xpy 得 2 2 x y p 則 x y p 所以 12 MAMB xx kk pp 因此直線 MA 的方程為 1 0 2 x ypxx p 直線 MB 的方程為 2 0 2 x ypxx p 所以 2 11 10 2 2 xx pxx pp 2 22 20 2 2 xx pxx pp 由 得 2 12 120 2 xx xxx 因此 12 0 2 xx x 即 012 2 xxx 所以 A M B 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)