河北師大點(diǎn)集拓?fù)淞?xí)題與參考答案 (1).doc

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（每題1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：2、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：4、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：6、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：7、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：8、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：9、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：10、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：11、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：12、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：13、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：14、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：15、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：16、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：17、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：18、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 答案：22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 答案：23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：24、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：25、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（ ） 答案：26、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ） 答案: 27、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 28、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 29、已知是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 答案：30、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若, 則 答案：31、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則 答案：32、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵?） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，, 是的拓?fù)?，則（ ）是的基. 答案：34、 設(shè),則下列的拓?fù)渲校?）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉答案：36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉答案：37、實(shí)數(shù)空間中的任一單點(diǎn)集是 ( ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉答案：38、實(shí)數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：39、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無理數(shù)集 答案：40、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補(bǔ)集答案： 41、已知上的拓?fù)?則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,則上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 答案： 43、已知=a,b,c,則上的含有個(gè)元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€(gè) 3 5 7 9 答案：44、設(shè)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為 ( ) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),答案：45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答案：46、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉答案：47、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：48、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：49、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：50、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：51、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：52、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：53、設(shè)是實(shí)數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓?fù)錇椋?） 答案： 54、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：55、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：56、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：57、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：58、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：59、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 答案：60、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是它們的積空間,，則有（ ） 答案：61、有理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對(duì) 答案：62、整數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對(duì) 答案：63、無理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對(duì) 答案：64、設(shè)Y為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子集 閉集 開集答案：65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間答案：66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是離散空間 平庸空間 連通空間答案：67、設(shè)是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對(duì)答案：69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對(duì) 答案：70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點(diǎn) 答案：71、下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3 4答案：72、實(shí)數(shù)空間( ) 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：73、整數(shù)集作為實(shí)數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：74、有理數(shù)集作為實(shí)數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：75、無理數(shù)集作為實(shí)數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：76、正整數(shù)集作為實(shí)數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：77、負(fù)整數(shù)集作為實(shí)數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：78、2維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：79、3維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對(duì)答案：80、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 連通性 離散性 第一可數(shù)性公理答案：81、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 連通性 第二可數(shù)性公理 平庸性答案：82、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 可分性 第二可數(shù)性公理 離散性答案：83、下列拓?fù)鋵W(xué)的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 可分性 離散性 第二可數(shù)性公理答案：84、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若對(duì)于,均有,則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：85、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì)答案：86、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 道路連通空間 答案：87、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：88、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：89、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：90、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：91、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 以上都不對(duì) 答案：92、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：93、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若的每一個(gè)有限子集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：94、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若對(duì)及的每一個(gè)開鄰域，都存在的一個(gè)開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：95、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若對(duì)的任何一個(gè)閉集及的每一個(gè)開鄰域，都存在的一個(gè)開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間 答案：96、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：97、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間 答案：98、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正則空間 答案：99、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：100、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：101、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間 答案：102、若拓?fù)淇臻g的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g 是一個(gè)（ ） 連通空間 道路連通空間 緊致空間 可分空間 答案：103、緊致空間中的每一個(gè)閉子集都是（ ） 連通子集 道路連通子集 緊致子集 以上都不對(duì) 答案：104、Hausdorff空間中的每一個(gè)緊致子集都是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對(duì) 答案：105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對(duì)答案：106、拓?fù)淇臻g的任何一個(gè)有限子集都是（ ） 連通子集 緊致子集 非緊致子集 開集 答案：107、實(shí)數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集 答案：108、實(shí)數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集 答案：109、如果拓?fù)淇臻g的每個(gè)緊致子集都是閉集，則是（ ） 空間 緊致空間 可數(shù)補(bǔ)空間 非緊致空間 答案：二、填空題（每題1分）1、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：2、設(shè),則的離散拓?fù)錇?;答案：、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 ; 答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是_. 答案： R5、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于的每一鄰域有 ;答案： 6、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無限子集，則= ;答案：7、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無限子集，則= ;答案：8、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則= ;答案：9、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則= ;答案：10、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：211、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：112、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：113、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：14、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：15、設(shè),則的離散拓?fù)錇?;答案：16、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：3 17、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：1 18、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，若它是一個(gè)單射，并且是從到它的象集的一個(gè)同胚，則稱映射是一個(gè) .答案：嵌入19、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)洌瑒t稱是一個(gè) ;答案：商映射20、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)開集的象集是中的一個(gè)開集，則稱映射是一個(gè);答案：開映射21、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)閉集的象集是中的一個(gè)閉集，則稱映射是一個(gè);答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的閉子集,使得,則是一個(gè) ；答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的開子集,使得,則是一個(gè) ；答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻g存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集，則是一個(gè) ；答案：不連通空間25、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足，則也是的一個(gè) ; 答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ；答案：可商性質(zhì)28、若任意個(gè)拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為 ; 答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得,則稱是一個(gè) ；答案：不連通空間.30、若滿足第一可數(shù)性公理，則積空間滿足 ; 答案：第一可數(shù)性公理31、若滿足第二可數(shù)性公理，則積空間也滿足 ; 答案：第二可數(shù)性公理32、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個(gè)子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：可遺傳性質(zhì)33、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集，且,則稱是的一個(gè) ；答案：稠密子集34、若拓?fù)淇臻g有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱是一個(gè) ； 答案：可分空間35、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果它的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，則稱是一個(gè) ；答案：Lindelff空間36、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個(gè)開子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：對(duì)于開子空間可遺傳性質(zhì)37、如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有性質(zhì),那么它的任何一個(gè)閉子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;答案：對(duì)于閉子空間可遺傳性質(zhì)38、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個(gè)空間;答案：中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)39、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個(gè)空間;答案：中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一點(diǎn)都有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)40、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果 則稱是一個(gè)空間; 答案：中任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開鄰域使得這兩個(gè)開鄰域互不相交41、正則的空間稱為 ； 答案：空間42、正規(guī)的空間稱為 ；答案：空間43、完全正則的空間稱為 ；答案：空間或Tychonoff空間44、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè) . 答案：緊致空間45、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的一個(gè)子集.如果作為的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個(gè) .答案：緊致子集46、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè) .答案：可數(shù)緊致空間47、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè) .答案：列緊空間48、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè) . 答案：序列緊致空間三判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案: 理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意，都有,由于中的任何一個(gè)子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的. 2、設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )答案:理由：因?yàn)椋?）是的拓?fù)?，故T1，T，從而；（）對(duì)任意的T1T，則有T1且T，由于T1, T2是的拓?fù)?，故T1且T2，從而 T1T；（）對(duì)任意的，則，由于T1, T2是的拓?fù)?，從而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；綜上有T1T也是的拓?fù)?、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有,易知它們?cè)谙碌脑蠓謩e是,均為中的開集，從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）答案:理由：設(shè)為中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開集，所以是的開子集，且有，即,從而 .5、設(shè)為平庸空間（多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則 （ ）答案：理由：設(shè),則對(duì)于任意,有唯一的一個(gè)鄰域，且有,從而，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于的唯一的鄰域，有,所以有.6、設(shè)為平庸空間的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則 （ ）答案：理由：對(duì)于任意因?yàn)榘嘤谝稽c(diǎn)，從而對(duì)于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即，所以有.7、設(shè)是一個(gè)不連通空間，則中存在兩個(gè)非空的閉子集,使得（ ）答案：理由：設(shè)是一個(gè)不連通空間，設(shè)是的兩個(gè)非空的隔離子集使得,顯然，并且這時(shí)有:從而是的一個(gè)閉子集，同理可證是的一個(gè)閉子集，這就證明了滿足.8、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間( )答案：理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)是中的一個(gè)既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個(gè)不連通空.9、設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由:設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個(gè)可數(shù)基，對(duì)于每一個(gè),易知是點(diǎn)處的一個(gè)鄰域基，它是的一個(gè)子族所以是可數(shù)族，從而在點(diǎn)處有可數(shù)鄰域基，故滿 足第一可數(shù)性公理.10、若拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第二可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第二可數(shù)性公理，所以它有一個(gè)可數(shù)基，因?yàn)槭堑淖涌臻g，則是的一個(gè)可數(shù)基，從而的 子空間也滿足第二可數(shù)性公理.11、若拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由：由于滿足第一可數(shù)性公理，所以對(duì),在點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，因?yàn)槭堑淖涌臻g，則是在點(diǎn)的一個(gè)可數(shù)鄰域基，從而的子空間也滿足第一可數(shù)性公理.12、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)閉集，對(duì)于點(diǎn)和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間.注：也可以說明不是空間13、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)閉集，對(duì)于點(diǎn)和沒有各自的開鄰域互不相交，所以不是正則空間，從而不是空間.注：也可以說明不是空間14、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，沒有開鄰域不包含，從而不是 空間注：也可以考慮點(diǎn)和點(diǎn).15、設(shè)，則是空間.( )答案：理由：因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，沒有開鄰域不包含，從而不是 空間故是空間.注：也可以考慮點(diǎn)和點(diǎn).16、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因?yàn)榭臻g是正則的空間，所以對(duì)于空間中的任意不同的兩點(diǎn)，是中的閉集，由于是正則空間，從而對(duì)于它們有各自的開鄰域使得，所以是空間.17、空間一定是空間.（ ）答案：理由：因?yàn)榭臻g是正規(guī)的空間，所以對(duì)于空間中的任意點(diǎn)和不包含的閉集，由于也是一個(gè)閉集及是正規(guī)空間，故存在的開鄰域使得，這說明是正則空間，因此是空間.18、設(shè)是拓?fù)淇臻g的兩個(gè)緊致子集，則是一個(gè)緊致子集.( )答案： 理由：設(shè)A 是一個(gè)由中的開集構(gòu)成的的覆蓋，由于和都是的緊致子集，從而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分別是和的覆蓋，故是A 的有限子族且覆蓋，所以是緊致子集.19、Hausdorff空間中的每一個(gè)緊致子集都是閉集.( )答案： 理由：設(shè)是Hausdorff空間的一個(gè)緊致子集，則對(duì)于任何，若，則易知不是的凝聚點(diǎn)，因此，從而是一個(gè)閉集.四名詞解釋(每題2分)1同胚映射答案：設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果是一個(gè)一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個(gè)同胚映射或同胚.2、集合的內(nèi)點(diǎn)答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.如果是點(diǎn)的一個(gè)鄰域，則稱點(diǎn)是集合的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).3、集合的內(nèi)部答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.則集合的所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為集合的內(nèi)部.4拓?fù)淇臻g的基答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的一個(gè)子族.如果中的每一個(gè)元素是中的某些元素的并，則稱是拓?fù)涞囊粋€(gè)基.5閉包答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.集合與集合的導(dǎo)集的并稱為集合的閉包.6、序列答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，每一個(gè)映射叫做中的一個(gè)序列.7、導(dǎo)集答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為 的導(dǎo)集.8、不連通空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得,則稱是一個(gè)不連通空間.9、連通子集答案：設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集.如果作為的子空間是一個(gè)連通空間，則稱是的一個(gè)連通子集.10、不連通子集答案：設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集.如果作為的子空間是一個(gè)不連通空間，則稱是的一個(gè)不連通子集.11、空間答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.12、空間答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.13、可分空間答案：如果拓?fù)淇臻g有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱是一個(gè)可分空間.14、空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是空間.15、空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是空間.16、空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)各自有一個(gè)開鄰域使得這兩個(gè)開鄰域互不相交，則稱拓?fù)淇臻g是空間.17、正則空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉集都各自有一個(gè)開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.18、正規(guī)空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何兩個(gè)無交的閉集都各自有一個(gè)開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.19、完全正則空間：答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果對(duì)于和中任何一個(gè)不包含點(diǎn)的閉集存在一個(gè)連續(xù)映射使得以及對(duì)于任何有，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)完全正則空間.20、緊致空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)緊致空間. 21、緊致子集答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的一個(gè)子集.如果作為的子空間是一個(gè)緊致空間，則稱是拓?fù)淇臻g的一個(gè)緊致子集.22、可數(shù)緊致空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)可數(shù)緊致空間.23、列緊空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)列緊空間.24、序列緊致空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 如果中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)序列緊致空間.五簡答題（每題4分）1、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的子集，且.試說明.答案：對(duì)于任意,設(shè)是的任何一個(gè)鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設(shè)都是拓?fù)淇臻g., 都是連續(xù)映射，試說明也是連續(xù)映射.答案：設(shè)是的任意一個(gè)開集，由于是一個(gè)連續(xù)映射，從而是的一個(gè)開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說明：若是一個(gè)閉集，則的補(bǔ)集是一個(gè)開集.答案：對(duì)于,則，由于是一個(gè)閉集，從而有一個(gè)鄰域使得,因此，即,所以對(duì)任何,是的一個(gè)鄰域，這說明是一個(gè)開集.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說明：若的補(bǔ)集是一個(gè)開集，則是一個(gè)閉集.答案：設(shè),則,由于是一個(gè)開集，所以是的一個(gè)鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說明是一個(gè)閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：6、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：7、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：8、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽.答案：9、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：10、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：11、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓?fù)銽 .答案：12、離散空間是否為空間?說出你的理由.答案：因?yàn)殡x